張衛(wèi)星

摘 ? ?要 ?數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系和直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來，通過以形助數(shù)或以數(shù)解形使復(fù)雜問題簡單化、抽象問題具體化，從而讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)可視化。讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)可視化的策略有：讓概念可視，讓算理可視，讓數(shù)理可視，讓規(guī)律可視，讓過程可視，讓思路可視，讓策略可視。

關(guān)鍵詞?數(shù)學(xué)教學(xué) 數(shù)形結(jié)合 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí) 可視化

可視化，即讓抽象的數(shù)學(xué)道理、數(shù)學(xué)思考和數(shù)學(xué)思維顯性化，強(qiáng)調(diào)學(xué)生可以通過動(dòng)手操作讓數(shù)學(xué)道理摸得著，通過語言表達(dá)讓數(shù)學(xué)思考聽得到，通過直觀表征讓數(shù)學(xué)思維看得見。數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系和直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來，通過以形助數(shù)或以數(shù)解形使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)可視化。由此可見，數(shù)形結(jié)合是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)可視化的重要手段。借助數(shù)形結(jié)合，可以促進(jìn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí)，從而形成和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

一、讓概念可視

數(shù)學(xué)概念是人腦對現(xiàn)實(shí)對象的數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)特征的一種反映形式。數(shù)學(xué)概念比較抽象，有時(shí)候不容易理解。而借助數(shù)形結(jié)合，可以把抽象的數(shù)學(xué)概念可視化，讓學(xué)生在不知不覺中理解其本質(zhì)屬性。

例如，人教版《數(shù)學(xué)》六年級上冊“百分?jǐn)?shù)的意義”一課，學(xué)生對“表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾”這一內(nèi)涵容易理解，也容易理解表示部分與整體關(guān)系的百分?jǐn)?shù)（不大于100%），而對表示兩個(gè)獨(dú)立量之間倍數(shù)關(guān)系的百分?jǐn)?shù)（可以大于100%）難以理解。為此，筆者借助課件的動(dòng)態(tài)演示設(shè)計(jì)了如下三張圖片（見圖1、圖2、圖3），讓學(xué)生說說乙車速度各是甲車速度的百分之幾？

圖1中，甲車速度平均分成10份，乙車速度具有相同的8份，學(xué)生容易說出乙車速度是甲車速度80%，表明乙車速度慢、甲車速度快。借助課件動(dòng)態(tài)演示，乙車速度延長至相同的10份（見圖2），學(xué)生也容易說出乙車速度是甲車速度100%，表明乙車速度和甲車速度一樣快。繼續(xù)借助課件動(dòng)態(tài)演示，乙車速度延長至相同的11份（見圖3），這時(shí)學(xué)生會感覺到乙車速度比甲車速度快，借助80%和100%這兩個(gè)百分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生自然而然會說出乙車速度是甲車速度的110%。在此基礎(chǔ)上，筆者適時(shí)追問：之前說百分?jǐn)?shù)不能大于100%，為什么現(xiàn)在又可以了？然后師生一起找出原因：因?yàn)楝F(xiàn)在的乙車速度是甲車速度的1.1倍，所以百分?jǐn)?shù)大于100%。在此基礎(chǔ)上，順勢提煉出這樣的結(jié)論：當(dāng)百分?jǐn)?shù)表示部分與整體的關(guān)系時(shí)，百分?jǐn)?shù)不能大于100%;當(dāng)百分?jǐn)?shù)表示兩個(gè)獨(dú)立量之間的倍數(shù)關(guān)系時(shí)，百分?jǐn)?shù)可以大于100%。這樣，借助數(shù)形結(jié)合，突破了教學(xué)的難點(diǎn)——表示倍數(shù)關(guān)系的百分?jǐn)?shù)，從而讓百分?jǐn)?shù)的概念建構(gòu)更加完整、更加深刻。

二、讓算理可視

計(jì)算教學(xué)看似簡單，實(shí)則不然。唯有讓學(xué)生真正理解算理和算法，才算教學(xué)成功。而算理又是算法的前提，因此計(jì)算教學(xué)的核心是讓學(xué)生理解算理。而算理具有一定的抽象性。若能借助數(shù)形結(jié)合，則可以讓抽象的算理可視化，從而讓學(xué)生輕松理解。

