倪偉

[摘? 要] 核心素養(yǎng)的落地取決于核心素養(yǎng)的培育途徑，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師顯然需要考慮到學(xué)生面臨的考試評(píng)價(jià)，同時(shí)又要考慮到核心素養(yǎng)的落地，某種程度上來講，這是一個(gè)基于傳統(tǒng)走向現(xiàn)代，基于現(xiàn)實(shí)走向理想的過程. 核心素養(yǎng)是指向?qū)W生的未來成長目標(biāo)的，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)只在高中數(shù)學(xué)課堂上去培育學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 數(shù)學(xué)抽象作為數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要組成部分，對(duì)它的理解一方面要延續(xù)傳統(tǒng)，另一方面需要賦予其新的內(nèi)涵.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué);核心素養(yǎng);數(shù)學(xué)抽象

隨著核心素養(yǎng)概念的提出，教師對(duì)其的思考就越來越深入，在思考的過程中，一個(gè)常見的問題就是：核心素養(yǎng)如何從理論變成實(shí)際？這其實(shí)就是核心素養(yǎng)如何落地的問題. 核心素養(yǎng)的落地取決于核心素養(yǎng)的培育途徑，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師顯然需要考慮到學(xué)生面臨的考試評(píng)價(jià)，同時(shí)又要考慮到核心素養(yǎng)的落地. 前者是傳統(tǒng)的教學(xué)需要，后者是先進(jìn)的教育理念;前者面向?qū)嶋H，后者不可避免的具有一定的理想成分. 因此高中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培育途徑探究，某種程度上來講，是一個(gè)基于傳統(tǒng)走向現(xiàn)代，基于現(xiàn)實(shí)走向理想的過程. 這個(gè)過程中，既需要教師有現(xiàn)實(shí)的目光，又需要教師有理想的情懷，兩者之間的銜接與平衡，決定了核心素養(yǎng)培育途徑是否有效. 本文以數(shù)學(xué)抽象為例，談?wù)劰P者的一些淺見.

從抽象到數(shù)學(xué)抽象的概念理解

在高中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的六個(gè)要素當(dāng)中，數(shù)學(xué)抽象首當(dāng)其沖，應(yīng)當(dāng)說數(shù)學(xué)抽象是抽象的下屬概念. 而抽象作為一個(gè)概念，在日常生活和教育教學(xué)中被人們按自己的理解經(jīng)常使用著. 特別值得注意的是，教學(xué)中由具體到抽象等，這里面存在對(duì)抽象理解的混亂、誤解，所以需要澄清認(rèn)識(shí). 這實(shí)際上是一個(gè)對(duì)抽象和數(shù)學(xué)抽象兩個(gè)概念的理解問題，其實(shí)需要認(rèn)識(shí)到的是：抽象與數(shù)學(xué)抽象之間并沒有絕對(duì)的界限，因?yàn)閷?duì)數(shù)學(xué)的研究本身就源自數(shù)學(xué)家對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的抽象. 數(shù)學(xué)家在研究數(shù)學(xué)的過程當(dāng)中，發(fā)現(xiàn)實(shí)際生活中的事物的某些屬性對(duì)于數(shù)學(xué)研究而言并沒有任何作用，于是就把這些屬性予以去除，于是抽象也就發(fā)生了.

