賀文， 李碩， 夏文慧

(湖南大學 土木工程學院，湖南 長沙 410082)

1 引言

近年來，隨著城市機動車數(shù)量的不斷增長，道路資源有限，交通擁堵不斷加劇。交叉口作為路網(wǎng)的瓶頸，其運行狀態(tài)直接影響到路網(wǎng)的通行狀況，其中，交叉口的左轉(zhuǎn)通行對整個交叉口的交通狀況影響較大。為解決交叉口左轉(zhuǎn)車輛的通行問題，從提高交叉口資源利用率的角度出發(fā)，出現(xiàn)了左轉(zhuǎn)車道拓寬設(shè)計、設(shè)置左轉(zhuǎn)待行區(qū)、逆向可變車道等措施。其中，左轉(zhuǎn)待行區(qū)的設(shè)計已廣泛應(yīng)用于各大城市，可以充分利用交叉口的空間，達到提高交叉口通行效率的目的。

目前，在GB 51038-2015《城市道路交通標志和標線設(shè)置規(guī)范》中對于待行區(qū)的設(shè)置方法較為明確。待行區(qū)設(shè)置的相關(guān)理論研究已較為完善，主要對左轉(zhuǎn)待行區(qū)的設(shè)置條件、形式等進行了探討。由于待行區(qū)的設(shè)置對交叉口車輛運行狀態(tài)產(chǎn)生了影響，大量學者開始對設(shè)置待行區(qū)交叉口各項交通效益的評價指標進行研究，并建立相關(guān)的修正模型，為交叉口信號配時提供了理論基礎(chǔ)。陳亦新、陳永恒等通過分析設(shè)置左轉(zhuǎn)待行區(qū)的左轉(zhuǎn)車道排隊車輛從起步到駛離交叉口的釋放過程，建立了左轉(zhuǎn)待行區(qū)左轉(zhuǎn)車道通行能力的計算模型；Yang Z等基于HCM通行能力和延誤的計算模型，分析左轉(zhuǎn)待行區(qū)設(shè)置后左轉(zhuǎn)車輛的運行特性，分別通過設(shè)有待行區(qū)的累計車輛圖和排隊累計圖，建立了左轉(zhuǎn)待行區(qū)交叉口的通行能力模型和延誤修正模型；倪穎等基于交通流波動理論，考慮在兩種配時方法下, 左轉(zhuǎn)待行區(qū)的設(shè)置對交叉口左轉(zhuǎn)車道通行能力的影響，并推導出左轉(zhuǎn)待行區(qū)設(shè)置后左轉(zhuǎn)車輛平均停車次數(shù)增加的估算值；關(guān)楨等分析了左轉(zhuǎn)待行區(qū)設(shè)置與飽和流率的關(guān)系，基于交通波理論，提出設(shè)置左轉(zhuǎn)待行區(qū)交叉口最小綠燈時長的確定方法，并推導了停車率的修正模型。

與常規(guī)交叉口相比，左轉(zhuǎn)待行區(qū)的設(shè)置提高了交叉口的通行能力，減小了延誤和排隊長度，但同時引發(fā)了二次停車問題，增加了車輛的停車率，因此，對于設(shè)置待行區(qū)的交叉口，左轉(zhuǎn)車輛的停車率研究顯得尤為重要。該文從左轉(zhuǎn)待行區(qū)左轉(zhuǎn)車輛運行特性出發(fā)，基于交通波理論，推導待行區(qū)設(shè)置后左轉(zhuǎn)車輛增加的二次停車率，建立停車率的修正模型。結(jié)合交叉口的車輛延誤，以平均延誤和停車率為研究對象，建立雙目標信號配時的優(yōu)化模型，并采用NSGA-Ⅱ算法對配時方案進行求解。

2 交通波模型

2.1 交叉口車輛運行波動特性

左轉(zhuǎn)車輛通過設(shè)置待行區(qū)的交叉口的運行特性如下：車輛由上游進入交叉口路段，在紅燈期間，車輛陸續(xù)在交叉口第一停止線，即無待行區(qū)交叉口的停止線處停車，形成一次停車波w1；在同向綠燈啟亮后，左轉(zhuǎn)車輛起動進入左轉(zhuǎn)待行區(qū)，形成一次起動波w2；然后車輛行駛待行區(qū)長度距離Lw，在第二停止線，即左轉(zhuǎn)待行區(qū)的停止線處停車，形成二次停車波w1′；在左轉(zhuǎn)綠燈啟亮后，車輛駛離待行區(qū)，形成二次起動波w2′。左轉(zhuǎn)車輛運行的時空軌跡圖如圖1所示。