例如，在教學(xué)人教版《數(shù)學(xué)》四年級下冊“除法的運(yùn)算性質(zhì)”一課時(shí)，筆者設(shè)計(jì)了如下兩張幻燈片（見圖4、圖5），然后借助其動(dòng)態(tài)演示，學(xué)生就能較好地理解其算理了。

圖4中，筆者以長方形圖片為載體，先平均分成5份，再平均分成2份，最后結(jié)果跟直接平均分成10份是一樣的。這個(gè)動(dòng)態(tài)演示其實(shí)是從除法意義的角度來思考的，學(xué)生容易理解，從而讓學(xué)生知道一個(gè)數(shù)連續(xù)除以兩個(gè)數(shù)（0除外），可以把兩個(gè)除數(shù)先乘起來，讓學(xué)生初步形成除法運(yùn)算性質(zhì)的模型。圖5中，以第一個(gè)圓形圖片為載體，借助動(dòng)態(tài)演示，先把它平均分成4份，再把它平均分成2份，最后結(jié)果跟直接平均分成8份是一樣的，從而驗(yàn)證a÷4÷2=a÷（4×2）這一除法運(yùn)算性質(zhì)的初步模型，進(jìn)而提煉出a÷b÷c=a÷（b×c） （b、c≠0）這個(gè)除法運(yùn)算性質(zhì)的第一個(gè)正式模型。在此基礎(chǔ)上，筆者繼續(xù)用第2個(gè)圓形圖片為載體，讓學(xué)生感受把一個(gè)圓先平均分成4份、再平均分成2份，和先平均分成2份、再平均分成4份，結(jié)果是一樣的——把圓平均分成8份。在此基礎(chǔ)上，順勢提煉出a÷b÷c=a÷c÷b（b、c≠0）這一除法運(yùn)算性質(zhì)的第二個(gè)正式模型。

三、讓數(shù)理可視

數(shù)本身就比較抽象，有些數(shù)學(xué)生真的很難理解。針對一些學(xué)生難以理解的數(shù)，不要一味講解，而應(yīng)努力想辦法讓它可視化。若能將某些數(shù)可視化，學(xué)生就能真正理解數(shù)理，從而大大提高學(xué)習(xí)效率。當(dāng)然，讓數(shù)理可視的前提是教師自己要先理解數(shù)理。

例如，在教學(xué)人教版《數(shù)學(xué)》四年級下冊“小數(shù)的近似數(shù)”時(shí)，對近似數(shù)末尾的0為什么不能去掉，用言語很難講清道理。為此，筆者設(shè)計(jì)了如下的線段圖（見圖6）。

借助線段圖，學(xué)生能夠明白近似數(shù)是1的小數(shù)范圍是：大于等于0.5而小于1.5;而近似數(shù)是1.0的范圍是：大于等于0.95而小于1.05。這樣一來，學(xué)生就可以感受到近似數(shù)1.0和近似數(shù)1的意義完全不同，那么學(xué)生就不會隨便把近似數(shù)末尾的0去掉了。同時(shí)借助圖片，學(xué)生也能理解近似數(shù)是1的取值范圍比較大，近似數(shù)是1.0的取值范圍比較小，從而理解保留的小數(shù)數(shù)位越多，精確度越高，越接近實(shí)際數(shù)據(jù)這一道理。同時(shí)，學(xué)生通過觀察圖片也能理解一個(gè)近似數(shù)是1.0或1的小數(shù)的范圍要從“四舍”和“五入”兩個(gè)角度去找，從而明白“找原來最小的數(shù)要從‘五入方向找，找原來最大的數(shù)要從‘四舍方向找”這一道理。

四、讓規(guī)律可視

數(shù)學(xué)規(guī)律是通過觀察和思考提煉出來的一種普遍的數(shù)學(xué)現(xiàn)象，比較抽象。理解數(shù)學(xué)規(guī)律需要數(shù)學(xué)智慧的參與。只有深刻理解數(shù)學(xué)規(guī)律的表象，才能真正理解其內(nèi)涵。因此，借助數(shù)形結(jié)合讓抽象的數(shù)學(xué)規(guī)律直觀可視，就可以讓學(xué)生快速理解。

例如，在教學(xué)人教版《數(shù)學(xué)》五年級上冊“三角形的面積”時(shí)，“等底等高的三角形面積相等”這一規(guī)律，單憑幾個(gè)例子很難讓學(xué)生信服。為此，筆者設(shè)計(jì)了如下的練習(xí)（見圖7）。