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在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透模型思想的研究

2020-09-12 14:16:22朱璐璐
關(guān)鍵詞:模型思想問(wèn)題解決

朱璐璐

摘? 要:模型思想是數(shù)學(xué)的三大基本思想之一,它是數(shù)學(xué)與外部世界溝通的橋梁,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)廣泛的應(yīng)用性。數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)應(yīng)用和問(wèn)題解決的核心。我們可以通過(guò)兩種途徑培養(yǎng)學(xué)生的模型思想:第一,指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)基本數(shù)學(xué)模型;第二,指導(dǎo)學(xué)生使用基本數(shù)學(xué)模型進(jìn)行問(wèn)題解決。

關(guān)鍵詞:模型思想;問(wèn)題解決;子模型;母模型

“模型思想”是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》中新增的一個(gè)核心詞。數(shù)學(xué)模型在當(dāng)今信息化社會(huì)中已經(jīng)有十分廣泛的應(yīng)用,在大學(xué)、中學(xué)也有比較深入的研究和實(shí)踐,但是在課標(biāo)修訂之前,小學(xué)數(shù)學(xué)教師很少踐行數(shù)學(xué)建模。如何培養(yǎng)小學(xué)生的“模型思想”,還有很多問(wèn)題值得探討。

在小學(xué)階段,從課程標(biāo)準(zhǔn)的角度正式提出“模型思想”,表明了模型是數(shù)學(xué)應(yīng)用和問(wèn)題解決的核心。我們可以通過(guò)兩種途徑培養(yǎng)學(xué)生的模型思想:第一,指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)基本數(shù)學(xué)模型;第二,指導(dǎo)學(xué)生使用基本數(shù)學(xué)模型進(jìn)行問(wèn)題解決。

一、指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)基本數(shù)學(xué)模型

學(xué)生學(xué)習(xí)基本數(shù)學(xué)模型的過(guò)程可以是接受學(xué)習(xí),也可以是探究過(guò)程。在這里筆者重點(diǎn)闡述探究過(guò)程,即經(jīng)歷類似于數(shù)學(xué)家建模的再創(chuàng)造過(guò)程。鑒于小學(xué)生的認(rèn)知水平,小學(xué)大部分公式、定理的推導(dǎo)大都采用不完全歸納法,這樣的做法值得商榷。數(shù)學(xué)是思維的科學(xué),培養(yǎng)學(xué)生的推理能力也應(yīng)該在公式、定理的推導(dǎo)上得到一定的體現(xiàn)。

例1:乘法結(jié)合律的推導(dǎo)。橫著看,每行有6個(gè)人,一共4行,一共有6×4人,每人拿著3個(gè)氣球,因此有3×(6×4)個(gè)氣球;或者橫著每行有3×6個(gè)氣球,一共有4行,因此有3×6×4個(gè)氣球。因此,3×(6×4)=3×6×4。學(xué)生很容易就發(fā)現(xiàn),將數(shù)字變一下,這個(gè)推導(dǎo)過(guò)程依然成立。通過(guò)推理,學(xué)生再創(chuàng)造了“乘法結(jié)合律”。

二、指導(dǎo)學(xué)生使用基本數(shù)學(xué)模型進(jìn)行問(wèn)題解決

模型是解決一類問(wèn)題的優(yōu)化方案,是前人總結(jié)出來(lái)的有效方法。教師指導(dǎo)學(xué)生使用基本數(shù)學(xué)模型進(jìn)行問(wèn)題解決的過(guò)程類似于數(shù)學(xué)建模過(guò)程,即“問(wèn)題情境——建立模型——求解驗(yàn)證”的過(guò)程。利用模型求解就是站在巨人的肩膀上進(jìn)行問(wèn)題解決,是學(xué)生舍棄非本質(zhì)要素對(duì)現(xiàn)實(shí)或者直觀情境的本質(zhì)要素進(jìn)行抽象,之后建立模型對(duì)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)化,最后通過(guò)數(shù)學(xué)特定的解題方式進(jìn)行求解的過(guò)程。

例2:同學(xué)們一起去游園,有48人,每輛大車租金120元,限乘12人,每輛小車租金160元,限乘18人。可以怎樣租車?需要多少錢?

