王興偉

【摘要】算理和算法是運(yùn)算能力的一體兩翼，兩者相輔相成，不可偏廢。如何讓學(xué)生既理解算理又掌握算法，實(shí)現(xiàn)算理和算法有效融合？本文從觀察情境、經(jīng)歷過程、多元表征、遷移經(jīng)驗(yàn)、直觀操作等五個(gè)方面闡述了如何引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷明白算理、探究算法，進(jìn)而提升學(xué)生運(yùn)算能力的一些做法。

【關(guān)鍵詞】算理 算法 融合

曹培英老師曾說：“算理和算法是運(yùn)算能力的一體兩翼，兩者相輔相成，不可偏廢。”但在實(shí)際教學(xué)中，“算法嫻熟，算理不明”的問題普遍存在，不少教師并不重視學(xué)生對(duì)算理的理解，把會(huì)算與算對(duì)作為教學(xué)的唯一目標(biāo)。在這樣的環(huán)境中，學(xué)生是運(yùn)算程序的“操作工”，習(xí)得的技能特別容易退化，必然會(huì)影響運(yùn)算能力的發(fā)展。如何讓學(xué)生經(jīng)歷明白算理、探究算法的過程，從而實(shí)現(xiàn)算理和算法有效融合，進(jìn)而達(dá)到理與法的內(nèi)在統(tǒng)一呢？下面，筆者談?wù)勗趯?shí)際教學(xué)中的幾點(diǎn)做法。

一、觀察情境。把握結(jié)合點(diǎn)

小學(xué)生的思維以具體形象思維為主，逐步向抽象邏輯思維過渡。因此，在計(jì)算教學(xué)中要十分重視引導(dǎo)學(xué)生觀察情境圖中的學(xué)習(xí)對(duì)象，發(fā)現(xiàn)有價(jià)值的信息，找到算理理解和算法構(gòu)建的結(jié)合點(diǎn)。

“20以內(nèi)的加減法”是學(xué)生學(xué)習(xí)計(jì)算的開始，以“9加幾”的教學(xué)為例，教材呈現(xiàn)了如下情境（圖1）：桌上的盒子里放著9個(gè)紅蘋果，盒子外放了4個(gè)綠蘋果，啟發(fā)學(xué)生思考“一共有多少個(gè)？”

教師首先要引導(dǎo)學(xué)生觀察主題圖，借助“加法意義”理解，認(rèn)識(shí)到求“一共有多少個(gè)”就是將兩種蘋果合并起來，列成算式就是“9+4”。接著啟發(fā)學(xué)生思考：計(jì)算“9+4”可以從加法的基數(shù)意義理解，從第1個(gè)開始，依次把9個(gè)紅蘋果和4個(gè)綠蘋果全部數(shù)完，就是13個(gè)。還可以從加法的序數(shù)意義人手，即從盒子里的9個(gè)開始數(shù)起，并依次數(shù)完盒子外的蘋果。數(shù)一數(shù)的方法與加法意義相融合，同步揭示9+4的算理。

然后激發(fā)學(xué)生思考：“還有更快捷的方法嗎？”這樣學(xué)生就需要對(duì)計(jì)算方法進(jìn)行提升。教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步觀察：盒子里一共有10格，再放一個(gè)正好放滿，可以從4個(gè)蘋果中拿1個(gè)放入盒子中，把9個(gè)蘋果湊成10個(gè)，再加上外面的3個(gè)蘋果，一共有13個(gè)。

這里，通過讓學(xué)生觀察情境，借助“合并”過程，理解體驗(yàn)到具體數(shù)數(shù)過程中“湊十法”的原理與意義，為后續(xù)學(xué)習(xí)其他“算理”奠定了基礎(chǔ)，同時(shí)利用情境圖，結(jié)合“滿十進(jìn)一”的計(jì)數(shù)原則，通過數(shù)的拆分與組合，構(gòu)建掌握了“湊十法”的基本方法。數(shù)的概念與計(jì)算原理的交互融合，學(xué)生就能形成合理的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

二、聯(lián)系生活，挖掘起始點(diǎn)

弗賴登塔爾認(rèn)為：“數(shù)學(xué)的根源在于普及常識(shí)，小學(xué)生離不開實(shí)際生活經(jīng)驗(yàn)?！庇捎谒憷淼某橄笮?，為便于學(xué)生理解，教師要善于尋找學(xué)生生活中的數(shù)學(xué)現(xiàn)象與數(shù)學(xué)問題，將他們的生活經(jīng)驗(yàn)與計(jì)算數(shù)學(xué)有效銜接，讓學(xué)生親歷將生活經(jīng)驗(yàn)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的全過程，教師在探究的過程中引領(lǐng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)算理的源頭，明確算法，從而不斷提高運(yùn)算思維品質(zhì)。