圖1 左轉(zhuǎn)車輛運行時空軌跡圖

2.2 交通波模型

由文獻[8]可知，車流波速的計算公式為：

(1)

式中：q1、q2為車流前、后狀態(tài)的流量(veh/h)；k1、k2為車流前、后狀態(tài)的密度(veh/km)；v1、v2為車流前、后狀態(tài)的速度(km/h)。

對比格林希爾治線性模型與格林伯模型，格林伯模型適用于較大密度的情況，交叉口交通流量大，采用后者作為交叉口的交通波模型較為合理。格林伯速度-密度對數(shù)模型表達式為：

u=umln(kj/k)

(2)

式中：um為最佳速度(km/h)；kj為車輛阻塞密度(veh/km)。

左轉(zhuǎn)紅燈期間，車輛在交叉口第一停止線處陸續(xù)停車，式(1)中，v2=0，k2=kj，由式(2)得到一次停車波為：

(3)

式中：kd為左轉(zhuǎn)車輛到達密度(veh/km)，kd=qL/vd，其中qL為左轉(zhuǎn)車輛到達率(pcu/h)；vd為路段行駛速度(km/h)。

由于左轉(zhuǎn)待行區(qū)的設(shè)置，左轉(zhuǎn)車輛起動經(jīng)過待行區(qū)長度Lw需要在第二停止線處停車等待，車流無法以飽和流率狀態(tài)通過第一停車線?？紤]交叉口的幾何條件，左轉(zhuǎn)待行區(qū)設(shè)置的長度一般為2～4個車輛的可停放長度，左轉(zhuǎn)車輛在同向直行綠燈期間的運行狀態(tài)類似于排隊前進，參考文獻[9]，車輛運行可看作是以較低的加速度和減速度行駛。由圖2可知：車輛1、2通過第一停止線，車輛3、4排隊進行，車輛運行長度按待行區(qū)長度的距離進行排隊，停車位置為1′、2′、3′、4′。車輛運行狀態(tài)為：在同行綠燈啟亮后，先起動加速到一定速度v，然后減速到第二停止線處停車，以速度v作為車輛的起動速度。

圖2 左轉(zhuǎn)待行區(qū)交叉口車輛運行狀態(tài)

設(shè)左轉(zhuǎn)待行區(qū)的長度為Lw，車輛的加速度為a1，減速度為a2，同向直行綠燈期間，單個車輛起動至停止的時間為t，可得以下公式：

(4)

推導可得：

v=2Lw/t

(5)

各個周期內(nèi)車輛起動后的行駛車速為單個車輛起動速度的平均值。

(6)

同向直行綠燈啟亮后，左轉(zhuǎn)車輛進入待行區(qū)，式(1)中，v1=0，將式(2)代入式(1)得到一次起動波為：

(7)

3 停車率及延誤模型

3.1 停車率模型

考慮不完全停車的情況，在車輛均勻到達的條件下，交叉口進口道的平均停車率按照Akcelic的計算方法建立模型表達式。信號交叉口的專用左轉(zhuǎn)車道停車率計算模型為：

(8)

式中：ge1為設(shè)置待行區(qū)前的有效綠燈時長(s)；C1為設(shè)置待行區(qū)前的周期時長(s)；s為飽和流率(pcu/h)，s=3 600h，h為車頭時距(s/veh)。

交叉口設(shè)置左轉(zhuǎn)待行區(qū)，在同向直行綠燈啟亮后，排隊等待的左轉(zhuǎn)車輛需要由第一停止線行駛至待行區(qū)的第二停止線處停車，導致同向綠燈啟亮前排隊的車輛和起動波傳遞至排隊末車前到達的車輛全部或部分需要進行二次停車，可通過比較左轉(zhuǎn)車輛起動進入左轉(zhuǎn)待行區(qū)所產(chǎn)生的起動波傳遞至排隊末車需要的時間t′與同向直行綠燈時長tT的關(guān)系，推導停車率的增長模型。

兩種情況下車輛起動時空軌跡如圖3所示。

圖3 車輛起動時空軌跡圖

情況1：同向直行綠燈啟亮后，第一停車線后的左轉(zhuǎn)車輛開始起動，產(chǎn)生起動波并向后傳遞。如果在起動波傳遞至左轉(zhuǎn)排隊末車之前，左轉(zhuǎn)綠燈已啟亮，則同向綠燈啟亮前排隊的車輛和起動波傳遞至排隊末車前到達的車輛，部分需要進行二次停車，部分只需一次停車。特殊情況，起動波傳遞至排隊末車時，左轉(zhuǎn)綠燈剛好啟亮，則一個周期內(nèi)到達的左轉(zhuǎn)車輛都需要二次停車，起動波的傳遞時間即為同向直行綠燈時長。二次停車的車輛數(shù)為：

