呂立夏　喻平

摘要：應(yīng)用題解決的心理學(xué)研究主要集中在問(wèn)題表征、情境因素、解題策略、模式識(shí)別、元認(rèn)知及非智力因素對(duì)應(yīng)用題解決的影響等方面。將相關(guān)研究成果應(yīng)用于中學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)，可以提煉出幾點(diǎn)策略：豐富領(lǐng)域知識(shí)，形成扎實(shí)基礎(chǔ);加強(qiáng)審題訓(xùn)練，提升表征水平;構(gòu)建變式問(wèn)題，促進(jìn)知識(shí)遷移;設(shè)計(jì)自我提問(wèn)單，提高監(jiān)控技能。

關(guān)鍵詞：應(yīng)用題解決 領(lǐng)域知識(shí) 問(wèn)題表征 模式識(shí)別 元認(rèn)知

應(yīng)用題解決是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，因而成為心理學(xué)研究關(guān)注的問(wèn)題。應(yīng)用題解決的心理學(xué)研究主要集中在問(wèn)題表征、情境因素、解題策略、模式識(shí)別、元認(rèn)知及非智力因素對(duì)應(yīng)用題解決的影響等方面。本文對(duì)相關(guān)研究做簡(jiǎn)要介紹，并由此提出中學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)的幾點(diǎn)策略。

一、心理學(xué)對(duì)應(yīng)用題解決的一些研究

（一）問(wèn)題表征

問(wèn)題表征是指通過(guò)審題，明確給定的條件、目標(biāo)和允許的操作，檢索、激活頭腦中與之相關(guān)的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，將外部的物理刺激轉(zhuǎn)化為內(nèi)部心理符號(hào)，形成問(wèn)題空間的過(guò)程。西蒙認(rèn)為，問(wèn)題表征是問(wèn)題解決的一個(gè)中心環(huán)節(jié)，它說(shuō)明問(wèn)題在頭腦中是如何表現(xiàn)出來(lái)的。有時(shí)候問(wèn)題解決的難度并不在問(wèn)題本身，而在于解題者對(duì)問(wèn)題表征的方式。

問(wèn)題表征是一個(gè)逐步深化的過(guò)程。傅小蘭等就一道應(yīng)用題對(duì)34名學(xué)生進(jìn)行測(cè)試，通過(guò)分析被試的解答，得出被試對(duì)問(wèn)題進(jìn)行表征、建立問(wèn)題空間的一般過(guò)程。第一，問(wèn)題信息的搜索和提取。在這個(gè)過(guò)程中，解題者需要從問(wèn)題陳述中、長(zhǎng)時(shí)記憶中提取全部有關(guān)信息;一旦搜索問(wèn)題信息時(shí)遺漏了某些信息，建構(gòu)的問(wèn)題空間就不完整，也就無(wú)法求得問(wèn)題的正確解。第二，問(wèn)題信息的理解和內(nèi)化。在這一過(guò)程中，解題者需要對(duì)搜索和提取的問(wèn)題信息做深加工，從而正確地理解和利用問(wèn)題信息，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的結(jié)構(gòu)，構(gòu)建自己的問(wèn)題空間。第三，發(fā)展隱喻約束條件與意識(shí)化，即對(duì)問(wèn)題規(guī)則（約束條件）的理解和掌握在構(gòu)建正確的問(wèn)題空間中起著重要的作用。問(wèn)題表征過(guò)程中的任何環(huán)節(jié)出了差錯(cuò)，都將導(dǎo)致構(gòu)建出錯(cuò)誤的或不完整的問(wèn)題空間。因而，正確的問(wèn)題表征是解決問(wèn)題的必要前提。

Mayer依據(jù)提取信息的不同將問(wèn)題表征劃分為數(shù)字表征、關(guān)系表征、圖式表征三種類型。數(shù)字表征指依據(jù)問(wèn)題中的數(shù)字關(guān)系理解問(wèn)題;關(guān)系表征指依據(jù)問(wèn)題中的變量關(guān)系理解問(wèn)題;圖式表征指依據(jù)問(wèn)題的內(nèi)在結(jié)構(gòu)理解問(wèn)題。有學(xué)者依據(jù)問(wèn)題的表征形式對(duì)問(wèn)題做分類：（1）字面特征分類，即依據(jù)題目的文字描述而非從數(shù)學(xué)角度做出的分類（例如，把題目?jī)?nèi)容是食品的歸為一類）;（2）表層結(jié)構(gòu)分類，即依據(jù)題目的表面信息而非從數(shù)學(xué)本質(zhì)角度做出的分類（例如，把題目?jī)?nèi)容是路程問(wèn)題的歸為一類）;（3）深層結(jié)構(gòu)分類，即依據(jù)題目的數(shù)學(xué)本質(zhì)做出的分類（例如，把有關(guān)路程內(nèi)容的問(wèn)題分為追擊問(wèn)題、相遇問(wèn)題等）。馮虹等的研究表明，隨著年級(jí)的增高，學(xué)生越來(lái)越傾向于按照題目的深層結(jié)構(gòu)分類，數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀生與差生分類的結(jié)果差異顯著。

