周書(shū)琴

[摘? 要] 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)越來(lái)越受到國(guó)內(nèi)一線(xiàn)教師的重視，精心設(shè)計(jì)“問(wèn)題鏈”，啟發(fā)引導(dǎo)輔助探究，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)起到了非常重要的作用. 文章主要從概念形成、公式推導(dǎo)和模型建構(gòu)三個(gè)課堂教學(xué)片段中滲透數(shù)學(xué)的抽象素養(yǎng)和邏輯推理素養(yǎng)的培養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng);啟發(fā);引導(dǎo);問(wèn)題鏈;探究

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是高中數(shù)學(xué)課程修訂稿提出來(lái)的新的數(shù)學(xué)課程目標(biāo)，數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)是適應(yīng)個(gè)人終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的具有數(shù)學(xué)特征的思維品質(zhì)與關(guān)鍵能力. 高中階段數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀(guān)想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析.這些數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)既相互獨(dú)立，又相互融合，是一個(gè)有機(jī)的整體.

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展，是在教師的啟發(fā)和引導(dǎo)，通過(guò)自己的獨(dú)立思考或與他人交流，最終自己“領(lǐng)悟”出來(lái)的學(xué)習(xí)過(guò)程，是一種長(zhǎng)期積累才能養(yǎng)成的思維習(xí)慣和思想方法. 因此，在教學(xué)中，基于教師啟發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生探究，從而把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì). 為此精心設(shè)計(jì)科學(xué)、合理、高效的教學(xué)方案就非常重要.

對(duì)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)下，在不同課型中的啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生探究的課堂教學(xué)設(shè)計(jì)的探索

1. 在概念形成中，提升“數(shù)學(xué)抽象、直觀(guān)想象素養(yǎng)”

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識(shí)體系的“細(xì)胞”，是建立數(shù)學(xué)理論的基礎(chǔ). 數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)的邏輯起點(diǎn)，是學(xué)生認(rèn)知的基礎(chǔ)，是學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思維的核心，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與教學(xué)中具有重要的地位. 因此，概念教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵關(guān)節(jié)，數(shù)學(xué)概念的建立是從現(xiàn)象的感性認(rèn)識(shí)中抽象出實(shí)物本質(zhì)屬性的思維過(guò)程. 以啟發(fā)引導(dǎo)輔助探究為方式的概念是發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的有效途徑和方式.課堂教學(xué)中教師要精于設(shè)計(jì)問(wèn)題，通過(guò)“問(wèn)題解決教學(xué)”組織學(xué)生探究，通過(guò)對(duì)問(wèn)題的探究在解決問(wèn)題的過(guò)程中獲得新知、獲得感受、獲得解決問(wèn)題的方法和思想，從而獲得核心素養(yǎng)的發(fā)展，獲得能力的提升.

案例1：圓錐曲線(xiàn)的共同性質(zhì)的教學(xué)片段（蘇教版選修1-1）.

問(wèn)題1：由本章第一節(jié)課知道，橢圓、雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)統(tǒng)稱(chēng)為圓錐曲線(xiàn)，比較它們的定義結(jié)構(gòu)，相似嗎？

（提問(wèn)意圖：從橢圓、雙曲線(xiàn)的定義結(jié)構(gòu)來(lái)看，非常類(lèi)似;但給拋物線(xiàn)下定義時(shí)，結(jié)構(gòu)卻發(fā)生了變化）

問(wèn)題2：平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)P到一個(gè)定點(diǎn)F的距離PF和到一條定直線(xiàn)l（F不在l上）的距離d的比等于1，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為拋物線(xiàn)，此時(shí)■=1. 若動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是橢圓或者雙曲線(xiàn)時(shí)，則■為定值嗎？范圍是什么？

此處教師留給學(xué)生自主探索的時(shí)間和空間，學(xué)生開(kāi)始思考，教師再結(jié)合幾何畫(huà)板動(dòng)態(tài)演示（此處讓學(xué)生動(dòng)態(tài)感受形與數(shù)的結(jié)合），學(xué)生得出結(jié)論：當(dāng)曲線(xiàn)是橢圓時(shí)，■為定值，范圍在（0，1）;當(dāng)曲線(xiàn)是雙曲線(xiàn)時(shí)，■為定值，范圍在（1，+∞），學(xué)生猜想■=e.

問(wèn)題3：剛剛我們是從圖形的角度猜想■=e，那你可以從代數(shù)的角度加以驗(yàn)證嗎？

此處給定時(shí)間充分思考. 在推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，我們（師生合作）曾經(jīng)得到這樣一個(gè)式子a2-cx=a■（因?yàn)椴孪搿?e，所以學(xué)生很自然地想到把此式轉(zhuǎn)化為比值的形式），從而得到■=■.