我們班有個(gè)孩子是這樣做的(見(jiàn)圖2)。通過(guò)與他溝通,發(fā)現(xiàn)他的想法是:先考慮全部租小車,需要4輛;后考慮全部租大車,2輛大車不夠坐,需要3輛大車;大車、小車都考慮,就需要1輛大車搭配1輛小車。因此,只有三種方案。學(xué)生的思路在“大小車都租”這里出了問(wèn)題,大車和小車的輛數(shù)并不一定相同。

我們一般用列表模型解決這個(gè)問(wèn)題。先假設(shè)全部租大車,然后將大車輛數(shù)依次減一,求小車的輛數(shù),之后求出可乘人數(shù)和租金(見(jiàn)表1)。學(xué)生借助列表法這種經(jīng)過(guò)前人整理優(yōu)化的模型,可以快速梳理出多種租車方案,并從中選擇自己想要的方案,不容易出現(xiàn)思維誤區(qū)。

例3:雞兔同籠,有5個(gè)頭,14只腳,那么雞兔各有多少只?

這個(gè)問(wèn)題同樣可以用列表模型有條理地解決問(wèn)題(見(jiàn)表2)。

表2

(單位:只)

通過(guò)這兩個(gè)例子,我們發(fā)現(xiàn)列表模型使我們的思路更清晰,它能幫助我們進(jìn)行有序的、不重復(fù)、不遺漏的思考。因此可以認(rèn)為,模型是解決一類問(wèn)題的有效方案。

三、重視模型的內(nèi)在關(guān)聯(lián)

根據(jù)信息加工理論,進(jìn)入短時(shí)記憶的信息,如果得到復(fù)述,將可以進(jìn)入長(zhǎng)時(shí)記憶,否則將被遺忘。這里的復(fù)述更多指的是精細(xì)復(fù)述,精細(xì)復(fù)述是指將信息進(jìn)行分析使之與已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)建立起某種內(nèi)在聯(lián)系。同時(shí)雖然長(zhǎng)時(shí)記憶的信息提取受很多因素影響,但是有意編碼(把輸入的信息與存儲(chǔ)的知識(shí)聯(lián)系起來(lái))的效果優(yōu)于自動(dòng)編碼(不需注意和意志努力)。因此,將新學(xué)習(xí)的模型與已學(xué)的模型建立聯(lián)系,是保持記憶和提高提取信息效率的有效方法。

為了便于記憶和信息的提取,筆者將有本質(zhì)聯(lián)系的模型進(jìn)行了梳理、歸納。下面筆者將介紹四種基本模型,分別是:“加法”模型、“減法”模型、“乘法”模型、“除法”模型,每種模型都可以細(xì)分為多個(gè)子模型,下面將展開(kāi)詳細(xì)說(shuō)明。

1. “加法”模型

(1)數(shù)平行線

例4:數(shù)一數(shù),下邊圖形中有幾組平行線?

橫著看有2條互相平行的直線,因此只有1組平行線;

斜著看有5條互相平行的直線,因此有4+3+2+1=10(組)平行線;

一共有1+10=11(組)平行線。

(2)數(shù)線段

例5:數(shù)一數(shù),下邊圖形中有多少條線段?

先數(shù)基本線段,有4條。因此,線段總共有4+3+2+1=10(條)。

(3)數(shù)角

例6:數(shù)一數(shù),下邊圖形中有多少個(gè)角?

先數(shù)基本角,有4個(gè)。因此,角總共有4+3+2+1=10(個(gè))。

(4)數(shù)三角形

例7:數(shù)一數(shù),下邊圖形中有多少個(gè)三角形?

先數(shù)基本三角形,有4個(gè)。因此,三角形總共有4+3+2+1=10(個(gè))。

(5)數(shù)長(zhǎng)方形

例8:數(shù)一數(shù),下邊圖形中有多少個(gè)長(zhǎng)方形?

先數(shù)基本長(zhǎng)方形,有4個(gè)。因此,長(zhǎng)方形總共有4+3+2+1=10(個(gè))。

(6)數(shù)直線

例9:經(jīng)過(guò)下邊任意兩點(diǎn)畫直線,可以畫多少條?