問(wèn)題表征離不開對(duì)信息的搜索和提取，離不開專門知識(shí)（也就是領(lǐng)域知識(shí)）的支持。有研究表明，領(lǐng)域知識(shí)不同的學(xué)生在問(wèn)題表征過(guò)程中具有不同的特點(diǎn)：領(lǐng)域知識(shí)豐富的學(xué)生更傾向于深層次表征問(wèn)題，而領(lǐng)域知識(shí)貧乏的學(xué)生更傾向于淺層次表征問(wèn)題。也就是說(shuō)，如果學(xué)生頭腦中具備豐富的公式、定理、問(wèn)題原型和應(yīng)用題模式，那么其更傾向于對(duì)問(wèn)題做深層次表征，從而正確地解決問(wèn)題。張維的研究也證實(shí)了這個(gè)結(jié)論。研究采用“學(xué)習(xí)—再認(rèn)”范式，研究學(xué)科領(lǐng)域知識(shí)豐富性不同的學(xué)生（依據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成績(jī)分類）在問(wèn)題表征層次上的特點(diǎn)?！皩W(xué)習(xí)—再認(rèn)”是指讓被試先學(xué)習(xí)一個(gè)材料，然后進(jìn)行測(cè)試，判斷測(cè)試題中是否出現(xiàn)了前面學(xué)習(xí)過(guò)的東西，包括表面特征和原理特征。結(jié)果表明，“知識(shí)豐富組”表征問(wèn)題除了采用表面特征外，還會(huì)對(duì)原理特征進(jìn)行表征;“知識(shí)貧乏組”為避免干擾，會(huì)丟棄原理特征，往往用表面特征來(lái)識(shí)別問(wèn)題。

（二）情境因素

應(yīng)用題的表述往往是有情境的，那么情境是否會(huì)對(duì)問(wèn)題解決產(chǎn)生影響？不少學(xué)者對(duì)此進(jìn)行了研究。Zhang通過(guò)“TicTacToe”式同型游戲問(wèn)題發(fā)現(xiàn)，問(wèn)題的外部結(jié)構(gòu)與情境不僅是對(duì)內(nèi)部意識(shí)的輸入和刺激，而且具有獨(dú)立于內(nèi)部表征的作用，就此提出了問(wèn)題的外部表征概念。他認(rèn)為，外部表征是指問(wèn)題情境的成分和結(jié)構(gòu)，外部表征的信息只能被知覺(jué)系統(tǒng)察覺(jué)、分析和加工。邢強(qiáng)等通過(guò)對(duì)相關(guān)文獻(xiàn)的整理、分析，提出數(shù)學(xué)應(yīng)用題的外部表征影響因素主要包括文本表面特征、文本內(nèi)容熟悉程度、符號(hào)、插圖、問(wèn)題與文本的呈現(xiàn)位置、不同的措辭、情境內(nèi)容的現(xiàn)實(shí)性等。

趙繼源基于一道零分率超過(guò)60%的高考數(shù)學(xué)試題——“冷軋機(jī)”應(yīng)用題，設(shè)計(jì)了6道對(duì)比應(yīng)用題，對(duì)高二學(xué)生展開測(cè)試。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，應(yīng)用題背景的熟悉程度對(duì)學(xué)生解題有顯著影響;對(duì)于背景熟悉的題目，數(shù)據(jù)抽象與否對(duì)解題影響不顯著，但在陌生背景下則達(dá)到了顯著水平;對(duì)于背景陌生的題目，即使凸顯關(guān)鍵信息，其影響也不明顯。他還進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)，對(duì)于中等或中下水平的學(xué)生而言，凸顯關(guān)鍵信息對(duì)于解題不會(huì)有任何幫助，但對(duì)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好的學(xué)生，凸顯關(guān)鍵信息對(duì)于解題有明顯的啟發(fā)作用。