至于在數(shù)學(xué)的視角下強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)抽象這個(gè)概念，實(shí)際上只不過是在抽象的過程中凸顯出數(shù)學(xué)的特征. 數(shù)學(xué)是研究數(shù)與形的一門學(xué)科，高中數(shù)學(xué)的知識(shí)體系對(duì)數(shù)與形界定得非常清楚，因此在實(shí)際教學(xué)中，數(shù)學(xué)抽象是無法回避的，很多時(shí)候數(shù)學(xué)抽象都是數(shù)學(xué)概念建立或者數(shù)學(xué)規(guī)律建立的一個(gè)重要前提. 譬如函數(shù)概念的建立，在實(shí)際教學(xué)中總是給學(xué)生創(chuàng)設(shè)一個(gè)情境，如生活中某一個(gè)城市人口的數(shù)量與年份之間的關(guān)系，當(dāng)給出一系列數(shù)據(jù)之后，學(xué)生會(huì)自發(fā)地建立人口數(shù)量與年份的坐標(biāo)系，然后通過描點(diǎn)法得出相應(yīng)的圖像. 于是一個(gè)形象的生活問題就變成了一個(gè)抽象的數(shù)學(xué)問題，這實(shí)際上就是一個(gè)數(shù)學(xué)抽象的過程. 由此也可以看出，將復(fù)雜的生活情境抽象成簡潔的數(shù)學(xué)關(guān)系，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)重要思路. 當(dāng)然從數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的角度來看，這也是一個(gè)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)要素培育的機(jī)會(huì). 其實(shí)分析到這里，高中數(shù)學(xué)同行應(yīng)當(dāng)認(rèn)識(shí)到的是，正是因?yàn)閿?shù)學(xué)抽象本身就是數(shù)學(xué)學(xué)科的一個(gè)重要特征，而且存在于幾乎所有數(shù)學(xué)知識(shí)的建構(gòu)過程當(dāng)中，所以數(shù)學(xué)抽象才被稱為數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)六個(gè)要素中的第一個(gè)，也因此在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，一旦遇到數(shù)學(xué)與生活有聯(lián)系的素材，往往都需要進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象. 當(dāng)然數(shù)學(xué)抽象的方向也是明確的，那就是建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)概念或者規(guī)律.

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)抽象培育

有了上述理解之后，教師就需要特別重視一個(gè)問題，那就是如何對(duì)學(xué)生實(shí)施數(shù)學(xué)抽象的教育，并且評(píng)估學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力的形成效果. 如上所說，數(shù)學(xué)抽象位居六個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)要素之首，史寧中教授更是認(rèn)為：數(shù)學(xué)在本質(zhì)上研究的是抽象的東西，數(shù)學(xué)的發(fā)展所依賴的最重要的基本思想也就是抽象. 所以在實(shí)際教學(xué)中，教師不妨建立“基于實(shí)際事物抽象出數(shù)學(xué)研究的對(duì)象，以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力”這樣的思路，去實(shí)施數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)要素的培育. 具體來看一個(gè)例子：

在函數(shù)概念的教學(xué)中，根據(jù)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)函數(shù)這個(gè)概念是能夠接受的，但是對(duì)于函數(shù)定義所強(qiáng)調(diào)的一些基本要求，往往由于理解不透而影響了對(duì)函數(shù)概念的理解. 比如說函數(shù)定義中強(qiáng)調(diào)“都有唯一的元素和它對(duì)應(yīng)”，這個(gè)“唯一”不少學(xué)生都不理解，在剛剛學(xué)習(xí)函數(shù)概念的時(shí)候，他們都會(huì)問道：為什么不可以是兩個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)呢？

學(xué)生之所以有這樣的思考，那是基于他們并不完善的邏輯推理出來的，而幫學(xué)生化解這個(gè)理解上的難題，最好的方法并不是強(qiáng)化定義，而應(yīng)當(dāng)是以學(xué)生已有的思維，去尋找更好的方法. 在筆者看來，數(shù)學(xué)抽象就是一個(gè)比較好的方法.

當(dāng)學(xué)生提出這個(gè)問題之后，回過頭去思考曾經(jīng)進(jìn)行過的數(shù)學(xué)抽象，比如上面提到的氣溫與時(shí)間之間的關(guān)系. 一個(gè)非常有意思的現(xiàn)象是，當(dāng)筆者讓學(xué)生再去思考這個(gè)素材時(shí)，不少學(xué)生在短時(shí)間之內(nèi)就有了新的發(fā)現(xiàn)：一個(gè)年份中的人口數(shù)量不可能有兩個(gè)值. 與此類似的是：一天中某一個(gè)時(shí)刻的氣溫也不可能有兩個(gè)值. 于是有學(xué)生就嘗試著提問：是不是說一個(gè)量（實(shí)際上學(xué)生想表達(dá)的是集合，下同）與另外一個(gè)量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系只是“唯一對(duì)應(yīng)”的時(shí)候，這種關(guān)系才可以用函數(shù)來表述？當(dāng)筆者假裝聽不懂學(xué)生的問題時(shí)，另外有學(xué)生會(huì)補(bǔ)充：是不是說一個(gè)集合與另外一個(gè)集合之間如果不是唯一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，那么這種關(guān)系就不是函數(shù)？分析學(xué)生提出這兩個(gè)問題背后的思維，實(shí)際上可以發(fā)現(xiàn)這就是一種數(shù)學(xué)抽象思維，正是因?yàn)橥ㄟ^數(shù)學(xué)抽象，學(xué)生才較好地建立了理解函數(shù)的基礎(chǔ)，也才認(rèn)識(shí)到函數(shù)最大的本質(zhì)就是唯一對(duì)應(yīng).

