張居敏 瞿兵

[摘? 要] 文章以“任意角”教學(xué)設(shè)計(jì)為例，從概念產(chǎn)生的“必要性”、推廣的“合理性”及與主題教學(xué)內(nèi)容的“統(tǒng)一性”進(jìn)行教學(xué)實(shí)踐，既建立了任意角的概念，更提煉出建構(gòu)新概念的一般過程與原則，深化學(xué)生自主建構(gòu)概念的意識(shí).

[關(guān)鍵詞] 必要性;合理性;統(tǒng)一性;概念教學(xué)

概念生成“三個(gè)層次”的確立

概念是事物本身的反映，數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，必須反映數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)屬性和基本特征. “任意角”是高中三角函數(shù)內(nèi)容的起始課，屬于概念教學(xué)，揭開了“任意角的三角函數(shù)”學(xué)習(xí)與研究的序幕.

學(xué)生通過章首引言部分的學(xué)習(xí)，明確了本章基本問題“圓周上一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)”，并由此引發(fā)了中心問題：在表示點(diǎn)P的過程中，我們先后選用角、弧長和直角坐標(biāo)，那么α，l，x，y等元素之間有著怎樣的內(nèi)在聯(lián)系？

作為概念起始課，在設(shè)計(jì)上應(yīng)體現(xiàn)出其被賦予的理論“高度”. 隨著基本問題的明確和中心問題的提出，“任意角”的教學(xué)就不能簡單地從“規(guī)定”層面出發(fā). 由其本質(zhì)屬性，應(yīng)從其概念產(chǎn)生的“必要性”、概念推廣的“合理性”及其與三角函數(shù)這一主題教學(xué)內(nèi)容的“統(tǒng)一性”這“三個(gè)層次”進(jìn)行教學(xué)與實(shí)踐，讓學(xué)生“像數(shù)學(xué)家一樣去思考問題”成為思維線索，通過對“角的概念的推廣”的探究過程，既建立了任意角的概念，更提煉出建構(gòu)新概念的一般過程與原則，可深化學(xué)生自主建構(gòu)概念的意識(shí)，提升自主完善概念及反思的能力.

概念生成“三個(gè)層次”的實(shí)踐

1. 情境引入——體驗(yàn)“必要性”

“圓周上一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)”是本章的基本問題，因此，在情境引入環(huán)節(jié)，筆者采用摩天輪這一圓周運(yùn)動(dòng)的模型，提出如下問題：

問題1：摩天輪的半徑為6米，從水平位置A出發(fā)，轉(zhuǎn)動(dòng)一圈需6分鐘，請用一個(gè)量來刻畫一分鐘后點(diǎn)P的位置.

學(xué)生活動(dòng)：通過啟發(fā)，學(xué)生回答可用60°角、弧AP、以O(shè)為圓心OA所在直線為x軸建立坐標(biāo)系后點(diǎn)P的坐標(biāo)這三種方式來刻畫其位置. 學(xué)生用“角度”較易地刻畫了點(diǎn)P的位置，而用其他刻畫方式在數(shù)值計(jì)算上均存在一定困難.

設(shè)計(jì)意圖：此問題的提出既引出了“角”這一刻畫圓周運(yùn)動(dòng)的模型，引領(lǐng)學(xué)生對其概念進(jìn)行了回憶和思考，同時(shí)也在學(xué)生心中埋下了“多種不同的刻畫方式描述同一事物，它們之間必然存在某種聯(lián)系”這?！胺N子”，為之后概念的“統(tǒng)一性”探究埋下了伏筆. 而接下來的研究圍繞學(xué)生最熟悉的“角”展開也就順理成章了.

問題2：摩天輪的半徑為6米，從水平位置A出發(fā)，轉(zhuǎn)動(dòng)一圈需6分鐘，請用一個(gè)量來刻畫8分鐘后點(diǎn)P的位置.

學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生回憶初中對于角的定義為：從同一點(diǎn)出發(fā)的兩條射線組成的圖形，范圍是0°～360°. 此定義無法刻畫8分鐘后點(diǎn)P的位置，因此，必須對角的概念進(jìn)行推廣.

設(shè)計(jì)意圖：問題2的提出，讓學(xué)生體會(huì)之前對于“角”的定義的“不合理”性及對于“任意角”定義產(chǎn)生的必要性.