先找一個(gè)點(diǎn),它可以與其他四個(gè)點(diǎn)連4條直線,再考慮其他點(diǎn)。因此,直線總共有4+3+2+1=10(條)。

以上6個(gè)子模型用相同的方法解決問(wèn)題,因此它們可歸為同一母模型。在小學(xué)階段,我們把這種方法叫作枚舉法。但是在中學(xué),這種方法叫作排列組合。它屬于組合中的C■模型。如何證明呢?我們知道C■=■=■(以例9為例,這里的n指的是5個(gè)點(diǎn)),而用枚舉法解題公式是(n-1)+…+3+2+1,用配對(duì)求和的方法可知(n-1)+…+3+2+1=(n-1+1)×■=■。

由于從形式上看,上面的式子都是用加號(hào)連接,因此,簡(jiǎn)稱為“加法”模型。

2. “減法”模型

(1)用斷尺測(cè)量物體的長(zhǎng)度

例10:怎樣用下邊的“斷尺子”畫出一條長(zhǎng)6厘米的線?

16-10=6(厘米);15-9=6(厘米);14-8=6(厘米)。

我們發(fā)現(xiàn):兩個(gè)刻度之間的距離=最后面的刻度-前面的刻度。

(2)求經(jīng)過(guò)的時(shí)間

例11:淘氣早上6時(shí)30分起床,7時(shí)40分上學(xué),他從起床到上學(xué)一共用了多長(zhǎng)時(shí)間?

7時(shí)40分-6時(shí)30分=1時(shí)10分。

例12:第29屆夏季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)于2008年8月8日20時(shí)在北京開(kāi)幕,至8月24日20時(shí),共歷時(shí)______天。

24-8=16(天)。

我們發(fā)現(xiàn):經(jīng)過(guò)的時(shí)間=后面的時(shí)刻-前面的時(shí)刻。

(3)求用電量

例13:請(qǐng)算出樂(lè)樂(lè)家7月份的用電量。

545-430=115(千瓦時(shí))。

我們發(fā)現(xiàn):這個(gè)月的用電量=這個(gè)月的讀數(shù)-上個(gè)月的讀數(shù)。

以上4個(gè)例題都是在求相差數(shù),而“相差數(shù)=大數(shù)-小數(shù)”。這些模型都可以認(rèn)為是在一維空間求相差數(shù),并且都是起始數(shù)值不為0的情況,更能體現(xiàn)相差數(shù)的意義。

大數(shù)和小數(shù)之間的差距,還可以等同于植樹(shù)問(wèn)題的“求幾段”“求間距”,即數(shù)間隔模型。

(4)求面積差

例14:分別求以下三種圖形的陰影部分的面積。

三個(gè)圖形的陰影部分都是不規(guī)則圖形,但是它們的面積都是“大長(zhǎng)方形的面積-小長(zhǎng)方形的面積”(即面積差)。

除了在一維空間求相差數(shù),在二維空間也可以求相差數(shù),求面積差就屬于這種類型。而且通過(guò)三種圖形的對(duì)比,學(xué)生在靜態(tài)圖中感受到了動(dòng)態(tài)地變化,同時(shí)感受到無(wú)論圖形如何變化,三張圖的本質(zhì)是一樣的,領(lǐng)悟到了“變中的不變”。

由于從形式上看,上面的式子都是用減號(hào)連接,因此,簡(jiǎn)稱為“減法”模型。

3. “乘法”模型

(1)“總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量”模型

例15:?jiǎn)蝺r(jià)10元的皮球,小明買了8個(gè),一共花了多少錢?

10×8=80(元)。

答:一共花了80元。

(2)“路程=速度×?xí)r間”模型

例16:曉東從學(xué)校到少年宮一共用了10分鐘,他每分鐘走60米,從學(xué)校到少年宮的路程是多少米?