ΔN=w2tTkj,t′≥tT

(9)

情況2：同向直行綠燈啟亮，左轉(zhuǎn)車輛起動波傳遞至排隊末車后，左轉(zhuǎn)綠燈未啟亮，則在起動波傳遞至排隊末車前，到達的左轉(zhuǎn)車輛都需要二次停車。起動波傳遞至排隊末車后，左轉(zhuǎn)綠燈啟亮前，到達的車輛只需一次停車。二次停車的車輛數(shù)由兩部分構(gòu)成：① 同向直行綠燈啟亮前累計排隊的左轉(zhuǎn)車輛數(shù)ΔN1；② 同向直行綠燈啟亮后，起動波傳遞至排隊末車之前，期間到達交叉口的左轉(zhuǎn)車輛數(shù)ΔN2。

ΔN1=qLt橫

(10)

式中：t橫為異向車輛的通行時間(s)，t橫=C2-tL-A，其中tL為左轉(zhuǎn)綠燈時長(s)；A為黃燈時長(s)。

由圖3可知：起動波傳遞至排隊末車，與停車波在O點相遇。

(11)

式中：hs為車頭間距(veh/m)。

(12)

由式(10)、(12)計算可得二次停車的車輛數(shù)為：

(13)

左轉(zhuǎn)待行區(qū)交叉口的專用左轉(zhuǎn)車道停車率計算模型為：

(14)

式中：C2為設(shè)置左轉(zhuǎn)待行區(qū)后的周期時長(s)；ge2為設(shè)置待行區(qū)后的有效綠燈時長(s)。

3.2 交叉口延誤模型

左轉(zhuǎn)待行區(qū)的設(shè)置對均勻延誤和隨機延誤產(chǎn)生了影響。如圖4所示，待行區(qū)設(shè)置前，車輛在tA時刻排隊長度達到最大值，車輛開始釋放，到tB時刻所有車輛釋放完畢，三角形SOAB的面積即為左轉(zhuǎn)車輛的均勻延誤。

圖4 待行區(qū)設(shè)置前后延誤模型圖

根據(jù)美國道路通行能力手冊(Highway Capatity Manual 2010，HCM 2010)，以均勻延誤和隨機延誤作為延誤的計算基礎(chǔ)，模型的表達式為：

(15)

式中：x為設(shè)置待行區(qū)前的車道飽和度；λ為設(shè)置待行區(qū)前的綠信比；c1為設(shè)置待行區(qū)前的車道通行能力(pcu/h)；T為分析持續(xù)的時間，取值0.25 h；e為信號控制調(diào)整參數(shù)，定時信號取0.5。

設(shè)置待行區(qū)后，車輛在tD時刻可進入待行區(qū)內(nèi)停車等待，tF時刻車輛開始釋放直至tH時刻車輛釋放完畢。設(shè)置待行區(qū)后的均勻延誤由兩部分組成：停止線后的左轉(zhuǎn)車輛的延誤時間，即多邊形區(qū)域SODEFH的面積；進入待行區(qū)內(nèi)的車輛的延誤時間，即多邊形區(qū)域SDEFK的面積。陰影部分為設(shè)置待行區(qū)后車輛延誤時間的減少值。平均延誤的計算方法如下：

(16)

λd=(ge2+N/s)/C2

(17)

(18)

式中：xd為設(shè)置待行區(qū)后的飽和度；λ為設(shè)置待行區(qū)后的綠信比；c2為設(shè)置待行區(qū)后的通行能力(pcu/h)；N為左轉(zhuǎn)待行區(qū)可容納的車輛數(shù)(pcu)。

對于隨機延誤，左轉(zhuǎn)待行區(qū)的設(shè)置對有效綠燈時間和車道飽和度產(chǎn)生了影響，可采用：

(19)

平均延誤為均勻延誤d1和隨機延誤d2之和：

d′=d1+d2

(20)

4 信號配時優(yōu)化

4.1 信號配時優(yōu)化模型

關(guān)于交叉口交通效益的評價指標，常用的有通行能力、延誤、排隊長度、停車率等。其中延誤作為評價交叉口運行狀態(tài)的重要指標，其與周期時長、綠信比等指標密切相關(guān)。交叉口設(shè)置了左轉(zhuǎn)待行區(qū)后，增加了二次停車率，交叉口對停車率的控制也尤為重要。該文以左轉(zhuǎn)待行區(qū)交叉口為研究對象，以信號周期、相位有效綠燈時長為約束條件，建立交叉口控制延誤時長最小、停車率最小的雙目標優(yōu)化模型，使總延誤及總停車次數(shù)目標函數(shù)值取得pareto最優(yōu)，達到優(yōu)化的目的。