基于對現(xiàn)實(shí)對象關(guān)系或數(shù)學(xué)邏輯結(jié)構(gòu)的抽象產(chǎn)生認(rèn)知沖突或需求，是一種研究過程所遇到的困境，是概念生成的必要性. 筆者通過創(chuàng)設(shè)認(rèn)知沖突，引導(dǎo)學(xué)生對概念產(chǎn)生的“必要性”進(jìn)行分析，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，也為后續(xù)的解決問題提供了依據(jù).

2. 概念生成——探索“合理性”

對于問題2，通過教師引導(dǎo)及摩天輪這一充分體現(xiàn)了“旋轉(zhuǎn)”的模型，學(xué)生利用“旋轉(zhuǎn)”對其進(jìn)行動(dòng)態(tài)定義，并將角的范圍推廣至0°～+∞.

問題3：摩天輪的半徑為6米，從水平位置A出發(fā)，轉(zhuǎn)動(dòng)一圈需6分鐘，已知∠AOP=90°，請畫出點(diǎn)P的位置.

學(xué)生活動(dòng)：無法確定點(diǎn)P的位置，剛剛的定義推廣還不夠合理，還需要規(guī)定旋轉(zhuǎn)方向.

設(shè)計(jì)意圖：通過問題2和問題3的提出，分兩步對原有角的概念進(jìn)行推廣，既體現(xiàn)了推廣的“必要性”，更通過引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思，不斷檢驗(yàn)推廣的“合理性”.

通過兩次對原有定義的“合理性”反思，逐步提煉出任意角概念中的兩個(gè)要素：“旋轉(zhuǎn)量”與“旋轉(zhuǎn)方向”.

問題4：對于角的定義，旋轉(zhuǎn)量與旋轉(zhuǎn)方向兩個(gè)要素足夠了嗎？為什么？你能給出角的定義嗎？它合理嗎？

學(xué)生活動(dòng)：經(jīng)過引導(dǎo)，學(xué)生體會(huì)到對于給定一個(gè)旋轉(zhuǎn)量和旋轉(zhuǎn)方向，能畫出唯一的角;同時(shí)，對于一個(gè)給定的角，也有唯一的旋轉(zhuǎn)量和旋轉(zhuǎn)方向與之對應(yīng). 因此學(xué)生體會(huì)到了角與這兩個(gè)要素是“對應(yīng)”的，這樣的定義就具備了“合理性”的要求.

設(shè)計(jì)意圖：為了能解決存在的沖突和需求，我們推廣了角的概念，仍需對其進(jìn)行檢驗(yàn)或論證，探索概念生成的合理性. 對新定義的概念進(jìn)行檢驗(yàn)和論證應(yīng)是對新概念產(chǎn)生之后的必經(jīng)過程，這不僅是數(shù)學(xué)問題研究的過程，更是一種理性的思維精神，是一種敢于質(zhì)疑、善于思考、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神.

以上過程可由圖2表示.

3. 概念反思——“統(tǒng)一性”體會(huì)

問題4的解決，學(xué)生初步建構(gòu)了“任意角”的概念，并從定義中提煉出“旋轉(zhuǎn)量”與“旋轉(zhuǎn)方向”兩個(gè)要素對其進(jìn)行合理性檢驗(yàn)，從內(nèi)涵的角度來說，角與刻畫方式之間形成了一一對應(yīng)，那這是不是概念“合理性”的唯一要求呢？

回到本章的中心問題：在表示點(diǎn)P的過程中，我們可以選用角、弧長和直角坐標(biāo)，那么α，l，x，y之間有著怎樣的內(nèi)在聯(lián)系？

從外延的角度來看，若“任意角”的定義是合理的，那其必然能與三角函數(shù)這一整體數(shù)學(xué)內(nèi)容相“統(tǒng)一”. 雖然本節(jié)課無法研究此內(nèi)容，但學(xué)生心中的這粒“種子”，會(huì)在弧度制產(chǎn)生“必要性”與“合理性”的學(xué)習(xí)探究中“生根發(fā)芽”.

對“統(tǒng)一性”的體會(huì)，本質(zhì)是對概念建構(gòu)“合理性”的一種外延檢驗(yàn)，也可認(rèn)為是章首引言部分的一段教學(xué)延伸. 此段教學(xué)內(nèi)容，通過師生對話的形式展開，不為得到某個(gè)確定的結(jié)論，旨在啟迪學(xué)生的思維，將知識(shí)的邏輯結(jié)構(gòu)和學(xué)生的思維方式結(jié)合起來，以研究問題的一般方法為暗線，從而將研究問題方法內(nèi)化為學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu).