章巍將代數(shù)應(yīng)用題的語(yǔ)言描述特征分解為語(yǔ)量、語(yǔ)境、語(yǔ)序和關(guān)鍵詞的隱蔽程度四個(gè)指標(biāo)，通過(guò)實(shí)驗(yàn)逐一研究每個(gè)指標(biāo)與解題效果的關(guān)系。結(jié)果表明：語(yǔ)量對(duì)初二學(xué)生解答代數(shù)應(yīng)用題效果的影響明顯，“學(xué)困生”相對(duì)于“學(xué)優(yōu)生”更容易受語(yǔ)量的影響;語(yǔ)境對(duì)解答代數(shù)應(yīng)用題效果的影響明顯;語(yǔ)序?qū)獯鸫鷶?shù)應(yīng)用題的效果有一定程度的影響，但不夠顯著;關(guān)鍵詞的隱蔽程度對(duì)解題結(jié)果有一定程度的影響，但不夠顯著，而對(duì)解題時(shí)間的影響卻非常顯著，即大多數(shù)學(xué)生面對(duì)關(guān)鍵條件隱蔽性較強(qiáng)的代數(shù)應(yīng)用題時(shí)，會(huì)花費(fèi)大量時(shí)間去尋找和發(fā)掘這些條件。

情境內(nèi)容的真實(shí)性是指數(shù)學(xué)應(yīng)用題的背景是真實(shí)存在的。一些學(xué)者據(jù)此定義了規(guī)則應(yīng)用題和不規(guī)則應(yīng)用題：規(guī)則應(yīng)用題即傳統(tǒng)的應(yīng)用題，題目規(guī)范，條件充分，答案唯一;而不規(guī)則應(yīng)用題由于背景真實(shí)，條件可能多余，也可能不足，答案可能無(wú)解，也可能有多解。學(xué)生解決不規(guī)則應(yīng)用題時(shí)，不僅要結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)，而且要基于日常生活經(jīng)驗(yàn)。Sweller等提出的認(rèn)知負(fù)荷理論可以解釋為何有多余條件的應(yīng)用題對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是最難的。該理論認(rèn)為，在解決有多余信息的問(wèn)題時(shí)，解題者必須對(duì)兩種信息進(jìn)行加工，即正確解題所需的信息以及多余信息;解題者首先需要集中精力來(lái)區(qū)分這兩種信息，然后才能對(duì)解題有關(guān)的信息進(jìn)行充分的表征。

馮虹等用眼動(dòng)分析法分析不同年級(jí)學(xué)生對(duì)不同類型題目（完整的、有多余條件的、缺少條件的和缺少問(wèn)題的題目）的表征層次和解題策略。結(jié)果發(fā)現(xiàn)：不同年級(jí)學(xué)生對(duì)“題設(shè)”的相對(duì)注視次數(shù)（被試在某個(gè)興趣區(qū)的注視次數(shù)占全部注視次數(shù)的百分比）的差異并不顯著，但是對(duì)“關(guān)鍵信息”的相對(duì)注視次數(shù)則表現(xiàn)出了明顯的年級(jí)特征;學(xué)生解規(guī)則題目時(shí)對(duì)“題設(shè)”的相對(duì)注視次數(shù)非常顯著地小于不規(guī)則題目，解不規(guī)則題目時(shí)對(duì)“關(guān)鍵信息”的相對(duì)注視次數(shù)顯著大于規(guī)則題目。實(shí)驗(yàn)還發(fā)現(xiàn)，學(xué)生解缺少條件的題目時(shí)正確率最高，原因在于學(xué)生對(duì)題目進(jìn)行深度表征后，會(huì)添加一些很容易解答的條件或問(wèn)題;而解有多余條件的題目時(shí)正確率最低，說(shuō)明有多余條件的題目對(duì)學(xué)生而言最難解決。

（三）解題策略

解決應(yīng)用問(wèn)題有一些策略（最常用的就是畫圖策略）。信息區(qū)分策略是指在解題過(guò)程中將題目背景及問(wèn)題分析成語(yǔ)義單元，對(duì)信息類型進(jìn)行檢驗(yàn)、區(qū)分，找出信息之間的相關(guān)性，目的是對(duì)這些信息進(jìn)行比較，進(jìn)而與問(wèn)題相匹配。Littlefield等通過(guò)觀察學(xué)生的眼動(dòng)軌跡，發(fā)現(xiàn)學(xué)生一共使用了5種區(qū)分策略。（1）重讀題目策略：通過(guò)重復(fù)地閱讀題目，將部分信息及語(yǔ)義特征貯存到工作記憶中，然后對(duì)信息進(jìn)行比較。（2）單一比較策略：在數(shù)字及關(guān)系詞之間進(jìn)行簡(jiǎn)單、直接的比較，可能會(huì)根據(jù)問(wèn)題部分的要求直接列出方程。（3）以特征為基礎(chǔ)策略：在題目中尋找與問(wèn)題部分的語(yǔ)義特征相匹配的語(yǔ)義特征，通常會(huì)將注視點(diǎn)集中在變量名或與問(wèn)題部分相似的事件、概念上。（4）“問(wèn)題—引導(dǎo)”策略：以問(wèn)題部分的語(yǔ)義特征為指導(dǎo)，對(duì)信息進(jìn)行分析。（5）首次讀題區(qū)分策略：對(duì)語(yǔ)義類型進(jìn)行區(qū)分，找到解題所需的關(guān)鍵信息，將注視點(diǎn)集中在關(guān)鍵信息和相關(guān)數(shù)字信息上。岳寶霞等以初二學(xué)生為被試，采用眼動(dòng)分析法探討了題目難度、冗余信息和數(shù)學(xué)成績(jī)對(duì)學(xué)生采用信息區(qū)分策略的影響，結(jié)果證實(shí)了學(xué)生解答應(yīng)用題存在上述5種策略。

