【摘 要】類比是數(shù)學(xué)研究的重要思想方法，通過同類事物的比較，認(rèn)識它們之間的共性，從而由一類事物的性質(zhì)類比出另一類事物的某一性質(zhì)。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師使用類比方法使學(xué)生能更好地理解新舊知識的聯(lián)系和區(qū)別，從而形成完整的知識脈絡(luò)。教師由向量入手，將圓內(nèi)的結(jié)論類比到橢圓中并進(jìn)行探究、證明和應(yīng)用，使學(xué)生能用類比的方法探索和研究數(shù)學(xué)問題，提升其數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】向量;類比;橢圓;核心素養(yǎng)

【作者簡介】王斌瑜，一級教師。

數(shù)學(xué)教學(xué)如何在新形勢下落實素質(zhì)教育，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是一線教師普遍關(guān)注的問題?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡稱“課標(biāo)”）要求數(shù)學(xué)教學(xué)要促進(jìn)學(xué)生思維能力、實踐能力和創(chuàng)新意識的發(fā)展，探尋事物變化規(guī)律，增強(qiáng)社會責(zé)任感，并為學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展和終身學(xué)習(xí)創(chuàng)造條件。這就要求教師要以學(xué)生認(rèn)知發(fā)展與學(xué)習(xí)規(guī)律為基礎(chǔ)，認(rèn)真研讀教材、把握教材、剖析教材，教學(xué)既要突出數(shù)學(xué)主線，又要把握其內(nèi)在邏輯和思想方法。為此，筆者以“兩角差的余弦”為例，對如何借助向量將圓內(nèi)的結(jié)論類比到橢圓中進(jìn)行探究、證明和應(yīng)用。

一、提出問題

筆者在執(zhí)教蘇教版高中數(shù)學(xué)必修4 “兩角和與差的余弦”時，注意到在推導(dǎo)兩角差的余弦公式cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ時，是通過構(gòu)造單位圓并結(jié)合向量夾角公式推導(dǎo)出來的。這里不僅將前后所學(xué)知識緊密地結(jié)合起來，還提供了代數(shù)與幾何溝通的橋梁，從而促使筆者對后續(xù)的學(xué)習(xí)內(nèi)容——探究圓錐曲線問題引發(fā)了思考。

引例 將單位圓的半徑一般化并設(shè)其為r（r>0），圓上任意兩點P，Q與坐標(biāo)原點圍成的△OPQ的面積能否利用向量并結(jié)合夾角公式使其用P（x1，y1），Q（x2，y2）的坐標(biāo)表示？

由于△OPQ三個頂點的坐標(biāo)已確定，因此我們可以用坐標(biāo)來表示其面積。其本質(zhì)就是將幾何問題代數(shù)化，這是解析幾何的核心思想。

問題1 如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24+y2=1，過原點O作兩條射線l1和l2分別交橢圓于點P和點Q，得到的△OPQ面積記為S。設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），求證：S=12x1y2-x2y1。

證明思路：S=12OP·OQsin∠POQ

=12OP·OQ1-cos2∠POQ

=12 OP2·OQ2-OP·OQ2

=12 （x12+y12）（x22+y22）-（x1x2+y1y2）2

=12x1y2-x2y1。

以上結(jié)論實際上就是任意含原點三角形面積公式的坐標(biāo)表示。

問題1的證明雖然并不僅此一種方法，但是若由圓入手進(jìn)而將此類含原點三角形的面積公式坐標(biāo)化，這不僅讓學(xué)生掌握了處理此類問題的方法，還能讓學(xué)生加深對數(shù)學(xué)知識的理解，感受數(shù)學(xué)的美。以下是筆者基于類比的應(yīng)用研究。

二、基于類比的應(yīng)用研究

邏輯推理是課標(biāo)指出的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)之一，而類比是邏輯推理的一種重要表現(xiàn)形式。類比作為一種邏輯推理，被廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)中。教師使用類比創(chuàng)設(shè)情境能提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生主動融入問題并積極思考。教師通過對新舊知識的分析，幫助學(xué)生找出知識間的共同點、相似點和不同點，進(jìn)而根據(jù)舊知識的已有認(rèn)知去探尋新知識并做出猜想，讓學(xué)生能更好地接受新知識并有效鞏固已有知識[1] 。

類比對提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)具有重要作用。一方面，類比不僅可以幫助學(xué)生更好地理解和區(qū)別概念、圖形等（例如圓和橢圓在圖形以及解析式上具有高度的相似性），還可以幫助學(xué)生強(qiáng)化對公式、定理、性質(zhì)等的統(tǒng)一理解（如圓的面積公式πr2和橢圓的面積公式πab）;另一方面，類比可以幫助學(xué)生開闊解題思路，形成獨立分析問題和解決問題的能力。為使學(xué)生更好地掌握新知識，教師需從已有的知識和經(jīng)驗出發(fā)，在構(gòu)建知識認(rèn)知體系中，通過類比整體性解決問題，使學(xué)生輕松掌握新的數(shù)學(xué)知識和方法，并在探索中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效率[2] 。

