周振文

【摘要】數(shù)學(xué)知識(shí)間的融合使數(shù)學(xué)不斷地發(fā)展，數(shù)學(xué)與其他學(xué)科知識(shí)間的融合產(chǎn)生了許多新學(xué)科.當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)也應(yīng)適應(yīng)新時(shí)代科學(xué)發(fā)展的步伐，在數(shù)學(xué)課堂上，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中呼吸著融合帶來(lái)的新氣息. 新課標(biāo)提出了立德樹(shù)人的根本任務(wù)，數(shù)學(xué)教學(xué)要在提升學(xué)生綜合素質(zhì)，著力發(fā)展核心素養(yǎng)上下功夫，目前數(shù)學(xué)教學(xué)無(wú)論是網(wǎng)絡(luò)線(xiàn)上教學(xué)，還是線(xiàn)下實(shí)體課堂教學(xué)，從教學(xué)設(shè)計(jì)到教學(xué)過(guò)程的展開(kāi)都出現(xiàn)了較大轉(zhuǎn)變，新教學(xué)方式不斷涌現(xiàn).筆者研究認(rèn)為，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)重視以數(shù)學(xué)學(xué)科大概念為核心，重視數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容與多學(xué)科及現(xiàn)代多種信息資源的有機(jī)融合，本文將結(jié)合解析幾何的具體教學(xué)案例，給出實(shí)施數(shù)學(xué)融合教學(xué)法的操作要領(lǐng)和范例.

【關(guān)鍵詞】核心素養(yǎng);融合教學(xué); 解析幾何

【基金項(xiàng)目】遼寧師范大學(xué)專(zhuān)項(xiàng)課題《基于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的課堂教學(xué)策略研究》項(xiàng)目資助

一、問(wèn)題的提出

基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)目標(biāo)是把促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展作為教學(xué)的主要任務(wù)，課堂教學(xué)呈現(xiàn)出靈活性、多樣化以及綜合化與融合化的新趨勢(shì).筆者在實(shí)踐探索的基礎(chǔ)上總結(jié)出數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的融合教學(xué)策略.

本文所述的數(shù)學(xué)課的融合教學(xué)策略，是指教師在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中把現(xiàn)實(shí)情境與數(shù)學(xué)問(wèn)題、客觀現(xiàn)象的大信息與信息數(shù)學(xué)化、數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)能力與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)等進(jìn)行有機(jī)融合，從所授教學(xué)內(nèi)容的大概念核心出發(fā)，綜合與之相關(guān)的數(shù)學(xué)或其他學(xué)科知識(shí)與方法以及認(rèn)識(shí)規(guī)律進(jìn)行恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)設(shè)計(jì)，從而高效落實(shí)教學(xué)目標(biāo)的教學(xué)策略，其教學(xué)理念的核心是課堂教學(xué)的有效生成與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自然生長(zhǎng)的有機(jī)融合.具體包括：第一，注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)情境與數(shù)學(xué)問(wèn)題的融合，使學(xué)生能在情境中提高問(wèn)題意識(shí)和提出問(wèn)題的能力;第二，數(shù)學(xué)現(xiàn)象與數(shù)學(xué)信息的有機(jī)融合，使學(xué)生養(yǎng)成對(duì)數(shù)學(xué)信息的捕捉意識(shí)和提升處理信息的水平;第三，數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)思考的有機(jī)融合，便于學(xué)生把數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)思考緊密聯(lián)系起來(lái)，并提高有效地動(dòng)手動(dòng)腦等數(shù)學(xué)體驗(yàn)和數(shù)學(xué)活動(dòng)的能力;第四，數(shù)學(xué)能力培養(yǎng)與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有機(jī)融合，有利于在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展.數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的融合教學(xué)策略，強(qiáng)調(diào)的是有機(jī)融合的教學(xué)、是自然而然的教學(xué)、是深度領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的深刻性和整體性的教學(xué)，關(guān)注點(diǎn)是充分發(fā)揮數(shù)學(xué)課程的育人功能.