人們關(guān)注的另一個(gè)問(wèn)題是，能力水平不同的學(xué)生是否會(huì)采用不同的策略解決問(wèn)題。張錦坤等運(yùn)用作品分析法分析初二優(yōu)秀生、中等生和差生對(duì)兩道中等偏上難度幾何應(yīng)用題的解答情況，以此探討各層次學(xué)生解答應(yīng)用題的策略類型。分析發(fā)現(xiàn)，不同水平的學(xué)生在兩道幾何應(yīng)用題的解題過(guò)程、解題步驟上所使用的策略是不同的：優(yōu)秀生的解題策略為“俯瞰型”，他們能深刻理解問(wèn)題，通過(guò)不斷創(chuàng)造中間條件靈活連接條件與問(wèn)題的關(guān)系;中等生為“經(jīng)驗(yàn)型”，表現(xiàn)為過(guò)度依賴過(guò)去的解題經(jīng)驗(yàn)，對(duì)問(wèn)題與條件之間關(guān)系的綜合把握不夠靈活;差生為“盲目型”，表現(xiàn)為對(duì)解題的目的指向性不強(qiáng)，只是試探性地從已知條件中推導(dǎo)出一些結(jié)果。

（四）模式識(shí)別

數(shù)學(xué)應(yīng)用題存在模型，這是數(shù)學(xué)教師在教學(xué)實(shí)踐中總結(jié)出來(lái)的經(jīng)驗(yàn)。在問(wèn)題解決中，解題者調(diào)用頭腦中的模型來(lái)解決當(dāng)前問(wèn)題，就是模式識(shí)別。

施鐵如通過(guò)對(duì)初一年級(jí)兩組學(xué)生的對(duì)比實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)：能否識(shí)別應(yīng)用題的類型在很大程度上決定著能否迅速、準(zhǔn)確地解答問(wèn)題;要正確識(shí)別應(yīng)用題的類型，需要從具體的語(yǔ)義情境中分出確定的、一般的結(jié)構(gòu)關(guān)系，這既依賴于對(duì)當(dāng)前題目信息的加工，也依賴于對(duì)記憶中貯存的有關(guān)信息的搜尋;識(shí)別題目類型的訓(xùn)練有利于形成解題技能，而這種訓(xùn)練應(yīng)該圍繞模型選擇多種多樣的變式習(xí)題來(lái)進(jìn)行。

王亞同等將例子的概括化程度稱為圖式化程度。圖式化本質(zhì)上就是一種模式化。他們研究發(fā)現(xiàn)，利用由結(jié)構(gòu)類似性形成的代數(shù)圖式可以比較容易地解決目標(biāo)問(wèn)題。

陸昌勤等做了對(duì)比實(shí)驗(yàn)：在實(shí)驗(yàn)班采用解答代數(shù)應(yīng)用題的認(rèn)知過(guò)程模式教學(xué)——對(duì)每道題目，學(xué)生都要填寫表1;在控制班按照傳統(tǒng)方式教學(xué)。結(jié)果表明，實(shí)驗(yàn)班學(xué)生解題正確率非常顯著地高于控制班，因?yàn)閷?shí)驗(yàn)班學(xué)生的頭腦中形成了解決問(wèn)題的模式，有優(yōu)良的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