以三年級(jí)“兩位數(shù)除以一位數(shù)”為例。教師先出示情境：甜甜和果果買了52棵樹苗，平均每人分到幾棵？然后讓學(xué)生用小棒代替樹苗來分一分，展示三種分法：一根一根地分;先分單根的，再分整捆的;先分整捆的，再把余下的1捆和單根合并分。接著引導(dǎo)學(xué)生比一比：結(jié)果雖然都是26根，哪種分發(fā)更簡便？經(jīng)過比較，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了第一種太復(fù)雜，第二種分了3次，第三種最簡便。有了分小棒的經(jīng)歷，接著教師讓學(xué)生自己嘗試著用豎式寫一寫，然后展示、比較，追問：哪個(gè)算式能夠更清楚地體現(xiàn)分的過程？

在學(xué)生爭鳴中，教師指出“除法豎式有它規(guī)定的格式，不如讓我們一起去看看它是怎么產(chǎn)生的”。教師借助課件的動(dòng)態(tài)演示，邊描述分的過程，邊將人物、倉庫、樹苗等抽象成除法豎式（圖2），在觀察完豎式的呈現(xiàn)過程后，教師啟發(fā)學(xué)生比較，發(fā)現(xiàn)豎式的算理和分樹苗、分小棒的過程和實(shí)質(zhì)都是一樣的：先分十位，再分個(gè)位，然后把兩次分得的結(jié)果合起來。至此，學(xué)生借助生活經(jīng)驗(yàn)，找到了除法豎式的起點(diǎn)，對(duì)算理、算法的理解易如反掌。

三、多元表征。發(fā)現(xiàn)邏輯點(diǎn)

研究證明，學(xué)生的計(jì)算學(xué)習(xí)通常以線性方式展開，其表征過程一般是從動(dòng)作、語義再到符號(hào)。這三種表征代表著思維的不同程度，教師要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從具體逐步走向抽象，這一過程中，這些表征之間并不是一個(gè)單向的簡單過程，而是多向和復(fù)雜的。

以一年級(jí)下冊“用豎式計(jì)算兩位數(shù)加法”為例，這是第一次出現(xiàn)加法豎式，教學(xué)前筆者先做了預(yù)測，95%的學(xué)生已經(jīng)能正確計(jì)算出例題“36+21”的結(jié)果，但有超過60%的學(xué)生雖能算對(duì)結(jié)果，卻不能清楚地表示出計(jì)算方法，也就是并沒有真正掌握其中的算理。

為了幫助學(xué)生找到豎式的“根”，筆者先讓學(xué)生用小棒擺來還原實(shí)物原型，引導(dǎo)學(xué)生思考“你是怎么把它們合起來的”，學(xué)生清楚地看到“捆和捆相加，根和根相加”;接著再讓學(xué)生用計(jì)數(shù)器撥珠，再次提問“你們是怎么把它們合起來的”，學(xué)生再次看到“十位和十位相加，個(gè)位和個(gè)位相加”。這兩次的動(dòng)作表征，強(qiáng)化了數(shù)位表象，直觀體現(xiàn)了相同數(shù)位對(duì)齊。接著筆者引導(dǎo)學(xué)生用口算加，板書分解加的過程，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，擺小棒、撥計(jì)數(shù)器和口算都是先把十位相加，再把個(gè)位相加，最后合起來，這就為豎式提供了邏輯的支撐。然后再展示豎式的方法，讓學(xué)生觀察，“豎式和計(jì)數(shù)器像不像，它們之間有什么聯(lián)系？豎式和小棒圖有什么關(guān)系呢？”通過符號(hào)表征，將豎式中的每一部分都和相應(yīng)的計(jì)數(shù)器、小棒相對(duì)應(yīng)，學(xué)生清晰地感受到它們的聯(lián)系。最后，教師讓學(xué)生進(jìn)行比較，并用語言概括出“兩位數(shù)加法”的計(jì)算方法，完成了思維的外化。這樣的教學(xué)，讓學(xué)生經(jīng)歷“實(shí)物具象一計(jì)數(shù)器半抽象一符號(hào)抽象一語言概括”的多元表征過程，溝通了相互之間的內(nèi)在聯(lián)系，為學(xué)生找到了豎式的邏輯點(diǎn)。

四、遷移經(jīng)驗(yàn)。找準(zhǔn)共通點(diǎn)

小學(xué)計(jì)算內(nèi)容聯(lián)系十分緊密，一般因?yàn)閿?shù)位增加、進(jìn)位或退位等情況的出現(xiàn)而逐漸復(fù)雜。但基本的算理和算法卻都可以相互遷移。因此在新的“算理”的認(rèn)識(shí)活動(dòng)中，要應(yīng)用好學(xué)生的前概念，注重激活已有的經(jīng)驗(yàn)，并將新“算理”的理解建立在與原有相關(guān)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的基礎(chǔ)之上，使得新舊知識(shí)得以多角度共通，“算理”在學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中“扎根”。