二、問(wèn)題的探究

實(shí)施有機(jī)融合的教學(xué)策略，是基于數(shù)學(xué)新課標(biāo)提出的“學(xué)生應(yīng)培養(yǎng)和掌握有助于終身發(fā)展以及社會(huì)發(fā)展需要的各種品格和能力”，既是與數(shù)學(xué)新教材的特點(diǎn)相匹配，更是適應(yīng)現(xiàn)代中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的新特征.具體探究如下：

探究1?有機(jī)融合的教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)注重學(xué)習(xí)前后知識(shí)的銜接.

數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)決定了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)是以已有數(shù)學(xué)知識(shí)為基礎(chǔ)，以問(wèn)題發(fā)現(xiàn)和提出為引領(lǐng)，以邏輯推理為發(fā)展路徑，進(jìn)而理解和掌握新知識(shí).建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論認(rèn)為學(xué)習(xí)過(guò)程是自主探索、自我接納并內(nèi)化的活動(dòng)過(guò)程，是新知識(shí)與已學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的組合與建構(gòu)過(guò)程.例如，高中一年級(jí)“集合的概念與表示”一課的教學(xué)設(shè)計(jì)，可結(jié)合初中“三角形分類(lèi)方法”“三角形全等的判定方法”等知識(shí)，有機(jī)融合“集合與分類(lèi)學(xué)”“集合與信息學(xué)”等現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)成果，介紹“康托與集合論思想”，進(jìn)而學(xué)習(xí)“集合與命題的充要性”等新內(nèi)容，這樣的設(shè)計(jì)，注意了集合與前后知識(shí)的聯(lián)系與集合的數(shù)學(xué)應(yīng)用價(jià)值，學(xué)生學(xué)習(xí)集合的視野就開(kāi)闊了.

在教學(xué)設(shè)計(jì)中，有機(jī)融合教學(xué)策略強(qiáng)調(diào)要注意本節(jié)課知識(shí)與相關(guān)聯(lián)的其他知識(shí)的聯(lián)系與區(qū)別、接續(xù)與發(fā)展、邏輯辨析與推理論證，以及新學(xué)知識(shí)在整個(gè)知識(shí)體系中的地位和作用等，這樣就突出了數(shù)學(xué)知識(shí)的前后銜接，尤其是思想方法的銜接和邏輯關(guān)系的銜接.

探究2?有機(jī)融合的數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程應(yīng)注重?cái)?shù)學(xué)思想與方法的有機(jī)融合.

教學(xué)方法具有科學(xué)性和藝術(shù)性雙重特性，教師要根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)和教育科學(xué)規(guī)律，對(duì)教學(xué)方法靈活地融合與創(chuàng)新.例如，高一“一元二次不等式及其解法”一課，既是對(duì)初中接觸到的不等式的總結(jié)，也是對(duì)高中將要學(xué)習(xí)的不等式知識(shí)的預(yù)備和鋪墊，又是介紹如何用函數(shù)方法解不等式的技能學(xué)習(xí).對(duì)于這節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)，應(yīng)站在函數(shù)觀點(diǎn)的高度，把“解一元二次不等式”“不等式性質(zhì)”“不等式應(yīng)用”與“解方程”“方程的應(yīng)用”等知識(shí)與方法統(tǒng)一在函數(shù)思想之下，突出“函數(shù)思想和方法”是本節(jié)課的關(guān)鍵，因此，本節(jié)課的教學(xué)過(guò)程可設(shè)計(jì)為：第一環(huán)節(jié)，提出問(wèn)題情境，讓學(xué)生做教材中“解下列一元二次不等式”的例題;第二環(huán)節(jié)，探索和辨析階段，提出問(wèn)題“解一元二次不等式的方法還有哪些？”同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步從一次函數(shù)、二次函數(shù)的角度進(jìn)行比較和探索;第三環(huán)節(jié)，函數(shù)方法的進(jìn)一步研究階段，教師提出引導(dǎo)性問(wèn)題“一元二次不等式、一元二次方程、二次函數(shù)三者之間有哪些關(guān)系？”教師可進(jìn)行啟發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生用函數(shù)圖像進(jìn)行研究思考，給出初步的探索思路;第四階段，函數(shù)思想方法的形成階段，教師引導(dǎo)學(xué)生把不等式、方程都統(tǒng)一于函數(shù)的應(yīng)用之下進(jìn)行理論提升，完成本節(jié)課的目標(biāo).