實(shí)際上當(dāng)學(xué)生分析到這一步的時(shí)候，說明他們已經(jīng)對(duì)函數(shù)的概念有了更深入的理解，也就是說學(xué)生已經(jīng)通過自己的努力回答了曾經(jīng)遇到的問題. 再回過頭來看學(xué)生自己解決問題的這個(gè)過程，實(shí)際上其中的數(shù)學(xué)抽象體現(xiàn)得比較明顯：學(xué)生帶著問題回過頭來看自己曾經(jīng)遇到過的生活素材，然后想象其中的對(duì)應(yīng)關(guān)系——這實(shí)際上是在前面所進(jìn)行的抽象基礎(chǔ)上的進(jìn)一步的抽象，是高階水平的數(shù)學(xué)抽象. 正是通過這個(gè)抽象過程，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了“唯一對(duì)應(yīng)”是函數(shù)關(guān)系成立的前提條件，于是這樣的一個(gè)過程就成為學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)得到培育的過程.

核心素養(yǎng)視角下理解數(shù)學(xué)抽象

核心素養(yǎng)是指向?qū)W生的未來成長目標(biāo)的，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)只在高中數(shù)學(xué)課堂上去培育學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 數(shù)學(xué)抽象作為數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要組成部分，對(duì)它的理解一方面要延續(xù)傳統(tǒng)——很早以前數(shù)學(xué)抽象就已經(jīng)是數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)的一個(gè)重要概念，另一方面又需要賦予其新的內(nèi)涵. 因此有人這樣說：數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)教學(xué)的永恒主題. 在核心素養(yǎng)背景下思考數(shù)學(xué)抽象，有著重要的歷史意義與現(xiàn)實(shí)意義.

筆者對(duì)這一觀點(diǎn)是贊同的，如果承認(rèn)現(xiàn)實(shí)就可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)前的應(yīng)試使得包括數(shù)學(xué)抽象在內(nèi)的所有的核心素養(yǎng)要素的培育，都面臨著一些困難. 這主要體現(xiàn)在以考試為形式的評(píng)價(jià)，往往考查的是學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用能力，盡管其中也涉及數(shù)學(xué)思維等. 但是不可否認(rèn)的是，應(yīng)試能力往往來自機(jī)械的重復(fù)，也就是現(xiàn)在人們所說的“刷題”，相當(dāng)一部分學(xué)生在遇到熟悉的題目的時(shí)候，都能夠得心應(yīng)手，而遇到新題目的時(shí)候往往就束手無策，這正是刷題的后果. 要想讓學(xué)生在新的情境當(dāng)中，依然能夠有效地運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)去分析問題并解決問題，關(guān)鍵還是需要培養(yǎng)學(xué)生的能力，并且讓這種能力能夠上升為學(xué)生的素養(yǎng). 很顯然，數(shù)學(xué)抽象就是其中關(guān)鍵的一步，也是一個(gè)基本素養(yǎng). 如果學(xué)生具有較強(qiáng)的數(shù)學(xué)抽象能力，那么在分析問題的時(shí)候，往往就能尋找到很好的切入視角，從而可以將難的問題變得更容易，將復(fù)雜的問題變得更簡潔.

最后再從核心素養(yǎng)視角下的高中數(shù)學(xué)教學(xué)來看，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培育是必須實(shí)現(xiàn)的一個(gè)重要目標(biāo). 因此數(shù)學(xué)教師要敢于從當(dāng)前的實(shí)際中跳出來，要努力滿足學(xué)生的應(yīng)試需要，同時(shí)又要引領(lǐng)并滿足學(xué)生的成長需要，尤其是在課堂教學(xué)中，要讓學(xué)生實(shí)質(zhì)性地參與數(shù)學(xué)抽象的每一個(gè)過程，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)抽象這種創(chuàng)造性活動(dòng)的一般性原則與方法. 只有在這樣的角度想認(rèn)識(shí)包括數(shù)學(xué)抽象在內(nèi)的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，才能為核心素養(yǎng)的培育尋找到一條康莊大道.