（南京財(cái)經(jīng)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，江蘇 南京210023）

1 引言

微積分作為經(jīng)管類本科專業(yè)的一門的重要基礎(chǔ)課，不僅為后續(xù)專業(yè)課學(xué)習(xí)提供了必要的知識，而且為培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力、分析及解決實(shí)際問題的能力奠定必要的基礎(chǔ)[1]。因此，微積分學(xué)習(xí)的好壞將直接影響到后續(xù)各專業(yè)課的學(xué)習(xí)效果以及學(xué)生繼續(xù)深造的積極性。但如今受到教學(xué)大綱的整體學(xué)時(shí)以及教學(xué)工作者對微積分教學(xué)存在的片面認(rèn)識等影響，使微積分的教學(xué)效果及改革步履維艱[2]。具體表現(xiàn)在：首先，在教學(xué)內(nèi)容上，不僅與高中數(shù)學(xué)知識存在一定的脫鉤，而且一些教學(xué)工作者對教學(xué)理念和方法存在固步自封的情形，嚴(yán)重影響經(jīng)管類高等教育改革的步伐和相應(yīng)的人才培養(yǎng)的需要[3]；其次，由于微積分的邏輯性、抽象性強(qiáng)，學(xué)習(xí)起來相對枯燥無味，從而導(dǎo)致一些學(xué)生放棄學(xué)習(xí)；一些愛好數(shù)學(xué)的學(xué)生，由于初期學(xué)習(xí)對一些抽象概念、性質(zhì)以及定理理解不夠深刻，加之學(xué)而不精、學(xué)而不用，導(dǎo)致學(xué)習(xí)效果不佳。這些客觀原因的存在，都反映出微積分教學(xué)方法和教學(xué)理念改革的迫切性。

為了提高經(jīng)管類微積分的教學(xué)效果，更好地為后續(xù)專業(yè)課程服務(wù)，本文提出了一種基于“陷阱”式的教學(xué)法，探討經(jīng)管類微積分課程的教學(xué)改革。實(shí)踐表明，該方法能夠有效地提高學(xué)生對微積分中的抽象概念、性質(zhì)以及定理的理解程度，提高其學(xué)習(xí)積極性，增強(qiáng)其專業(yè)的應(yīng)用能力。

2 “陷阱”教學(xué)法的具體應(yīng)用實(shí)例

2.1 在抽象概念中的應(yīng)用

微積分中的一些抽象概念由于課時(shí)以及大綱要求等限制，導(dǎo)致學(xué)生對這些抽象概念理解不準(zhǔn)確，甚至糊里糊涂。為了加深學(xué)生對這些抽象概念的理解深度，特引入“陷阱”式教學(xué)法。

例如：無窮大量和無界變量的概念在微積分的學(xué)習(xí)中扮演著非常重要的作用，特別是在極限運(yùn)算中的作用尤為明顯。由于無界變量是對整個(gè)定義域而言，而無窮大量則是對極限趨勢來說的。在實(shí)際教學(xué)中，教師一般是在不同教學(xué)時(shí)段來進(jìn)行講解這兩個(gè)概念，從而導(dǎo)致大部分學(xué)生對兩者的概念容易產(chǎn)生混淆，甚至把兩者混為一談。本文通過引入“陷阱”式教學(xué)案例，將兩者有機(jī)的結(jié)合在一起進(jìn)行講解，讓學(xué)生更加深刻的理解無窮大量和無界變量的概念。

例1：判斷函數(shù)f(x)=xsin x在整個(gè)實(shí)數(shù)域上是無窮大量還是無界變量。

解：首先通過如下的方式使學(xué)生掉進(jìn)無窮大量的“陷阱”之中，即令 x=2nπ+π/2 時(shí)，則所以f(x)是無窮大量。而后給學(xué)生分析正確結(jié)果如下：該函數(shù)是偶函數(shù)，故只需關(guān)注 x∈[0，+∞)，當(dāng) x取 nπ 時(shí)，則，所以f(x)不是無窮大量，但既然有一個(gè)子列可以使xsinx→∞，故f(x)無界變量。

例 2：判斷數(shù)列 an=［1+(-1)n］n2是無界變量還是無窮大變量。

解：首先使學(xué)生生搬硬套概念公式，即n2是無窮大量，1+(-1)n是常數(shù)，使其掉進(jìn)錯(cuò)誤的 “陷阱”里，即數(shù)列 an=［1+(-1)n］n2是無窮大變量。 然后給學(xué)生分析正確結(jié)果如下：因?yàn)閍1=0,a2=4，a3=0，a4=8，L，a2n-1=0，a2n=4n，L 顯然數(shù)列 ｛an｝是無界的，又因?yàn)?，所以?shù)列｛an｝不是無窮大。

通過以上兩個(gè)“陷阱”式教學(xué)案例，可以使學(xué)生更加深刻理解無窮大量和無界變量的概念，并能夠準(zhǔn)確判斷它們之間的關(guān)系,即無窮大量一定是無界變量，反之無界變量不一定是無窮大量，從而有助于提高學(xué)生學(xué)習(xí)微積分概念的興趣，讓其感受到微積分中抽象概念的魅力所在。

2.2 在具體性質(zhì)中的應(yīng)用

微積分中一些抽象的性質(zhì)，同樣由于客觀原因限制，在授課的過程中，其理論證明過程往往是省略的，從而導(dǎo)致一些學(xué)生只會(huì)機(jī)械地使用。特別是在不滿足性質(zhì)條件的情況下，如果繼續(xù)生搬硬套該性質(zhì)，最終將得到錯(cuò)誤的結(jié)果。

