吳勇

[摘? 要] 數(shù)學(xué)建模在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中一直有著重要的地位，對(duì)數(shù)學(xué)建模的理解往往會(huì)因?yàn)榄h(huán)境的變化而變化，在認(rèn)知視角下理解數(shù)學(xué)建模，筆者以為應(yīng)當(dāng)確立兩個(gè)觀點(diǎn)：必須明確認(rèn)識(shí)到學(xué)生在數(shù)學(xué)建模過(guò)程中表現(xiàn)出來(lái)的認(rèn)知表征方式. 在數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)培養(yǎng)的過(guò)程中，要注意學(xué)生的認(rèn)知差異. 基于這兩個(gè)觀點(diǎn)，在高中數(shù)學(xué)建模的教學(xué)過(guò)程中，教師就應(yīng)當(dāng)以學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展作為基礎(chǔ)，并在此基礎(chǔ)上致力于學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)與素養(yǎng)的提升.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)建模;認(rèn)知心理

數(shù)學(xué)建模在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中一直有著重要的地位，對(duì)數(shù)學(xué)建模的理解往往會(huì)因?yàn)榄h(huán)境的變化而變化，這里所說(shuō)的環(huán)境變化是指課程改革或者核心素養(yǎng)帶來(lái)的教育理念的變化. 在課程改革當(dāng)中，數(shù)學(xué)建模是以一個(gè)單獨(dú)的形式存在于課程標(biāo)準(zhǔn)當(dāng)中的，教師對(duì)數(shù)學(xué)建模的理解與運(yùn)用往往是立足于數(shù)學(xué)建模本身，而在核心素養(yǎng)背景之下，在高中數(shù)學(xué)學(xué)科當(dāng)中，數(shù)學(xué)建模是作為數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)6個(gè)要素之一而存在的，在6個(gè)要素當(dāng)中其位列第三，在核心素養(yǎng)的背景之下理解數(shù)學(xué)建模，數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)建模作為數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)之一，是對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象、用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問(wèn)題的素養(yǎng)，它搭建了數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的橋梁，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的重要形式. 由于數(shù)學(xué)建模是面向?qū)W生的，核心素養(yǎng)的培育自然也是面向?qū)W生的，因此培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，就必須研究學(xué)生的認(rèn)知過(guò)程. 而在認(rèn)知視角下理解并實(shí)施數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的培養(yǎng)，也可以讓數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的培養(yǎng)過(guò)程，變得更加符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，從而客觀上也就更加能夠促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的落地.

認(rèn)知視角下的數(shù)學(xué)建模理解

將數(shù)學(xué)建模放在認(rèn)知視角下來(lái)理解，對(duì)于傳統(tǒng)的理解而言，實(shí)際上是一種突破. 當(dāng)教師研究數(shù)學(xué)建模缺乏認(rèn)知視角時(shí)，往往是從數(shù)學(xué)建模本身去進(jìn)行設(shè)計(jì)的，其導(dǎo)致的結(jié)果就是教師在課堂上有可能會(huì)將學(xué)生的思維強(qiáng)行引入教師的思路，于是學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程很容易會(huì)喪失自主建構(gòu)的成分. 正因?yàn)槿绱耍型型ㄟ^(guò)比較研究后認(rèn)為：盡管高中數(shù)學(xué)建模課程實(shí)施取得了一定成效，但其效果并不盡如人意. 究其主要原因之一在于，缺乏針對(duì)高中學(xué)生數(shù)學(xué)建模認(rèn)知規(guī)律的研究，因而難以為高中數(shù)學(xué)建模的課程設(shè)計(jì)與教學(xué)實(shí)施提供必要的認(rèn)知心理學(xué)指導(dǎo).

既然意識(shí)到這個(gè)問(wèn)題，那就必須想方設(shè)法解決這個(gè)問(wèn)題. 在認(rèn)知視角下理解數(shù)學(xué)建模，筆者以為應(yīng)當(dāng)確立兩個(gè)觀點(diǎn).

觀點(diǎn)1：教師必須明確認(rèn)識(shí)到學(xué)生在數(shù)學(xué)建模過(guò)程中表現(xiàn)出來(lái)的認(rèn)知表征方式.

認(rèn)知是有表征方式的，數(shù)學(xué)建模作為一個(gè)相對(duì)復(fù)雜的認(rèn)知過(guò)程，也是有其表征方式的. 對(duì)于高中學(xué)生而言，數(shù)學(xué)建模的認(rèn)知表征方式包括符號(hào)表征以及方法表征（還有一種是機(jī)理表征方式，其主要指向數(shù)學(xué)建模的原理，相對(duì)而言比較復(fù)雜，本文不再贅述）. 所謂符號(hào)表征，是指借助于數(shù)學(xué)語(yǔ)言（包括文字、圖像、圖表等等）對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行描述的表征方式;所謂方法表征，是指借助于數(shù)學(xué)方法及其理解，對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行描述的表征方式. 認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)建模的表征方式不同，就可以對(duì)學(xué)生進(jìn)行因材施教.

觀點(diǎn)2：在數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)培養(yǎng)的過(guò)程中，要注意學(xué)生的認(rèn)知差異.

大量事實(shí)表明，高中生在數(shù)學(xué)建模的過(guò)程中表現(xiàn)出來(lái)的認(rèn)知能力是有差異的，在數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)培養(yǎng)的過(guò)程中，關(guān)注到這種差異，然后與具體的認(rèn)知表征方式進(jìn)行聯(lián)系，可以讓數(shù)學(xué)建模的過(guò)程成為學(xué)生認(rèn)知能力得到培養(yǎng)、反過(guò)來(lái)認(rèn)證能力又可以促進(jìn)數(shù)學(xué)建模高效完成的過(guò)程.