目標函數(shù)：

(21)

式中：qij為相位i通行方向j的車流流量；dij為相位i通行方向j的車輛平均延誤；hij為相位i通行方向j的車輛平均停車次數(shù)。

其中，交叉口直行車道不存在待行區(qū)，對直行車流而言不存在二次停車的情況，直行車輛的停車率和車輛延誤根據(jù)式(8)、(15)進行計算。

約束條件：

(22)

式中：ge為各相位綠燈有效時間；L為信號周期內(nèi)的總損失時間；tmin為行人過街時長；ge(直行)為直行相位綠燈有效時間。

4.2 NSGA-Ⅱ算法設(shè)計

針對左轉(zhuǎn)待行區(qū)交叉口的延誤和停車率最小的雙目標模型，采用NSGA-Ⅱ算法進行信號配時優(yōu)化。NSGA-Ⅱ算法是Deb等在NSGA的基礎(chǔ)上進行改進的，該算法提出了一種基于分級的快速非支配排序法，降低了算法的計算復(fù)雜度；提出擁擠度和擁擠度比較算子，使準域中的個體能擴展到整個域，并均勻分布，保持種群的多樣性；引入精英策略，擴大采樣空間，使得最佳個體不會丟失，迅速提高種群水平。算法的基本流程為：

(1) 基本參數(shù)的設(shè)定：對種群規(guī)模、最大迭代次數(shù)、交叉分布指數(shù)、變異分布指數(shù)等進行初始化。

(2) 編碼：根據(jù)所研究的延誤和停車率選擇實數(shù)編碼方式。

(3) 初始化種群，隨機生成個體數(shù)為K的初始種群Pt，Gen=0，作為父代種群。

(4) 對父代種群Pt進行快速非支配排序和擁擠度計算，通過錦標賽選擇、模擬二進制交叉、多項式變異3個基本操作，得到第一代子代種群Qt。

(5) 從第二代開始，將父代種群Pt和子代種群Qt合并，組成規(guī)模為2K的臨時種群Rt，對該種群進行快速非支配排序和擁擠度計算。根據(jù)非支配關(guān)系以及個體的擁擠度，選取序值小的個體，同一序值條件下，選擇擁擠度較大的個體，最終選出的最優(yōu)K個個體組成新的父代種群Pt。

(6) 判斷迭代次數(shù)是否達到預(yù)設(shè)的迭代次數(shù)，若是等于則結(jié)束運行，否則，跳轉(zhuǎn)到(4)，Gen=Gen+1。

5 實例分析

5.1 交叉口現(xiàn)狀條件

該文以長沙市韶山南路與新建路交叉口為例，采取視頻拍攝的方法獲取數(shù)據(jù)。該交叉口為標準十字交叉口，各個方向分為左、直、右車道，各進口道有兩條左轉(zhuǎn)車道，設(shè)有左轉(zhuǎn)待行區(qū)。信號控制為四相位控制，有專用左轉(zhuǎn)相位，交叉口的現(xiàn)狀數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 交叉口交通流量 pcu/(15 min)

交叉口各進口道設(shè)置有交通島，行人過街長度見表2。

信號相位方案如表3所示。

表3 交叉口信號相位

5.2 參數(shù)分析

車輛損失時間包括起動損失時間和清尾損失時間。對各周期內(nèi)車輛通過停止線的時間進行統(tǒng)計。以南北進口道為例，計算可得左轉(zhuǎn)車輛的損失時間為8.0 s，直行車輛的損失時間為5.9 s。因此，左轉(zhuǎn)車輛對信號損失時間的影響達2 s，考慮南北直行相位之后設(shè)置2 s全紅時間。

行人過街時長計算公式為：

(23)

式中：Lp為人行橫道長度；vp為行人通過人行橫道的速度，取值為1.2 m/s。

計算可得南北進口道行人過街時長為28 s，東西進口道行人過街時長為22 s。

5.3 起動波模型標定

該文采用實測數(shù)據(jù)對一次起動波進行標定，以南進口為例，待行區(qū)長度Lw=14 m，記錄每組左轉(zhuǎn)車輛進入待行區(qū)形成的起動波傳遞至隊末車輛的排隊長度，起動波傳遞至隊末的時間，即從隊首車輛起動到隊末車輛起動所間隔的時間，可計算出起動波的平均傳播速度。根據(jù)前文公式，整理車輛運行時間t，用模型計算可得27組數(shù)據(jù)。式(7)的模型計算值與實測值對比結(jié)果如圖5所示。