冪指函數(shù)在同濟(jì)版《高等數(shù)學(xué)》[4]中給出其一般形式是 f(x)＝u(x)v(x)并 u(x)＞0 且，掌握其求極限的方法是微積分教學(xué)中的一個(gè)重要內(nèi)容，教材上一般都是直接給出其公式如下：

設(shè) lim u(x)=A＞0，lim v(x)=B，則有

上述冪指函數(shù)的極限公式，使得本來一個(gè)復(fù)雜的函數(shù)極限問題轉(zhuǎn)化為分別求簡單的底函數(shù)u(x)和指函數(shù)v(x)的極限，然后對其極限進(jìn)行冪運(yùn)算的問題。但往往容易忽略冪指函數(shù)極限公式成立的先決條件為：函數(shù)u(x)和v(x)的極限存在且u(x)的極限大于零，想當(dāng)然的生搬硬套冪指函數(shù)的求極限公式。

例3[5]：求

其次引入一個(gè)重要的極限反例，

使學(xué)生意識到掉進(jìn)了一個(gè)錯(cuò)誤的陷阱之中。最后，給學(xué)生講解正確的冪指函數(shù)求極限公式，設(shè)

上述“陷阱”式教學(xué)案例可以使學(xué)生深刻的認(rèn)識到冪指函數(shù)求極限法則的使用條件為：底函數(shù)u(x)和指函數(shù)v(x)的極限首先都要存在，而不是分別求底函數(shù)u(x)和指函數(shù)v(x)的極限，然后對其極限進(jìn)行冪運(yùn)算。

此外，學(xué)生在冪指函數(shù)求極限問題中，比較容易錯(cuò)誤的第二種情況為：A=∞，B=0，=AB=∞0=1。我們同樣可以通過引入文[6]中的具體例子來設(shè)置“陷阱”式教學(xué)案例，幫助學(xué)生進(jìn)一步理解和熟練運(yùn)用冪指函數(shù)求極限法則。

而后給學(xué)生分析正確的計(jì)算結(jié)果如下：

通過上述兩種情形的“陷阱”式教學(xué)案例，即“A=1，B=∞”和“A=∞，B=0”情形，能夠使學(xué)生在以后的學(xué)習(xí)中更加牢記并深刻的理解冪指函數(shù)求極限的法則。

2.3 在具體定理中的應(yīng)用

考慮到教學(xué)大綱以及教學(xué)學(xué)時(shí)等客觀因素影響，教師在實(shí)際教學(xué)中對微積分中一些重要定理往往不給出詳細(xì)的理論證明，而僅僅講解如何有效地運(yùn)用這些定理去解決問題。因此，往往會(huì)導(dǎo)致學(xué)生只會(huì)機(jī)械地使用這些定理，而對定理的實(shí)際含義一知半解，以至于在一些具體的運(yùn)用中，缺少一些關(guān)鍵元素，導(dǎo)致定理的誤用。

例如：不定積分在微積分的教學(xué)中起到非常重要的作用，對后續(xù)定積分學(xué)習(xí)的好壞起到?jīng)Q定性的作用，而大多數(shù)同學(xué)對不定積分的定理一知半解。其中，容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤情況是把不定積分等同于求函數(shù)的原函數(shù)，從而在計(jì)算結(jié)果中缺少一個(gè)關(guān)鍵的元素常數(shù)C。我們可以通過引入如下“陷阱”式教學(xué)方案，使學(xué)生能夠深刻的理解不定積分的實(shí)際含義并能夠在實(shí)際應(yīng)用中牢記在等式的后面加上常數(shù)C。

例6：求不定積分

通過這個(gè)“陷阱”式教學(xué)案例，可以首先讓學(xué)生掉進(jìn)誤以為自己算錯(cuò)的“陷阱”之中。然后我們通過如下方式給學(xué)生解釋上述兩個(gè)不定積分為什么都有兩種正確結(jié)果，從而使學(xué)生更加深刻理解到不定積分后面的常數(shù)C的重要意義。

例7：求不定積分

同樣通過這個(gè)“陷阱”式教學(xué)案例，首先可以讓學(xué)生掉進(jìn)以為是自己算錯(cuò)的“陷阱”之中；然后利用三角函數(shù)的恒等式關(guān)系給出正確的結(jié)果，讓學(xué)生明白兩種計(jì)算結(jié)果不一樣是由于忽略了不定積分后面的常數(shù)C的緣故；最后可以使學(xué)生更加深刻理解并認(rèn)識到不定積分常數(shù)C的重要意義。

3 結(jié)束語

經(jīng)管類微積分的教學(xué)改革是一項(xiàng)任重道遠(yuǎn)的任務(wù)，在國家強(qiáng)力推行素質(zhì)教育的今天，也應(yīng)該隨著教學(xué)理念的革新以及教學(xué)手段的進(jìn)步，不斷推陳出新。同時(shí)，教育主管部門也應(yīng)更加重視基礎(chǔ)學(xué)科的建設(shè)，對微積分等數(shù)學(xué)課程給予更多傾斜[7]。本文探討了如何通過引入“陷阱”式教學(xué)案例，加深學(xué)生對微積分中抽象概念、性質(zhì)以及定理的理解，以達(dá)到提高教學(xué)效果的目的。但在實(shí)際教學(xué)中，教師在引入“陷阱”式教學(xué)案例時(shí)，還應(yīng)該根據(jù)實(shí)際知識的特點(diǎn)，有機(jī)地將“陷阱”式教學(xué)法引入到微積分教學(xué)中，不能東施效顰式的使用“陷阱”式教學(xué)法，其結(jié)果必然適得其反。