（五）元認(rèn)知及非智力因素

許多研究證實(shí)，元認(rèn)知及非智力因素對(duì)問(wèn)題解決有顯著影響。童世斌等采用對(duì)比實(shí)驗(yàn)，對(duì)實(shí)驗(yàn)班進(jìn)行兩個(gè)階段的訓(xùn)練。第一階段，訓(xùn)練掌握元認(rèn)知知識(shí)，即解決問(wèn)題的有效思維策略。訓(xùn)練內(nèi)容包括：準(zhǔn)確理解題意，理清復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系，尋找隱含的數(shù)量關(guān)系，總結(jié)解題思路。第二階段，訓(xùn)練元認(rèn)知監(jiān)控。利用“元認(rèn)知監(jiān)控自我提問(wèn)單”訓(xùn)練學(xué)生通過(guò)自我監(jiān)視和控制來(lái)確保自己在問(wèn)題解決過(guò)程中運(yùn)用所學(xué)的策略性知識(shí)。結(jié)果表明：學(xué)生的思維策略訓(xùn)練效果顯著，中等生、差生的效果尤為顯著;在思維策略訓(xùn)練的基礎(chǔ)上加上元認(rèn)知監(jiān)控訓(xùn)練，能夠更有效地提升解答數(shù)學(xué)應(yīng)用題思維訓(xùn)練的效果。

由于數(shù)學(xué)應(yīng)用題的篇幅長(zhǎng)、背景陌生，不少學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用題有著與生俱來(lái)的畏懼感。數(shù)學(xué)焦慮是情感，也是認(rèn)知方面對(duì)數(shù)學(xué)的恐懼，指學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中由于過(guò)度的擔(dān)心和憂慮而引起的一系列生理上和心理上的消極狀態(tài)。宋廣文等通過(guò)對(duì)初中學(xué)生進(jìn)行測(cè)量研究，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)焦慮對(duì)解答應(yīng)用題的成績(jī)具有一定的負(fù)向作用。

二、對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示

上述應(yīng)用題解決的一些心理學(xué)研究，可以給我們一些有益的啟示，從而提出如下幾點(diǎn)中學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)策略。

（一）豐富領(lǐng)域知識(shí)，形成扎實(shí)基礎(chǔ)

掌握基礎(chǔ)知識(shí)，形成基本技能，是教學(xué)三維目標(biāo)中的第一維，也是學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的基礎(chǔ)。事實(shí)上，上述關(guān)于領(lǐng)域知識(shí)的豐富的心理學(xué)研究，本質(zhì)上就指向“雙基”的扎實(shí)性。基礎(chǔ)知識(shí)的厚實(shí)、基本技能的嫻熟，不僅對(duì)解決應(yīng)用題有舉足輕重的作用，而且對(duì)解決所有的數(shù)學(xué)問(wèn)題都至關(guān)重要，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)質(zhì)量高低的一個(gè)顯性指標(biāo)。

在應(yīng)用題教學(xué)中，要豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)領(lǐng)域知識(shí)，可考慮如下兩點(diǎn)：

首先，幫助學(xué)生在長(zhǎng)時(shí)記憶中貯存必需的公式、定理和法則。解決應(yīng)用問(wèn)題會(huì)用到大量的數(shù)學(xué)公式，如速度公式、濃度公式、復(fù)利公式等。不僅如此，解決應(yīng)用題還會(huì)用到一些跨領(lǐng)域的知識(shí)。一是數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)部的跨領(lǐng)域。比如，許多應(yīng)用題都與距離有關(guān)，而距離是線段的長(zhǎng)度，因而，大多數(shù)求距離的應(yīng)用題，可能會(huì)與平面幾何、三角函數(shù)、解析幾何的一些公式、定理有關(guān)系。二是跨學(xué)科領(lǐng)域。比如，解決數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題可能會(huì)用到物理、化學(xué)、生物等學(xué)科的相關(guān)公式、法則。因此，記憶重要的知識(shí)是解答應(yīng)用題的必要條件，教師應(yīng)該將知識(shí)分門別類，幫助學(xué)生形成知識(shí)體系，有序貯存知識(shí)。

其次，幫助學(xué)生總結(jié)題目類型，形成解題模式。如前文所述，心理學(xué)的相關(guān)研究表明，對(duì)模式進(jìn)行有效的識(shí)別是解決應(yīng)用問(wèn)題的關(guān)鍵。波利亞也提倡解題模式的訓(xùn)練，他提出的笛卡兒模式、雙軌跡模式等就是數(shù)學(xué)解題模式的典范。事實(shí)上，許多學(xué)生對(duì)應(yīng)用題的錯(cuò)誤解答，或者是因?yàn)闊o(wú)法識(shí)別題目類型，或者是因?yàn)殄e(cuò)誤識(shí)別題目類型。因此，教師要幫助學(xué)生養(yǎng)成辨析問(wèn)題類型的習(xí)慣，提升識(shí)別模式的能力。當(dāng)然，這樣做的前提是學(xué)生頭腦中具備相關(guān)的模式。對(duì)此，可以采用“解題總結(jié)、分門別類、提煉方法、形成模式”的路徑。