60×10=600(米)。

答:從學(xué)校到少年宮的路程是600米。

(3)“多倍數(shù)=1倍數(shù)×倍數(shù)”模型

例17:紅阿姨到超市買了8個(gè)雞蛋,黃阿姨買的雞蛋是紅阿姨的5倍,那么黃阿姨買了幾個(gè)雞蛋?

8×5=40(個(gè))。

答:黃阿姨買了40個(gè)雞蛋。

(4)度量模型

例18:下面是體育館的一個(gè)看臺(tái),大約有多少名觀眾?

可能出現(xiàn)多種方法,如可以將這個(gè)看臺(tái)分成3部分,每部分有8行,因此每部分有7×8=56(人),3部分一共有7×8×3=168(人)。

本問(wèn)題解決的策略是“化整為零”,即把體育場(chǎng)的觀眾分成數(shù)目大體相同的幾個(gè)部分,想辦法估計(jì)出其中一個(gè)部分的數(shù)量,就可以用乘法估算整個(gè)體育場(chǎng)觀眾的數(shù)量。

例19:估一估,下面的角有多少度?

我們把∠1看成一個(gè)標(biāo)準(zhǔn),則∠2大約有3個(gè)∠1,大約30°;∠3大約比直角少一個(gè)∠1,大約80°。

對(duì)大數(shù)的估計(jì)或者對(duì)角度的估計(jì)的思想,就是度量思想。要先確定一個(gè)度量單位(標(biāo)準(zhǔn)),再數(shù)出單位數(shù)(有幾個(gè)標(biāo)準(zhǔn)),就可以用乘法算出總量(角度)。

上面的這4個(gè)模型都是求“幾個(gè)標(biāo)準(zhǔn)”的問(wèn)題,都可以歸結(jié)為“總數(shù)=每份數(shù)×份數(shù)”這一數(shù)學(xué)“乘法”模型。

4. “除法”模型

(1)雞兔同籠問(wèn)題

兔數(shù)=(總腳數(shù)-雞腳數(shù)×總頭數(shù))÷(兔腳數(shù)-雞腳數(shù))。

(2)追及問(wèn)題

追及時(shí)間=追及路程÷速度差。

(3)贏虧問(wèn)題

兩次分配結(jié)果的差(贏+虧)÷兩次分配數(shù)量的差=份數(shù)。

通過(guò)分析我們發(fā)現(xiàn),上面的三個(gè)模型都可以歸納為“相差數(shù)÷每份數(shù)的差=份數(shù)”的“減法”模型。

這些數(shù)學(xué)模型是學(xué)生經(jīng)常遇到的問(wèn)題,也都有各自的公式,但是我們發(fā)現(xiàn),看似不一樣的數(shù)學(xué)問(wèn)題,對(duì)其進(jìn)行二次抽象會(huì)發(fā)現(xiàn)它們的數(shù)學(xué)模型(結(jié)構(gòu))是一樣的。教師在指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)基本模型時(shí),如果可以在適當(dāng)?shù)臅r(shí)機(jī)對(duì)學(xué)生進(jìn)行“點(diǎn)撥”,對(duì)公式進(jìn)行一定的歸納提升,幫助學(xué)生認(rèn)清知識(shí)點(diǎn)之間的本質(zhì)聯(lián)系,將新知識(shí)整合到已有的知識(shí)框架中,學(xué)生的學(xué)習(xí)將更能夠融會(huì)貫通、事半功倍,也能促進(jìn)信息在人腦中的保持和提高提取信息的效率。這里需要補(bǔ)充的是,雖然這些“子模型”都可以歸納為同一種“母模型”,本質(zhì)是相同的,但是由于“母模型”太過(guò)抽象,更具一般性,而“子模型”比較容易推導(dǎo),更好理解,有它的特殊性。因此,對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō),循序漸進(jìn),先學(xué)習(xí)具體的(子模型),再體會(huì)它們都可以歸納為抽象的(母模型),是比較合理的。

模型思想是數(shù)學(xué)的三大基本思想之一,它是數(shù)學(xué)與外部世界溝通的橋梁,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)廣泛的應(yīng)用性。數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)應(yīng)用和問(wèn)題解決的核心。如何培養(yǎng)學(xué)生的模型思想前路漫漫,還有很多值得研究的地方。

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