數(shù)學(xué)思想方法是在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程中對(duì)知識(shí)的深刻認(rèn)識(shí)，是對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的概括與提升.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣的固化往往需要依賴(lài)于數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法的形成，把一節(jié)課的內(nèi)容與其他節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容進(jìn)行思想方法的比較和鑒別、融合和發(fā)展是數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的體現(xiàn)，也是數(shù)學(xué)素養(yǎng)形成的關(guān)鍵.數(shù)學(xué)教學(xué)中要密切聯(lián)系知識(shí)學(xué)習(xí)的各環(huán)節(jié)的需要，靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法.比如，函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想等，培養(yǎng)學(xué)生理解和認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的符號(hào)意識(shí)、數(shù)學(xué)理論，在教學(xué)過(guò)程中要有機(jī)融合到數(shù)學(xué)課堂中，使數(shù)學(xué)素養(yǎng)在潛移默化中形成.

探究3?在數(shù)學(xué)課堂中要多種教學(xué)方法進(jìn)行融合.

傳統(tǒng)的教學(xué)方法有啟發(fā)式教學(xué)法、講解法、討論法等，現(xiàn)代新的教學(xué)方法更是層出不窮，如發(fā)現(xiàn)式教學(xué)法、程序教學(xué)法、翻轉(zhuǎn)課堂、單元教學(xué)法等，教學(xué)有法，教無(wú)定法，要明確教學(xué)過(guò)程的復(fù)雜性，根據(jù)學(xué)生情況、教學(xué)內(nèi)容、教師素質(zhì)等來(lái)選擇教學(xué)方法.

注重學(xué)生能力的培養(yǎng)要關(guān)注所教班級(jí)的整體水平狀況，適當(dāng)組織學(xué)生參與數(shù)學(xué)活動(dòng)，鼓勵(lì)學(xué)生多參與課堂教學(xué)的每一個(gè)過(guò)程，樹(shù)立學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣和品格.比如，課前預(yù)習(xí)階段，可采用“讀書(shū)提綱與導(dǎo)學(xué)案”方法，課堂教學(xué)中采用“啟發(fā)講解”與“學(xué)生發(fā)表看法”的討論式、師生互問(wèn)互答的談話(huà)式教學(xué)法等，課后作業(yè)可采用“自主檢測(cè)法（自己編制練習(xí)題、互相編制作業(yè)等）”“課外活動(dòng)小組”“自主先學(xué)課堂探究”等.現(xiàn)代數(shù)學(xué)課堂教學(xué)應(yīng)突出學(xué)生自主學(xué)習(xí)、個(gè)性化學(xué)習(xí)、網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)等多種教學(xué)方式的有機(jī)融合，學(xué)生在數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中也要融合學(xué)習(xí)，以達(dá)到全面育人、綜合發(fā)展的教學(xué)目標(biāo).

三、數(shù)學(xué)課融合教學(xué)策略的應(yīng)用案例

在《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版）》編寫(xiě)的最新版教材中，解析幾何單元的編寫(xiě)從知識(shí)結(jié)構(gòu)安排到教學(xué)目標(biāo)要求，都做了許多調(diào)整和改變，這就要求教師在講授這部分內(nèi)容時(shí)要采取一些新的教學(xué)方法.本文結(jié)合解析幾何的具體教學(xué)，給出融合教學(xué)策略的具體應(yīng)用案例.

1.幾何直觀與代數(shù)運(yùn)算的融合

數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)指出“通過(guò)形與數(shù)的結(jié)合，感悟數(shù)學(xué)知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)，加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)整體性的理解”.對(duì)此，我們?cè)谄矫娼馕鰩缀蔚恼n堂教學(xué)中，應(yīng)該多利用一些幾何曲線(xiàn)的圖形背景實(shí)例（比如，宇宙中各種行星的運(yùn)行軌道，橢圓、拋物線(xiàn)、圓形軌道等）使學(xué)生了解各種曲線(xiàn)天體的背景及研究成果，開(kāi)闊學(xué)生的知識(shí)視野，有助于學(xué)生對(duì)解析幾何相關(guān)概念的理解.