問(wèn)題4：請(qǐng)學(xué)生分析上式的幾何意義.

預(yù)設(shè)結(jié)果：橢圓可以定義為到定點(diǎn)的距離和它到一條定直線(xiàn)的距離的比是一個(gè)常數(shù)■.

問(wèn)題5：橢圓和拋物線(xiàn)都具有比值■，而差別就在等式的右邊，那么雙曲線(xiàn)有這個(gè)幾何意義嗎？

預(yù)設(shè)結(jié)果：通過(guò)類(lèi)比橢圓幾何性質(zhì)的推導(dǎo)過(guò)程，等到雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì).

問(wèn)題6：現(xiàn)在你能歸納出三類(lèi)圓錐曲線(xiàn)的共同性質(zhì)嗎？

預(yù)設(shè)結(jié)果：學(xué)生組織語(yǔ)言，得出圓錐曲線(xiàn)的共同性質(zhì).

平面內(nèi)到一定點(diǎn)F與到一條定直線(xiàn)l的距離之比為常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡. （點(diǎn)F 不在直線(xiàn)l上）

（1）當(dāng)0

（2）當(dāng)e>1時(shí)，點(diǎn)的軌跡是雙曲線(xiàn).

（3）當(dāng)e=1時(shí)，點(diǎn)的軌跡是拋物線(xiàn).

其中常數(shù)e叫作圓錐曲線(xiàn)的離心率，定點(diǎn)F叫作圓錐曲線(xiàn)的焦點(diǎn)，定直線(xiàn)l就是該圓錐曲線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn).

案例1中，為了形成圓錐曲線(xiàn)的共同性質(zhì)，教師精于設(shè)計(jì)“問(wèn)題鏈”，啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生探究，從而形成概念. 教師引導(dǎo)學(xué)生觀(guān)察和類(lèi)比分析，啟發(fā)學(xué)生猜想與概括. 通過(guò)類(lèi)比、對(duì)比和歸納，把新的知識(shí)化歸到學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去. 利用多媒體輔助教學(xué)，增強(qiáng)動(dòng)感與直觀(guān)性，提高教學(xué)效果和教學(xué)質(zhì)量. 引導(dǎo)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)勤于思考，善于發(fā)現(xiàn)滲透，用代數(shù)的方法研究幾何;用幾何的眼光處理代數(shù)問(wèn)題（幾何直觀(guān)能力的體現(xiàn)）;會(huì)用數(shù)學(xué)中“數(shù)形結(jié)合”思想：由數(shù)聯(lián)想到形，由形轉(zhuǎn)化為數(shù). 從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀(guān)想象素養(yǎng).

2. 在公式推導(dǎo)中，提升“數(shù)學(xué)邏輯推理素養(yǎng)”

？搖？搖數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)是數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，通過(guò)對(duì)公式的推導(dǎo)，提升學(xué)生研究問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力;培養(yǎng)學(xué)生觀(guān)察問(wèn)題、思考問(wèn)題的能力，以及能靈活運(yùn)用基本概念分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，自主探究的能力、鍛煉數(shù)學(xué)思維的能力;同時(shí)滲透類(lèi)比、化歸、分類(lèi)討論等數(shù)學(xué)思想，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯推理素養(yǎng).

案例2：等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的教學(xué)片段（蘇教版必修5）.

問(wèn)題1：如何求等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn：Sn=a1+a2+a3+…+an.

問(wèn)題2：在等差數(shù)列求和中，用基本量a1，an，d，n中三個(gè)量可表示Sn，a1，an，n或a1，d，n;那么在等比數(shù)列中有哪些基本量呢？

預(yù)設(shè)結(jié)果：學(xué)生能答出有四個(gè)基本量a1，an，q，n.

問(wèn)題3：四個(gè)基本量a1，an，q，n，從其中選三個(gè)，可以有組合a1，q，n;a1，an，q;a1，an，n;an，q，n. 用哪一組合可表示Sn呢？

預(yù)設(shè)結(jié)果：有了等比數(shù)列通項(xiàng)公式an=a1qn-1，學(xué)生很快答出用a1，q，n表示Sn，得Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1.

問(wèn)題4：已經(jīng)用a1，q，n表示Sn，但式子太長(zhǎng)，能再簡(jiǎn)潔點(diǎn)嗎？

預(yù)設(shè)結(jié)果：學(xué)生知道能化簡(jiǎn)，但沒(méi)有具體方法.