（二）加強(qiáng)審題訓(xùn)練，提升表征水平

審題與問(wèn)題表征直接相關(guān)，審題的質(zhì)量影響問(wèn)題表征的質(zhì)量。因此，加強(qiáng)對(duì)學(xué)生審題的訓(xùn)練十分必要。

審題教學(xué)可以分為以下幾步：分層理解，分類整理，分步反推。首先，引導(dǎo)學(xué)生采用“首次讀題區(qū)分策略”通讀題目，對(duì)題目信息中的問(wèn)題背景、基本元素的數(shù)量或位置關(guān)系、解題目標(biāo)進(jìn)行分層理解。第一遍通讀，主要了解問(wèn)題背景、明確解題目標(biāo)。其次，引導(dǎo)學(xué)生采用“‘問(wèn)題—引導(dǎo)策略”“以特征為基礎(chǔ)策略”等進(jìn)行精讀，在問(wèn)題的引導(dǎo)下借助圖形或表格清晰地表述關(guān)鍵信息，并將文字語(yǔ)言進(jìn)行初步的數(shù)學(xué)表征。第二遍精讀，關(guān)注與解題相關(guān)的數(shù)量或位置關(guān)系。最后，引導(dǎo)學(xué)生分步反推，尋找已知條件與解題目標(biāo)之間的聯(lián)系、隱含信息以及相關(guān)知識(shí)。

例1（2020年高考江蘇數(shù)學(xué)卷第17題）某地準(zhǔn)備在山谷中建一座橋梁，橋址位置的豎直截面圖如圖1所示：谷底O在水平線MN上，橋AB與MN平行，OO′為鉛垂線（O′在AB上）。經(jīng)測(cè)量，左側(cè)曲線AO上任一點(diǎn)D到MN的距離h1（米）與D到OO′的距離a（米）之間滿足關(guān)系式h1=140a2;右側(cè)曲線BO上任一點(diǎn)F到MN的距離h2（米）與F到OO′的距離b（米）之間滿足關(guān)系式h2=-1800b3+6b。已知點(diǎn)B到OO′的距離為40米。

（1）求橋AB的長(zhǎng)度;

（2）計(jì)劃在谷底兩側(cè)建造平行于OO′的橋墩CD和EF，且CE為80米，其中C、E在AB上（不包括端點(diǎn)）。橋墩EF每米造價(jià)k（萬(wàn)元），橋墩CD每米造價(jià)32k（萬(wàn)元）（k>0），問(wèn)：O′E為多少米時(shí)，橋墩CD與EF的總造價(jià)最低？

1.分層理解。

通讀題目后，可將題目的文字信息初步分為3個(gè)層次。第一層次：?jiǎn)栴}背景——在山谷中建橋梁;第二層次：與橋梁相關(guān)的元素的數(shù)量與位置關(guān)系;第三層次：解題目標(biāo)——橋的長(zhǎng)度、橋墩總造價(jià)何時(shí)最低。

2.分類整理。

了解問(wèn)題背景和解題目標(biāo)后，采用“問(wèn)題—引導(dǎo)”策略精讀基本元素的數(shù)量與位置關(guān)系信息。教師可以引導(dǎo)學(xué)生借助表格對(duì)相關(guān)信息集中整理（得到下頁(yè)表2），使學(xué)生比較清晰地抓住關(guān)鍵信息。

3.分步反推。

（1）橋AB的長(zhǎng)度。

①題目的目標(biāo)是什么？可以怎么理解？

“橋AB的長(zhǎng)度”，即線段AB的長(zhǎng)度，點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離。

②題目的條件是什么？可以怎么理解？

條件1：“橋AB與MN平行，OO′為鉛垂線（O′在AB上）;點(diǎn)B到OO′的距離為40米”。結(jié)合圖形，已知BO′=40，只要再求出AO′的長(zhǎng)度，就可以求出AB=AO′+BO′。

條件2：“左側(cè)曲線AO上任一點(diǎn)D到MN的距離h1（米）與D到OO′的距離a（米）之間滿足關(guān)系式h1=140a2”。這里的a、h1都是正數(shù)，并且只要知道其中一個(gè)的值，就可以通過(guò)關(guān)系式求出另一個(gè)的值。

條件3：“右側(cè)曲線BO上任一點(diǎn)F到MN的距離h2（米）與F到OO′的距離b（米）之間滿足關(guān)系式h2=-1800b3+6b”。與條件2的理解相同。除此之外，還已知b的一個(gè)取值BO′=40，可以求出h2的一個(gè)取值——OO′的長(zhǎng)度。