以典型的“兩位數(shù)乘以兩位數(shù)”教學(xué)為例，教師利用學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)分三步來引導(dǎo)：第一步，先出示24x2，讓學(xué)生用豎式計(jì)算并口頭說出豎式計(jì)算兩位數(shù)乘一位數(shù)的計(jì)算方法，達(dá)到溫故知新，然后復(fù)習(xí)24x 12的橫式筆算方法，利用學(xué)生學(xué)過的知識(shí)，為下面對(duì)算理的理解埋下伏筆。第二步，出示主題圖，借助主題圖的觀察，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)探究，逐步理解兩位數(shù)乘兩位數(shù)的“算理”。首先結(jié)合觀察，列出算式“24x12”，激活學(xué)生原有認(rèn)知：“24x12的實(shí)質(zhì)就是求12個(gè)24的和是多少”;然后引入“合并”，用情境圖直觀地搬運(yùn)的過程：先搬10箱，再搬2箱。這樣的呈現(xiàn)方式能夠啟發(fā)學(xué)生利用已有的知識(shí)理解算理。學(xué)生在觀察圖后很容易想到，要求24x12得多少，可以先算2箱，用24x2=48，再算6個(gè)2箱，用48x6=288箱;還可以先算2箱，用24x2=48，再算10箱用24x10=240，再把240和48合起來。這兩種算法本質(zhì)上是相同的，而第二種的思考過程更具體地揭示了24x 12的算理。第三步，掌握豎式的算法。通過上述兩個(gè)層次對(duì)原有知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)的激活，學(xué)生對(duì)于24x12的“算理”形成了初步體驗(yàn)，在此基礎(chǔ)上，教師及時(shí)對(duì)已有分項(xiàng)計(jì)算過程與豎式進(jìn)行意義連接，使學(xué)生理解豎式中“位值”的表示方式，即個(gè)位上2乘24的結(jié)果是2箱的個(gè)數(shù)，而十位上1乘24的結(jié)果是10箱的個(gè)數(shù)，是24個(gè)十，從而使學(xué)生明確“4”為什么在十位的意義”。經(jīng)驗(yàn)的遷移達(dá)到了理清法明，前后共通的“算理”會(huì)深深扎根于學(xué)生心田。

五、直觀操作，尋求支撐點(diǎn)

直觀操作是計(jì)算教學(xué)的有效手段。在計(jì)算教學(xué)中，直觀操作不僅能將抽象的算理形象地顯現(xiàn)出來，一目了然，而且能使算法的闡述更為清晰、準(zhǔn)確。學(xué)生借圖明理，數(shù)形結(jié)合，就為算法的構(gòu)建提供了原型支撐，對(duì)學(xué)生理解算理、構(gòu)建創(chuàng)造性的算法具有重要的意義。

在五年級(jí)“小數(shù)乘以小數(shù)”教學(xué)中，由于小數(shù)是特殊的分?jǐn)?shù)，小數(shù)乘法的意義要到六年級(jí)學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)乘法時(shí)才能理解，小數(shù)乘小數(shù)的算理比較抽象，學(xué)生對(duì)算理難以理解。怎樣突破這一難點(diǎn)呢？筆者首先借助面積模型，先理解“0.1 x0.1”，出示圖3，學(xué)生從圖中清晰地看到0.1×0.1相當(dāng)于邊長為0.1的小正方形的面積，0.1×0.1=0.01。接著以此為基礎(chǔ)，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)單上（圖4）操作0.3×0.4，學(xué)生通過涂一涂、算一算，利用同樣的直觀圖，發(fā)現(xiàn)0.3x0.4是計(jì)算一個(gè)長4小格寬3小格的長方形面積，就是12個(gè)0.01，所以0.3x0.4=0.12。到此，筆者啟發(fā)學(xué)生在頭腦中進(jìn)行想象：0.7x0.6的積是多少？你能用圖形做出解釋嗎？通過以上三個(gè)在直觀圖中構(gòu)造零點(diǎn)幾乘零點(diǎn)幾的長方形，學(xué)生展開直觀推理，初步獲得對(duì)一位小數(shù)乘一位小數(shù)算理的理解。

接著筆者讓學(xué)生探究幾點(diǎn)幾乘以幾點(diǎn)幾，出示：3.6x2.3，有了前面的基礎(chǔ)，學(xué)生很快把上面環(huán)節(jié)中的認(rèn)知與經(jīng)驗(yàn)遷移過來（圖5）：在方格紙上畫一個(gè)與3.6x2.3對(duì)應(yīng)的長方形，3.6x2.3就可以看作是36個(gè)0.1與23個(gè)0.1相乘，得到828個(gè)0.01，就是8.28。據(jù)此，再用乘法豎式計(jì)算（圖6），學(xué)生對(duì)算理的理解就水到渠成。

上述直觀的面積模型，為算理算法提供了有效的支撐，豐富的數(shù)形結(jié)合材料，讓學(xué)生在比較中感悟到不同方法之間的內(nèi)在聯(lián)系，深刻地領(lǐng)悟了小數(shù)乘法的算理。