問(wèn)題5：能不能用等差數(shù)列求和方法去求？倒序求和？

預(yù)設(shè)結(jié)果：學(xué)生知道不能，進(jìn)入思考中.

問(wèn)題6：那怎么辦？（此處放手讓學(xué)生自主探究）

預(yù)設(shè)結(jié)果：學(xué)生想到兩邊同乘以q. 從而有Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1，qSn=a1q+a1q2+a1q3…+a1qn-1+a1qn.

問(wèn)題7：怎么想到的呢？（等式右邊有什么特征？）

預(yù)設(shè)結(jié)果：學(xué)生回答，等式右邊，從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)比前一項(xiàng)多乘以q，這樣有n-1項(xiàng)相同項(xiàng).

問(wèn)題8：如何進(jìn)一步求Sn？（此處給學(xué)生充分的觀(guān)察、思考的時(shí)間，讓他們探究出求解的方法：作差）

預(yù)設(shè)結(jié)果：學(xué)生回答，觀(guān)察有n-1項(xiàng)相同項(xiàng)，作差可以消去，從而得到（1-q）·Sn=a1（1-qn），再兩邊同除以1-q.

問(wèn)題9：能直接除嗎？

預(yù)設(shè)結(jié)果：學(xué)生補(bǔ)充，要討論分母等于0和分母不等于0兩種情況：

（1）當(dāng)1-q=0時(shí)，即q=1，得到Sn=na1;

（2）當(dāng)1-q≠0時(shí)，即q≠1，得到Sn=■.

所以得到等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式：Sn=na1，q=1，■，q≠1.

反思：（1）將Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1兩邊同時(shí)乘以公比q后會(huì)得到qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn，兩個(gè)等式相減后，哪些項(xiàng)被消去，還剩下哪些項(xiàng)，剩下項(xiàng)的符號(hào)有沒(méi)有改變？這些都是用錯(cuò)位相減法求等比數(shù)列前n項(xiàng)和的關(guān)鍵所在，讓學(xué)生先充分思考，自主探究，再討論交流，最后教師用多媒體予以突出強(qiáng)調(diào)，加深印象！

（2）兩等式作差得到（1-q）Sn=a1（1-qn）時(shí)，肯定會(huì)有學(xué)生直接得到Sn=■，此時(shí)教師啟發(fā)引導(dǎo)分母不能為0，所以討論公比q=1與q≠1兩種情況，避免后面應(yīng)用公式時(shí)，漏掉對(duì)公比是1的討論，從而加深對(duì)公式的理解.

案例2中，為了形成等比數(shù)列前n項(xiàng)和的公式，教師精心設(shè)計(jì)的“問(wèn)題鏈”巧妙地把每個(gè)知識(shí)的環(huán)節(jié)有機(jī)地聯(lián)系起來(lái)，層層遞進(jìn)，思維熱點(diǎn)環(huán)環(huán)相扣，教師始終站在學(xué)生的立場(chǎng)上去對(duì)待問(wèn)題的發(fā)現(xiàn)和處理，使得學(xué)生的參與意識(shí)被充分地調(diào)動(dòng)起來(lái)，體會(huì)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展和運(yùn)用過(guò)程，從而抓住問(wèn)題的本質(zhì);鼓勵(lì)學(xué)生自主探究、敢于探索、善于創(chuàng)新的學(xué)習(xí)品質(zhì)，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯推理素養(yǎng).

3. 在模型建構(gòu)中，提升“數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)”

數(shù)學(xué)建模是一種數(shù)學(xué)的思考方法，是運(yùn)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言和方法，通過(guò)抽象，簡(jiǎn)化建立能近似刻畫(huà)并“解決”實(shí)際問(wèn)題的一種強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)手段. 數(shù)學(xué)建模為學(xué)生提供了一個(gè)自主探究的空間，有利于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和熱情，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)在解決實(shí)際生活中的作用與價(jià)值，有利用培養(yǎng)學(xué)生自主探究的能力和概括歸納的能力. 在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師應(yīng)啟發(fā)、引導(dǎo)讓學(xué)生自主探究建立模型的過(guò)程，并選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)變量，抽象出數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)的本質(zhì)屬性，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力.

案例3：函數(shù)零點(diǎn)存在的判斷方法的教學(xué)片段（蘇教版必修1）.

圖1是某市1月份的某一天從0點(diǎn)到12點(diǎn)的氣溫變化圖，假設(shè)氣溫是不間斷變化的，請(qǐng)將圖形補(bǔ)充成完整的函數(shù)圖像.