基于認(rèn)知發(fā)展培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模

基于以上兩個(gè)觀點(diǎn)，在高中數(shù)學(xué)建模的教學(xué)過(guò)程中，教師就應(yīng)當(dāng)以學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展作為基礎(chǔ)，并在此基礎(chǔ)上致力于學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)與素養(yǎng)的提升.

例如，在“指數(shù)函數(shù)”這一內(nèi)容的教學(xué)中，筆者注意到學(xué)生對(duì)函數(shù)知識(shí)的理解已經(jīng)有了一定的基礎(chǔ)，那么在建立指數(shù)函數(shù)這個(gè)模型的時(shí)候，就可以在這個(gè)認(rèn)知基礎(chǔ)之上去設(shè)計(jì)符合學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)的教學(xué)過(guò)程. 筆者重點(diǎn)設(shè)計(jì)了這樣幾個(gè)環(huán)節(jié).

環(huán)節(jié)一：創(chuàng)設(shè)情境，激活學(xué)生的前概念.

在高中學(xué)生的生活當(dāng)中，指數(shù)函數(shù)的例子還是非常多的，只不過(guò)由于學(xué)生在生活中沒(méi)有將這些例子與指數(shù)函數(shù)聯(lián)系起來(lái)，因此這些例子只能以前概念的形式存在于學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)結(jié)構(gòu)當(dāng)中. 比如這樣一個(gè)故事就可以作為情境素材：一位皇帝要賞賜立了大功的大臣，說(shuō)提任何條件都可以. 大臣此時(shí)正陪皇帝下棋，于是說(shuō)：只要在棋盤的第1格放1粒米，第2格放2粒米，第3格放4粒米，第4格放8粒米……，以此類推，放滿棋盤就行了. 皇帝以為非常簡(jiǎn)單，滿口答應(yīng). 同學(xué)們猜猜結(jié)果如何？

在好多學(xué)生的認(rèn)識(shí)當(dāng)中，這確實(shí)是一個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題，但是當(dāng)看到教師臉上神秘的表情時(shí)，大多數(shù)學(xué)生又覺(jué)得這個(gè)問(wèn)題不簡(jiǎn)單. 而當(dāng)學(xué)生有了這個(gè)認(rèn)識(shí)時(shí)，面向數(shù)學(xué)建模的認(rèn)知大門就已經(jīng)打開(kāi).

環(huán)節(jié)二：?jiǎn)栴}解決，建立指數(shù)函數(shù)的模型.

其實(shí)當(dāng)學(xué)生的認(rèn)知開(kāi)始失衡時(shí)，學(xué)生也就嘗試去進(jìn)行問(wèn)題解決. 解決的思路無(wú)非是判斷放滿32格需要多少粒米，而解決問(wèn)題的起點(diǎn)就是題目給出的信息，于是學(xué)生會(huì)在草稿紙上做出這些演繹過(guò)程，如：

第1格? ?1粒米

第2格? ?2粒米

第3格? ?4粒米

第4格? ?8粒米

……

第32格

而這樣的演繹很容易讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，也就是米粒數(shù)與格子之間的關(guān)系. 如果將格子設(shè)為自變量x，將米粒數(shù)設(shè)為因變量y，那y與x之間就是一個(gè)的關(guān)系. 這個(gè)關(guān)系在學(xué)生原有的函數(shù)知識(shí)結(jié)構(gòu)中并不存在，因此這是一個(gè)新的函數(shù)關(guān)系，由于變量x出現(xiàn)在指數(shù)位置上，故將這個(gè)函數(shù)命名為指數(shù)函數(shù)是非常恰當(dāng)?shù)?

環(huán)節(jié)三：變式運(yùn)用，鞏固指數(shù)函數(shù)的認(rèn)識(shí).

在指數(shù)函數(shù)概念初步建立之后，教師要認(rèn)識(shí)到這是指數(shù)函數(shù)模型的初步形式. 要鞏固學(xué)生的模型認(rèn)知，教師還應(yīng)當(dāng)通過(guò)變式訓(xùn)練，如生活中其他的指數(shù)函數(shù)關(guān)系等，從認(rèn)知發(fā)展的角度來(lái)看，實(shí)際上這也是一個(gè)同化的過(guò)程，有助于指數(shù)函數(shù)的模型變得更加清晰與牢固.

數(shù)學(xué)建模的水平取決于教學(xué)

數(shù)學(xué)建模在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的存在由來(lái)已久，絕大多數(shù)高中數(shù)學(xué)教師也都具有顯性的數(shù)學(xué)建模意識(shí)與能力. 在此需要認(rèn)識(shí)到的是，教師的教學(xué)對(duì)學(xué)生建模水平的提升有著決定性影響，數(shù)學(xué)教師必須認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)建模作為數(shù)學(xué)應(yīng)用的中堅(jiān)力量，在未來(lái)的數(shù)學(xué)教育中必將成為一個(gè)熱點(diǎn). 因此如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，把建模思想貫徹于日常教學(xué)工作中，提高學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力，應(yīng)當(dāng)成為廣大數(shù)學(xué)教師的重要認(rèn)識(shí). 只有教師具有顯著的數(shù)學(xué)建模意識(shí)，才能讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)建模的重要性，并在日常的學(xué)習(xí)過(guò)程中有意識(shí)地提升自身數(shù)學(xué)建模的能力，這樣也就為數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的落地提供了堅(jiān)強(qiáng)的保證. 因此從這個(gè)角度來(lái)看，對(duì)教師自身的教學(xué)無(wú)論如何強(qiáng)調(diào)，都是必需的.