（一）類比的方法

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，很多的概念、公式等具有相似性，那么如何類比，類比的方法有哪些？下文以圓和橢圓為例進(jìn)行研究。

對于圓中命題1“圓內(nèi)兩條互相垂直的直徑與圓相交所得四個點圍成的四邊形面積為定值2r2”，學(xué)生在將此命題類比到橢圓中時，往往會很自然地得到命題1′“橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）內(nèi)過原點的兩條互相垂直的直線與橢圓相交所得四個點圍成的四邊形面積為定值2ab”，但經(jīng)過驗證后，發(fā)現(xiàn)該命題為假命題。因此，類比的結(jié)論只是一種猜想，它可能是真命題，也可能是假命題，需要我們?nèi)ヅ袛?、證明其真假，但不能忽視其發(fā)現(xiàn)的功能。正如數(shù)學(xué)家波利亞所說：“如果把類比猜想的結(jié)論的似真性當(dāng)作肯定性，那將是愚蠢的。但是忽視這種似真性的猜想更為愚蠢。”

命題1′為假命題，此時我們需要反思類比推理的過程。將命題1中“圓內(nèi)兩條互相垂直的直徑”類比到命題1′“橢圓內(nèi)過原點的兩條互相垂直的直線”似乎在情理之中。類似地，將“圓內(nèi)直徑所對的角為直角”類比到“橢圓內(nèi)過原點的弦所對的角為直角”，發(fā)現(xiàn)這是一個假命題。當(dāng)我們進(jìn)一步探究這兩個具有類似形狀的模型圖時，由兩條弦的斜率入手，得到命題2“圓的直徑AB與該圓上任意一點P連線的斜率（存在）之積為-1”。若將該命題修正為“圓的直徑AB與該圓上任意一點P連線的斜率（存在）之積為-r2r2=-1”，再類比到橢圓中得命題2′“橢圓內(nèi)過原點的弦AB與該橢圓上任意一點P連線的斜率（存在）之積為-b2a2”就顯得合理且易證為真命題。實際上，我們有時候也將命題2′稱為橢圓的第三定義。由此不難發(fā)現(xiàn)，我們還可以將命題1修正后類比到命題1″“橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）內(nèi)過原點的兩條斜率存在且積為-b2a2的直線與橢圓相交所得四個點圍成的四邊形面積為定值2ab”，發(fā)現(xiàn)該命題為真命題，證明過程參見下文的問題2。當(dāng)然，教師在教學(xué)中還可以繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生思考：為什么命題1′錯誤而命題1″正確？

由此可見，類比最好從兩類事物顯而易見的共性，如基本公式和性質(zhì)入手，然后逐步探究分析兩者之間更深層次的聯(lián)系。當(dāng)然，如果通過類比得出的結(jié)論是錯誤的也沒關(guān)系，首先我們需要反思類比的過程，其次我們需要不斷修正或者找出產(chǎn)生假命題的原因。不管結(jié)果如何，只要學(xué)生主動參與了類比、猜想、反思及證明的過程，就能不斷提升學(xué)生認(rèn)識問題、探究問題和解決問題的能力。

（二）類比的再生性

類比具有較強(qiáng)的再生性，可以產(chǎn)生新的猜想。正如數(shù)學(xué)家波利亞所說，類比是獲得發(fā)現(xiàn)的偉大源泉。類比是一種從特殊到特殊的推理方法，其邏輯形式如下：A具有性質(zhì)p1，p2，p3，…，pn;猜測類似于A的B具有類似性質(zhì)p1′，p2′，p3′，…，pn′[3]。因此，我們可將圓內(nèi)與垂直相關(guān)的性質(zhì)類比到橢圓中，于是可得出以下結(jié)論均為真命題。

結(jié)論1：橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）內(nèi)弦AB的中點與原點連線的斜率與該弦斜率（存在）之積為-b2a2。

結(jié)論2：橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）上一點與原點連線的斜率與該點處切線斜率（存在）之積為-b2a2。

學(xué)生有了從命題1′到命題1″的修正經(jīng)驗，就比較容易類比得到真命題中都應(yīng)該有“斜率之積為-b2a2”的結(jié)論。以命題1″為例，教師引導(dǎo)學(xué)生研究“橢圓內(nèi)過原點的兩條直線的斜率之積為-b2a2”的意義，并將斜率之積代數(shù)化以坐標(biāo)形式呈現(xiàn)為b2x1x2+a2y1y2=0，再用三角函數(shù)代換x1=acosα，x2=acosβ，y1=bsinα，y2=bsinβ，可知cos（α-β）=0，即α-β=π2，類似于圓內(nèi)兩條互相垂直的直徑，這相當(dāng)于逆向說明了其相通性?；诖耍覀冊偻ㄟ^類比得到以下結(jié)論。

結(jié)論3：橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）上點A（x1，y1），B（x2，y2），則kOA·kOB=-b2a2x12+x22=a2，y12+y22=b2。