③題目的條件和目標(biāo)有哪些數(shù)學(xué)聯(lián)系？

線段AB的長(zhǎng)度←AO′的長(zhǎng)度←OO′的長(zhǎng)度←h2=-1800b3+6b，b=40。

（2）O′E為多少米時(shí)，橋墩CD與EF的總造價(jià)最低？

①題目的目標(biāo)是什么？可以怎么理解？

求出O′E的長(zhǎng)度，使得橋墩CD與EF的總造價(jià)最低。可以這樣理解：橋墩的總造價(jià)與O′E的長(zhǎng)度有關(guān)，需要求出二者之間的關(guān)系式。

②題目的條件是什么？可以怎么理解？

條件1：“CE為80米”。結(jié)合圖形，已知CE=80，那么知道了O′E的長(zhǎng)度，也就知道了CO′=CE-O′E。

條件2：“橋墩EF每米造價(jià)k（萬(wàn)元），橋墩CD每米造價(jià)32k（萬(wàn)元）（k>0）”。由此可知，只要求出EF和CD的長(zhǎng)度，就能知道總造價(jià)。

③題目的條件和解題目標(biāo)有哪些數(shù)學(xué)聯(lián)系？

總造價(jià)←EF和CD的長(zhǎng)度←EF=EF1-FF1，CD=CD1-DD1，且CD1=EF1=OO′←DD1=140CO′2，F(xiàn)F1=-1800O′E3+6O′E←CO′+O′E=CE=80←設(shè)O′E=x。（D1、E1分別為直線CD、EF與直線MN的垂足）

（三）構(gòu)建變式問(wèn)題，促進(jìn)知識(shí)遷移

設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)應(yīng)用題時(shí)，可以考慮對(duì)一個(gè)起點(diǎn)問(wèn)題（稱為源題）進(jìn)行變式，得到相同問(wèn)題、相似問(wèn)題、同型問(wèn)題、相異問(wèn)題。相同問(wèn)題是指與源題有相同的問(wèn)題情境和解題原理，屬于近遷移題;相似問(wèn)題是指與源題有相同的問(wèn)題情境、不同的解題原理，屬于中遷移題;同型問(wèn)題是指與源題有不同的問(wèn)題情境、相同的解題原理，屬于中遷移題;相異問(wèn)題是指與源題有不同的問(wèn)題情境和解題原理，屬于遠(yuǎn)遷移題。

對(duì)于相同問(wèn)題，通過(guò)教師對(duì)例題的講解，學(xué)生容易實(shí)現(xiàn)遷移，因?yàn)檫@是一種模仿性解題行為。對(duì)于相似問(wèn)題，由于問(wèn)題情境不變而解題原理變了，學(xué)生容易受到情境的影響產(chǎn)生負(fù)遷移，即還是企圖利用原來(lái)的原理解決，因此，解決起來(lái)存在一定的困難。對(duì)于同型問(wèn)題，由于問(wèn)題情境變了而解題原理不變，教師應(yīng)當(dāng)注意引導(dǎo)學(xué)生從不同的情境中概括出相同的原理，這樣不僅可以提高學(xué)生解決問(wèn)題的遷移能力，還能發(fā)展他們的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。

例如，有些代數(shù)應(yīng)用題可以使用“單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)”“速度×?xí)r間=路程”“工作效率×工作時(shí)間=工作量”等數(shù)量關(guān)系來(lái)解決。如果教師將這一系列同型問(wèn)題的解答過(guò)程放在一起，引導(dǎo)學(xué)生歸納出一個(gè)更具有概括性的數(shù)量關(guān)系，即“單位量×單位時(shí)間=總量”，就達(dá)到了同型問(wèn)題的訓(xùn)練目的。

例2（源題）客車從甲地到乙地需要20小時(shí)，貨車從乙地到甲地需要30小時(shí)，現(xiàn)在兩車分別從甲乙兩地同時(shí)相向開出，多少小時(shí)后兩車相遇？120x+130x=1

（相同問(wèn)題）湯姆從自己家開車到比爾家需要4小時(shí)，比爾從自己家開車到湯姆家需要3小時(shí)。如果他們同時(shí)從自己家開車向?qū)Ψ郊荫側(cè)?，要多久才能?jiàn)面？14x+13x=1

（同型問(wèn)題）①將1400元獎(jiǎng)學(xué)金按照兩種獎(jiǎng)項(xiàng)獎(jiǎng)勵(lì)給22名學(xué)生，其中一等獎(jiǎng)每人200元，二等獎(jiǎng)每人50元，則獲得一等獎(jiǎng)的學(xué)生有多少人？[200x+50（22-x）=1400]