（1）幾何問(wèn)題與方程語(yǔ)言的融合

解析幾何中的代數(shù)運(yùn)算，起點(diǎn)是方程語(yǔ)言，教學(xué)中應(yīng)該讓學(xué)生熟練運(yùn)用方程語(yǔ)言表達(dá)幾何問(wèn)題.在研究學(xué)生為什么不能很好地解答解析幾何題時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)，一個(gè)原因就是字母意識(shí)薄弱，不能很好地設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，不能在集合觀點(diǎn)下恰當(dāng)?shù)亓谐龇匠蹋瑲w根結(jié)底是教學(xué)中沒(méi)有很好地把幾何想象與方程語(yǔ)言進(jìn)行融合.

案例1?推導(dǎo)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生理解a，c表示的橢圓的幾何特征量以及字母b的引入的數(shù)學(xué)道理.教學(xué)中常有這樣的情形，當(dāng)教師把字母設(shè)好時(shí)，學(xué)生就能很順利地接受和理解，如果教師不設(shè)出有關(guān)的量，學(xué)生就不能快速列出方程，因此，在教學(xué)中要鼓勵(lì)學(xué)生抓住幾何特征恰當(dāng)?shù)厥褂米帜噶谐龇匠?，養(yǎng)成幾何圖形信息與方程的高度融合.

（2）代數(shù)運(yùn)算與幾何意義的融合

學(xué)生在做解析幾何題時(shí)，代數(shù)運(yùn)算是一個(gè)難點(diǎn)，究其原因，往往是不注重代數(shù)運(yùn)算與題目中幾何條件的天然聯(lián)系，片面地認(rèn)為通過(guò)坐標(biāo)系把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題后，就是純粹的代數(shù)問(wèn)題了，事實(shí)上，很多解析幾何的代數(shù)運(yùn)算是蘊(yùn)含幾何意義的，比如，通過(guò)對(duì)代數(shù)式結(jié)構(gòu)的形式構(gòu)造，就能揭示出代數(shù)運(yùn)算的幾何意義，這是因?yàn)樵诩纤枷胂麓鷶?shù)與幾何是統(tǒng)一體，解析幾何中的代數(shù)運(yùn)算本質(zhì)上是曲線(xiàn)與方程含義的應(yīng)用.

案例2?“點(diǎn)差法”理解代數(shù)運(yùn)算的幾何意義.“點(diǎn)差法”主要是通過(guò)建立兩個(gè)代數(shù)方程，然后將兩方程的兩端分別相減得出一個(gè)等式，再變形這個(gè)等式，最后得出的等式是一端與“中點(diǎn)坐標(biāo)公式”有關(guān)，另一端與“直線(xiàn)斜率”有關(guān)的代數(shù)結(jié)構(gòu)式，這個(gè)等式突出了“點(diǎn)”滿(mǎn)足的條件（方程、等式、不等式）的數(shù)值特征，為把代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題搭好橋梁.

2.幾何情境與解析法的融合

解決幾何問(wèn)題的新途徑之一就是解析法，教學(xué)中只有回歸到幾何情境中才能深度理解和掌握解析法.新課程標(biāo)準(zhǔn)中強(qiáng)調(diào)了解析幾何的思想方法，重視圖形的幾何特征與幾何問(wèn)題的代數(shù)解決方法，強(qiáng)調(diào)在坐標(biāo)系下，把動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)直線(xiàn)、題目中涉及的未知量、不定量、不定的位置等用代數(shù)量或字母表示出來(lái)，如點(diǎn)的坐標(biāo)A（m，n），P（x0，y0）、直線(xiàn)的斜率k、圓錐曲線(xiàn)方程中的參量字母（a，b，c，p，r，e）等，體現(xiàn)解析幾何的“曲線(xiàn)與方程”思想.