圖5 起動波數(shù)據(jù)結(jié)果分布圖

從圖5可以看出：式(7)的模型計算值與實際觀測值接近，模型計算值與觀測值的平均偏差為：

因此，修正后的起動波模型是有效的。

5.4 結(jié)果分析

設(shè)定周期的取值范圍，信號周期內(nèi)的損失時間可通過數(shù)據(jù)處理獲得，因此，在案例交叉口信號配時為四相位，并且左轉(zhuǎn)與直行分流情況下，可將原約束條件轉(zhuǎn)化為各相位的有效綠燈時間。

將交叉口劃分車道組，不改變原有的信號相位相序，以車輛延誤最小和停車率最小為優(yōu)化目標，用NSGA-Ⅱ算法進行優(yōu)化。由約束條件的處理可知，尋優(yōu)變量為4個相位所對應(yīng)的有效綠燈時間。采用實測數(shù)據(jù)，用矩陣進行表示，即各車道流量q為6×4矩陣，進口道流量Q為1×4矩陣。進口道的延誤和停車率的矩陣形式為d(i,j)和h(i,j)，i表示4個進口道，j表示4個進口道第幾車道數(shù)，交叉口延誤和停車率的矩陣形式為D和H，為4個進口道的加權(quán)平均和，最后將進口道延誤和停車率加權(quán)為交叉口平均延誤和平均停車率。

對算法的相關(guān)參數(shù)進行設(shè)置，種群規(guī)模為100，迭代次數(shù)為200，交叉概率為0.9，變異概率為0.1，調(diào)整變量的取值范圍，求得pareto解如圖6所示。

圖6 NSGA-Ⅱ算法計算結(jié)果

由圖6可知：對于交叉口信號控制多目標優(yōu)化的非劣解集, 左轉(zhuǎn)待行區(qū)交叉口的車輛延誤與平均停車率相對而言是2個較為相互沖突的控制目標，交叉口的車輛延誤最小和停車率最小不能在同一個點達到。

在國內(nèi)外的研究中，通常將交叉口的延誤作為評定交叉口運行狀態(tài)的標準，考慮到此交叉口的各車道組的延誤時間較長，信號配時方案選擇車輛平均延誤占優(yōu)勢的一組pareto解。因此，文中考慮將平均延誤作為主要的評判標準。由計算結(jié)果可知：在停車率為(0.88,0.93)范圍內(nèi)，隨著停車率的增加，交叉口的平均延誤變化較大，停車率大于0.93的條件下，交叉口的平均延誤變化不大，取停車率為0.93，平均延誤為68.90 s/pcu，延誤和停車率分別降低了13.61%、0.02次/s，得出的信號配時方案見表4。交叉優(yōu)化前后結(jié)果對比見表5。

表4 交叉口信號配時優(yōu)化方案

表5 交叉口優(yōu)化結(jié)果對比

由表4、5可以看出：應(yīng)用 NSGA-Ⅱ算法優(yōu)化之后，信號周期時長由169 s變?yōu)?25 s，車輛延誤由79.75減少為68.90 s/pcu，降低了13.61%，停車率由0.95減少為0.93 次/s，降低了0.02 次/s。

6 結(jié)語

基于交通波理論，分析交叉口設(shè)置待行區(qū)后車輛的運行狀態(tài)，建立車輛進入待行區(qū)的起動波模型，可為后期待行區(qū)車輛運行特征的研究提供一定的參考。以左轉(zhuǎn)待行區(qū)設(shè)置后，引起的二次停車為研究對象，分析起動波在同向直行綠燈期間的傳遞情況，對交叉口停車率模型進行修正，為后文的信號配時優(yōu)化提供了一定的理論基礎(chǔ)。

該文以信號周期時長和有效綠燈時長為約束條件，以車輛延誤和停車率為優(yōu)化目標，建立雙目標優(yōu)化模型。用NSGA-Ⅱ算法對模型進行計算，對目標函數(shù)進行優(yōu)化，得到一組以車輛延誤目標相對占優(yōu)的信號配時方案。由優(yōu)化結(jié)果可知：信號配時優(yōu)于現(xiàn)狀，車輛延誤和停車率較之現(xiàn)狀有一定程度的降低，證明了優(yōu)化模型和算法的合理性及有效性。