問(wèn)題1：這段時(shí)間內(nèi)，是否一定有某時(shí)刻的氣溫為0 ℃？

此處教師留給學(xué)生自主探索的時(shí)間和空間，學(xué)生開(kāi)始思考、畫(huà)圖，一種、兩種、三種……教師實(shí)物投影展示學(xué)生的作圖情況.

師：同學(xué)們作圖豐富多彩，但有個(gè)共同點(diǎn)都穿過(guò)了x軸，為什么？

生：0時(shí)-2 ℃，12時(shí)6 ℃，且圖像不間斷，所以一定穿過(guò)x軸.

師：穿過(guò)x軸，那x軸所對(duì)應(yīng)的時(shí)刻就是0℃所對(duì)應(yīng)的時(shí)刻，這個(gè)時(shí)刻就是函數(shù)的零點(diǎn).

問(wèn)題2：生活中，0時(shí)-2 ℃叫零下，12時(shí)6 ℃叫零上，從函數(shù)值的角度講，什么叫零上，什么叫零下？

生：零上，對(duì)應(yīng)函數(shù)值為正，即y>0;零下，對(duì)應(yīng)函數(shù)值為負(fù)，即y<0.

問(wèn)題3：從這個(gè)實(shí)際問(wèn)題中，你能得到什么啟發(fā)？

此處教師留給學(xué)生自主探索的時(shí)間和空間，同學(xué)們開(kāi)始思考，相互交流討論.

問(wèn)題4：如果我們用區(qū)間[a，b]表示這個(gè)時(shí)間段，它們兩個(gè)端點(diǎn)的函數(shù)值應(yīng)該怎樣呢？

生：異號(hào)，即f（a）·f（b）<0.

問(wèn)題5：若f（a）·f（b）<0，則函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)有零點(diǎn)嗎？

生：圖像不間斷（不能斷開(kāi)，并舉例函數(shù)y=■，f（-1）·f（1）<0，但在區(qū)間（-1，1）沒(méi)有零點(diǎn)）.

生：f（a），f（b）可能同號(hào).

師：同號(hào)，異號(hào)，哪個(gè)更可靠？

生：異號(hào)（并舉例說(shuō)明）.

問(wèn)題6：函數(shù)y=f（x）存在零點(diǎn)的條件是什么？

生：（1）圖像不間斷;（2）端點(diǎn)函數(shù)值異號(hào)，即f（a）·f（b）<0. 有這兩個(gè)條件才能保證函數(shù)在區(qū)間[a，b]上有零點(diǎn).

師：很好，所以我們得到了零點(diǎn)存在的判斷方法.

函數(shù)零點(diǎn)存在的判斷方法：如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線(xiàn)，并且有f（a）·f（b）<0，那么，函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)有零點(diǎn).即存在c∈（a，b），使得f（c）=0，這個(gè)c也就是方程f（x）=0的根.

問(wèn)題7：定理逆過(guò)來(lái)行嗎？若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)有零點(diǎn)，則f（a）·f（b）<0，對(duì)嗎？

問(wèn)題8：若滿(mǎn)足判斷方法，則函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)嗎？

問(wèn)題9：再加上什么條件就“有且僅有一個(gè)零點(diǎn)”呢？

案例3中，為了讓學(xué)生直觀(guān)感知函數(shù)零點(diǎn)存在的判斷方法，教師引導(dǎo)學(xué)生從生活中的溫度曲線(xiàn)圖中建立數(shù)學(xué)模型，將抽象的函數(shù)零點(diǎn)存在的判斷方法的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為具體形象的“溫度曲線(xiàn)”型，從而讓學(xué)生經(jīng)歷了從“形”到“數(shù)”抽象概括的過(guò)程.教師設(shè)計(jì)環(huán)環(huán)相扣、具有多層次的“問(wèn)題鏈”，啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)自我探究、交流合作、概括歸納出函數(shù)零點(diǎn)存在的判斷方法，并在體驗(yàn)與感悟中提升了數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

總之，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)要以知識(shí)為中心轉(zhuǎn)向以能力為中心，以教師為中心轉(zhuǎn)向以學(xué)生為中心，以教學(xué)生知識(shí)轉(zhuǎn)向引導(dǎo)學(xué)生探究為中心;通過(guò)啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生的探究，親身經(jīng)歷，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和熱情，體驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的成就感，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng). 當(dāng)然，學(xué)生素養(yǎng)的培養(yǎng)，是一個(gè)長(zhǎng)期的過(guò)程，需要在課堂教學(xué)中慢慢滲透;提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，必將成為我們數(shù)學(xué)教師努力的方向.