案例3?圓的割線(xiàn)方程的求法.已知點(diǎn)P（x0，y0）在圓x2+y2=r2外，由點(diǎn)P（x0，y0）向該圓引兩條切線(xiàn)，求過(guò)兩切點(diǎn)的割線(xiàn)的方程.設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）是兩條切線(xiàn)的切點(diǎn)，由于點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）在圓上，所以其坐標(biāo)滿(mǎn)足圓的方程，得到兩個(gè)方程，聯(lián)立這兩個(gè)方程，逐步消元，最后得到割線(xiàn)方程為x0x+y0y=r2.在教學(xué)中，教師結(jié)合直線(xiàn)、圓、圓錐曲線(xiàn)的具體幾何特征，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷以下過(guò)程：一是理解幾何圖形的集合表述，二是合理地建立坐標(biāo)系，并用代數(shù)語(yǔ)言描述這些特征與問(wèn)題，三是借助幾何圖形的特點(diǎn)形成解決問(wèn)題的思路，四是通過(guò)直觀想象和代數(shù)運(yùn)算得到結(jié)果，并給出幾何解釋進(jìn)而解決問(wèn)題.這樣的教學(xué)凸顯了解析法的基本原理.在做解析幾何習(xí)題時(shí)，有時(shí)題中的各個(gè)條件以及條件之間的聯(lián)系不能很好地掌握，解題的思路難以打開(kāi)，這往往是不注重幾何情境與解析方法的融合導(dǎo)致的.只有融合幾何情境與解析法，才能發(fā)現(xiàn)解析幾何的思想真諦，進(jìn)而領(lǐng)會(huì)其中的思想魅力，在大視野中發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

3.現(xiàn)代信息技術(shù)與解析幾何理論的融合

充分發(fā)揮現(xiàn)代多媒體技術(shù)在解析幾何單元獨(dú)特的作用，教學(xué)中應(yīng)該注重通過(guò)計(jì)算機(jī)軟件、網(wǎng)絡(luò)技術(shù)等手段，高效率地自主學(xué)習(xí)，這有利于學(xué)生更有興趣、更有效率、更深度、全面地研究學(xué)習(xí)解析幾何內(nèi)容以及自主收集閱讀的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣.

案例4?在講解圓錐曲線(xiàn)單元時(shí)，可利用電子屏幕演示圓錐曲線(xiàn)的實(shí)際背景以及圓錐曲線(xiàn)在刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問(wèn)題中的作用，演示圓錐曲線(xiàn)方程中參數(shù)的變化對(duì)方程所表示的曲線(xiàn)的影響的動(dòng)態(tài)影像，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行代數(shù)分析，理解曲線(xiàn)與方程的關(guān)系.教師還可以利用網(wǎng)絡(luò)讓學(xué)生收集閱讀平面解析幾何的歷史資料，了解圓錐曲線(xiàn)的發(fā)展過(guò)程中主要人物、關(guān)鍵事件及其對(duì)人類(lèi)文明的貢獻(xiàn)，撰寫(xiě)小論文等，這樣的教學(xué)，有利于學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的落地生根.

四、結(jié)束語(yǔ)

潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲，融合教學(xué)策略有利于學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在理解中生根、在細(xì)節(jié)中生長(zhǎng).本文以在解析幾何教學(xué)中實(shí)施深度融合教學(xué)為案例，把解析法回歸到幾何情境中，使幾何情境與解析法完美融合.幾何圖形性質(zhì)與代數(shù)方程運(yùn)算統(tǒng)一起來(lái)，抓住了解析幾何的數(shù)學(xué)思想本質(zhì)，有利于學(xué)生靈活地掌握和駕馭解析法，深刻體會(huì)解析法的魅力.此外，在“互聯(lián)網(wǎng)+”時(shí)代，信息技術(shù)與課堂教學(xué)的深度融合、微視頻主播與大單元線(xiàn)下教學(xué)的靈活運(yùn)用等新的教學(xué)方式的有機(jī)融合等，已成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)教學(xué)發(fā)展的必然趨勢(shì)，數(shù)學(xué)課的融合教學(xué)思想將成為落實(shí)核心素養(yǎng)的重要教學(xué)策略.

【參考文獻(xiàn)】

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