韓 玉，田寶成，王書鵬

(東北電力大學(xué)理學(xué)院，吉林 吉林 132012)

針對時間間隔不規(guī)則的金融高頻或超高頻數(shù)據(jù)，1998年，Engle和Russell[1]首先提出了一種刻畫交易過程的久期模型，自回歸條件久期(ACD)模型.根據(jù)模型假定的不同，ACD模型可分為指數(shù)ACD(EACD)模型、威布爾ACD(WACD)模型、伽馬ACD(GACD)模型等.2013年，Xu[2]提出了對數(shù)正態(tài)ACD(LNACD)模型.實驗表明，LNACD模型在刻畫金融高頻數(shù)據(jù)上更優(yōu)于EACD和WACD模型.2016年，Zheng[3]等利用漸進ACD(FACD)模型對香港交易所和倫敦交易所的板塊交易久期進行分析，并證明了其有效性.逐漸地，模型在形式上也有了創(chuàng)新，一些非線性久期模型陸續(xù)被提出，典型的有對數(shù)自回歸條件久期(Log-ACD)模型[4]，Box-Cox ACD模型[5]，閾值A(chǔ)CD(TACD)模型[6]等.文獻[7]已推導(dǎo)出Log-ACD模型的一些漸進性質(zhì)，本文便是基于Log-ACD模型進行進一步研究.

最小二乘法是一種常用的估計方法，通過最小化誤差平方和得到參數(shù)估計量.Zhao[8]等基于最小二乘估計給出了Log-ACD模型的漸進性質(zhì).1988年，Owen[9]提出了一種非參數(shù)統(tǒng)計推斷方法，經(jīng)驗似然方法.運用該方法可以構(gòu)建經(jīng)驗似然比檢驗統(tǒng)計量，進而給出估計參數(shù)的置信區(qū)間.此方法一經(jīng)提出，便被學(xué)者廣泛關(guān)注和研究，Ling[10]應(yīng)用經(jīng)驗似然于廣義自回歸條件異方差(GARCH)模型，Qin[11]等推斷出了經(jīng)驗似然估計量的漸進性質(zhì).

1 模型介紹

本文基于對數(shù)自回歸條件久期(Log-ACD)(1，1)模型進行研究，模型形式為

xt=eψtεt，ψt=ω+αlnxt-1+βψt-1，

(1)

公式中：xt為金融久期，滿足xt≥0；ψt為久期xt以x1，…，xt-1為條件的期望.

記θ=(ω，α，β)T∈Θ，Θ為模型(1)的參數(shù)族.對于任意θ=(ω，α，β)T∈Θ，假設(shè)

(C2)Elnεt=0，E(lnεt)2<.

2 主要結(jié)論

假設(shè)θ0∈Θ是模型(1)的真參數(shù)，x1，x2，…，xn表示一組時間久期，令

lt(θ)=(lnxt-ψt(θ))2，

(2)

(3)

(4)

(5)

構(gòu)建對數(shù)經(jīng)驗似然函數(shù)

(6)

我們提出原假設(shè)H0：θ=θ0，為了檢驗此假設(shè)，構(gòu)造經(jīng)驗似然比統(tǒng)計量

公式中：

定理2若假設(shè)條件及定理1成立，則在備擇假設(shè)條件下，當n→時，有

引理1若假設(shè)條件成立，則有

引理2若假設(shè)條件成立，則有

引理3若假設(shè)條件成立，在鄰域Θ0={θ||θ-θ0|≤Mn-0.5}內(nèi)，當n→時，有

公式中：

3 數(shù)值模擬

此節(jié)針對Log-ACD(1，1)模型

進行數(shù)值模擬，公式中：ω=0.7，α=0.2，β=0.3.

3.1 Bootstrap抽樣

在總體樣本信息未知時，通常是從總體樣本中摘取一部分樣本進行參數(shù)估計，這樣可能并未完全利用樣本中的信息.Bootstrap重抽樣，是指從總體樣本中有放回地多次抽取，從而得到的新樣本的方法.該方法可能會多次提取某一個樣本，如此便能充分地利用樣本信息，進而進行后續(xù)研究.Bootstrap抽樣利用了樣本的剩余價值，是能夠利用小樣本估計總體的非參數(shù)方法.

下面根據(jù)不同模型假定、樣本容量n及重復(fù)抽樣次數(shù)m，在置信水平為0.05的情況下，分別計算常規(guī)抽樣和Bootstrap重抽樣方法構(gòu)建經(jīng)驗似然比檢驗統(tǒng)計量的覆蓋率，結(jié)果如表1和表2所示.

表1 模型假定為μ=0，σ2=1的對數(shù)正態(tài)分布時經(jīng)驗似然與Bootstrap抽樣的覆蓋率

表2 模型假定為參數(shù)為1的指數(shù)分布時經(jīng)驗似然與Bootstrap抽樣的覆蓋率

表1和表2顯示，當模型假定為對數(shù)正態(tài)分布和指數(shù)分布時，隨著樣本量的增加，經(jīng)驗似然比檢驗統(tǒng)計量的覆蓋率愈加貼近置信水平.因此，Bootstrap方法并不適用于經(jīng)驗似然，經(jīng)驗似然方法效果更佳.

3.2 經(jīng)驗似然比統(tǒng)計量

此節(jié)針對模型假定為μ=0，σ2=1的對數(shù)正態(tài)分布，重復(fù)試驗500次和1000次，在置信水平為0.05的情況下，分別計算最小二乘估計的漸進正態(tài)性得到的卡方分布檢驗統(tǒng)計量和經(jīng)驗似然比檢驗統(tǒng)計量的覆蓋率，結(jié)果如表3所示.

表3 各統(tǒng)計量的覆蓋率

根據(jù)表3的結(jié)果可知，當模型的誤差項服從對數(shù)正態(tài)分布時，經(jīng)驗似然估計較最小二乘估計更貼近于置信水平，且更加穩(wěn)定.因此，對于Log-ACD模型的參數(shù)估計研究，經(jīng)驗似然方法更優(yōu)于最小二乘法.

4 附 錄

證明引理1：

首先

根據(jù)式(1)，可得

(7)

根據(jù)式(7)，可得

(8)

當n→時，

再由Cauchy不等式，

因此，結(jié)論(1)成立.

由(8)可得

證明引理2：

首先

根據(jù)假設(shè)條件(C2)和引理1，可知結(jié)論(1)成立.

根據(jù)引理1和假設(shè)條件(C2)，有

證明引理3：

根據(jù)引理2的結(jié)論(2)，有

由假設(shè)條件C2和引理1(2)可得

則結(jié)論(1)成立.類似地，可知結(jié)論(2)成立.

證明定理1：

根據(jù)引理3的結(jié)論(2)可知，當n→時，

對于序列{Dt(θ0)}，有

E[Dt(θ0)|Ft-1]=0 ，

公式中：Ft-1表示序列中包含D1(θ0)，…，Dt-1(θ0)的歷史信息，因此序列{Dt(θ0)}為鞅差序列.根據(jù)鞅差中心極限定理可知，當n→時，

證明定理2：

根據(jù)文獻[6]可得