結(jié)論4：橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）上一點M，且OM=λOA+μOB，則kOA·kOB=-b2a2λ2+μ2=1。

結(jié)論3和結(jié)論4可由圓內(nèi)兩條互相垂直的直徑類比得出。

綜上分析發(fā)現(xiàn)，結(jié)論1至結(jié)論4的證明方法也是由圓內(nèi)證明方法類比而來的。因此，我們發(fā)現(xiàn)類比的結(jié)果未必正確，還需要證明，但是很多證明的思想和方法其實就是一種類比。也就是說類比有時候是貫穿始終的，并不僅僅局限于猜想。

（三）類比的應(yīng)用性

問題2（2015年上海高考數(shù)學(xué)理科卷） 已知橢圓x2+2y2=1，過原點的兩條直線l1和l2分別與橢圓交于點A，B和C，D，記得到的平行四邊形ABCD的面積為S。（1）略;（2）設(shè)l1與l2的斜率之積為-12，求面積S的值。

解析：設(shè)A（x1，y1），C（x2，y2），由條件可知x1x2=-2y1y2，且有x12+2y12=1，x22+2y22=1，將x1x2=-2y1y2兩邊平方后，代入可知x12x22=4y12y22=（1-x12）（1-x22），化簡得x12+x22=1。

所以S=4×12x1y2-x2y1=2（x1y2-x2y1）2

=2x12y22+x22y12-2x1x2y1y2

=2x12·1-x222+x22·1-x122+x12x22

=212（x12+x22）=2。

通過對橢圓方程及斜率之積的觀察，發(fā)現(xiàn)這其實就是從命題1′到命題1″的類比結(jié)論，因此將面積代數(shù)化計算即可。若我們將問題2向縱深研究還可以發(fā)現(xiàn)，此類四邊形為橢圓內(nèi)面積最大的內(nèi)接四邊形，從而形成“再發(fā)現(xiàn)”。若再結(jié)合逆命題思考又可以產(chǎn)生新的猜想（此處不詳細(xì)展開），讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的魅力。

問題3 如圖2，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的離心率為22。A為橢圓上異于頂點的一點，點P滿足OP=2AO。設(shè)過點P的一條直線交橢圓于B，C兩點，且BP=mBC，若直線OA，OB的斜率之積為-12，求實數(shù)m的值。

解析：從橢圓的離心率和直線OA，OB的斜率之積關(guān)系入手，發(fā)現(xiàn)本題符合結(jié)論4的結(jié)構(gòu)。但本題在此基礎(chǔ)上引入向量，需要學(xué)生發(fā)現(xiàn)并回歸模型，利用結(jié)論4并結(jié)合向量易得4m2+（m-1）2m2=1，解得m=52。

本題圖形較復(fù)雜、條件繁多，解題的“題眼”隱藏在“離心率為22”和“直線OA，OB的斜率之積為-12”的關(guān)系中，若從前面的問題1到問題2，再到問題3，我們發(fā)現(xiàn)它們有個共同的特征：原點引出兩條弦且其斜率之積為定值-b2a2，然后猜測并產(chǎn)生新的命題進(jìn)而應(yīng)用于解題。經(jīng)過探究證明發(fā)現(xiàn)，可將其視為圓中兩條互相垂直的直徑，那么這樣對上文的結(jié)論就會有一個更加清晰的認(rèn)識，甚至可將其推廣到更一般性的結(jié)論。至此，我們應(yīng)該對“圓內(nèi)兩條互相垂直的直徑”和“橢圓內(nèi)過原點的兩直線斜率（存在）之積為-b2a2”類似的結(jié)論有了更全面的認(rèn)識和理解。當(dāng)然，不僅從圓到橢圓的類比中有很多有用的結(jié)論，在其他的知識中，類比也是很好的手段。正如開普勒所說：“我重視類比勝過任何別的東西，它是我最可信賴的老師，它能揭示自然界的秘密，尤其是在幾何學(xué)中?！?[4]

三、結(jié)語

課標(biāo)指出，要培養(yǎng)學(xué)生探究事物的變化規(guī)律，促進(jìn)其終身可持續(xù)發(fā)展。在培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的當(dāng)下，盲目地刷題效果肯定不好。教師要使用類比等方法積極引導(dǎo)學(xué)生歸納、反思，將知識建立聯(lián)系并形成體系，從而更好地掌握一系列問題的解決方法。教師在教學(xué)中適當(dāng)?shù)剡\用類比的思想能更好地調(diào)動學(xué)生的主觀能動性，培養(yǎng)其獨立思考、自主探究的能力，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)：

[1]黃碧波.關(guān)于類比法在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用探究[J].讀寫算（教育教學(xué)研究），2014（7）：33-34.

[2]徐宏暉，沈紅星.類比思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)之友，2014（4）：23-25，27.

[3]何念如.類比法在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].高等繼續(xù)教育學(xué)報，2006（1）：13-15.

[4]魏樹東.淺議類比法在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2019（20）：9-11.

（責(zé)任編輯：陸順演）