②買了共138米的兩種布料，花了540元，其中藍(lán)布料每米3元，黑布料每米5元，則兩種布料各買了多少米？[3x+5（138-x）=540]

（相似問(wèn)題）兩輛汽車從相距84 km的兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，甲車的速度比乙車的速度快20 km/h，半小時(shí)后兩車相遇，則兩車的速度各是多少？12x+12（x+20）=84

以上的源題、相同問(wèn)題、同型問(wèn)題、相似問(wèn)題可以讓學(xué)生依次解答。學(xué)生全部解決后，教師可以同時(shí)呈現(xiàn)問(wèn)題以及對(duì)應(yīng)的方程，引導(dǎo)學(xué)生歸納出更一般的數(shù)量關(guān)系——“部分1+部分2=總體”。這樣，學(xué)生即使遇到背景陌生的應(yīng)用題，只要抓住這個(gè)數(shù)量關(guān)系，去題目中尋找信息，將部分與整體分別用代數(shù)式表示出來(lái)，就可以解決一大類應(yīng)用題。

（四）設(shè)計(jì)自我提問(wèn)單，提升監(jiān)控水平

心理學(xué)研究表明，優(yōu)秀生在解決應(yīng)用題時(shí)能有效地監(jiān)控自己的認(rèn)知加工過(guò)程，而中等生、差生則缺少有效的自我監(jiān)控，但經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的元認(rèn)知訓(xùn)練后，中等生、差生解題效果有顯著的提升。因此，在教學(xué)中，教師應(yīng)該有意識(shí)地對(duì)學(xué)生進(jìn)行元認(rèn)知訓(xùn)練。

元認(rèn)知訓(xùn)練可以分為內(nèi)隱訓(xùn)練和外顯訓(xùn)練。內(nèi)隱訓(xùn)練主要是通過(guò)在教學(xué)過(guò)程中示范性地解釋解題所用的程序性知識(shí)和策略性知識(shí)，讓學(xué)生體會(huì)元認(rèn)知策略的有效性;外顯訓(xùn)練可以通過(guò)制作一個(gè)與課堂傳授的元認(rèn)知策略相一致的“元認(rèn)知監(jiān)控自我提問(wèn)單”，要求學(xué)生在解題時(shí)回答相應(yīng)的問(wèn)題，達(dá)到監(jiān)控自己認(rèn)知加工過(guò)程的目的。當(dāng)學(xué)生對(duì)這一系列的元認(rèn)知策略應(yīng)用自如時(shí)，說(shuō)明他們已將元認(rèn)知知識(shí)內(nèi)化，可以不再要求他們?cè)诮忸}時(shí)填寫提問(wèn)單。

“元認(rèn)知監(jiān)控自我提問(wèn)單”的設(shè)計(jì)，可以以波利亞的“怎樣解題表”為基礎(chǔ)，根據(jù)不同時(shí)間段、不同知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行相應(yīng)的修改。例如，上述例1審題教學(xué)中的“分步反推”環(huán)節(jié)所提的問(wèn)題即是“元認(rèn)知監(jiān)控自我提問(wèn)單”的部分問(wèn)題。

整體地看，“元認(rèn)知監(jiān)控自我提問(wèn)單”可以分為以下三個(gè)部分：

（1）審題環(huán)節(jié)：①問(wèn)題的背景是什么？②解題目標(biāo)是什么，應(yīng)當(dāng)怎么理解？③已知條件是什么，可以怎么理解？④能畫一個(gè)表或者一張圖，將題目中的關(guān)鍵信息表示清楚嗎？

（2）擬定、執(zhí)行方案環(huán)節(jié)：①已知條件和解題目標(biāo)之間有哪些數(shù)學(xué)聯(lián)系？②如果看不出有哪些聯(lián)系，再觀察解題目標(biāo)，能否想出一道自己熟悉的具有相同或相似解題目標(biāo)的問(wèn)題？③如果感覺(jué)數(shù)據(jù)太抽象，能否用具體的數(shù)據(jù)替換抽象的數(shù)據(jù)尋找解題思路？

（3）回顧反思環(huán)節(jié)：①能否判斷每個(gè)步驟都是正確的？②問(wèn)題的答案是否有現(xiàn)實(shí)背景？③回顧解題過(guò)程，遇到了什么困難？有哪些收獲？④解題方法是否具有一般性？是否能在其他題目的解答中利用這個(gè)方法或思路？

*本文系喻平教授團(tuán)隊(duì)的“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理學(xué)研究及其教學(xué)啟示”（中學(xué)）系列文章之七。

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