對于新概念的教學(xué)，以概念生成的三個(gè)層次為脈絡(luò)進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，根據(jù)學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)和經(jīng)驗(yàn)，以“必要性”為出發(fā)點(diǎn)，不斷優(yōu)化推廣新的概念形式，通過對其“合理性”與“統(tǒng)一性”的檢驗(yàn)分析，形成概念的準(zhǔn)確表述，理解其內(nèi)涵與外延.

概念生成“三個(gè)層次”的遞進(jìn)

基于對概念基本特征的思考，我們還需對新建構(gòu)的概念進(jìn)行“表達(dá)”與“量化”，由此產(chǎn)生對象限角與終邊相同角的教與學(xué).

問題5：當(dāng)我們建構(gòu)了“任意角”的概念之后，我們該做什么？

生：我們該對其進(jìn)行量化研究.

問題6：如何研究？

（師生互動(dòng)）

師：一堆雜亂放置的筆，如何比較其長度？

除了度量之外，學(xué)生提出最快的方法是將這些筆“共起點(diǎn)”（即一端處于同一平面，比較另一端的高度），便能快速比較其長度.

師：那對于角而言，是否可將此方法進(jìn)行遷移，除了度量之外，如何方便研究呢？

生：也讓角“共起點(diǎn)”.

師：何為“共起點(diǎn)”？

生：角的起點(diǎn)可認(rèn)為是其始邊，因此我們可以將角的頂點(diǎn)作為坐標(biāo)原點(diǎn)，角的始邊作為x軸正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系.

設(shè)計(jì)意圖：中心問題的提出對“象限角”概念的產(chǎn)生有正遷移的作用，定性分析之后隨之而來的便是定量研究. 在此“表達(dá)”與“量化”的遞進(jìn)環(huán)節(jié)，教師只有在教學(xué)過程中重生成、重聯(lián)想、重類比，才能讓學(xué)生學(xué)會(huì)思考、懂得思維.

問題7：對于之前摩天輪的例子，大家還能提出什么不一樣的問題嗎？

學(xué)生活動(dòng)：之前的問題都是由旋轉(zhuǎn)的時(shí)間確定點(diǎn)P的位置，因此可以提出：已知點(diǎn)P的位置，能否確定旋轉(zhuǎn)的時(shí)間？

問題8：“終邊相同的角”具有哪些形的特征，又該如何用數(shù)學(xué)語言來描述呢？

學(xué)生活動(dòng)：形的特征為相差k圈，數(shù)的特征為相差360°的k倍，我們可用集合表示.

設(shè)計(jì)意圖：愛因斯坦曾說過“提出一個(gè)問題，往往比解決一個(gè)問題更重要”，因?yàn)榻鉀Q一個(gè)問題，也許僅僅是一個(gè)數(shù)學(xué)上或?qū)嶒?yàn)上的技能而已，而提出新的問題、新的可能性，需要從新的角度去看舊的問題，需要有創(chuàng)造性的想象力，而且標(biāo)志著科學(xué)的真正進(jìn)步.

讓學(xué)生從反面提出問題，建構(gòu)解決這一問題的基本模型——終邊相同的角，并用數(shù)學(xué)語言刻畫，逐步解決了本節(jié)課的難點(diǎn).

蘇聯(lián)數(shù)學(xué)教育家斯托利亞爾曾說過“積極地?cái)?shù)學(xué)教學(xué)，應(yīng)為數(shù)學(xué)活動(dòng)（思維活動(dòng)）的教學(xué)，而不是數(shù)學(xué)活動(dòng)結(jié)果——數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)”.

讓學(xué)生體會(huì)概念產(chǎn)生的必要性，在概念生成的過程中學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)語言的提煉與表述;讓學(xué)生在豐富的感性思維的基礎(chǔ)上，主動(dòng)地進(jìn)行去粗取精、由表及里的改造，理解概念的合理性;更提煉出了建構(gòu)新概念的一般過程與原則，發(fā)展學(xué)生的科學(xué)精神、理性精神、創(chuàng)新精神. 這些取代了知識(shí)本身成為本課教學(xué)設(shè)計(jì)的線索和主旋律. 筆者在本節(jié)課的設(shè)計(jì)上努力實(shí)踐美國教育家蘇娜丹戴克說過的一句話：“Tell me， I will forget; Show me， I may remember; Involve me， I will understand.”（告訴我，我會(huì)忘記;做給我看，我會(huì)記住;讓我自主參與，我會(huì)完全理解. ）