李浩光,文柯柯

(中南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)學(xué)院, 武漢 430074)

1 相關(guān)知識

考慮如下齊次玻爾茲曼方程的柯西問題：

(1)

其中f=f(t,v)取決于時間t≥0，速度變量v∈R3.

玻爾茲曼方程是描述時間和空間演化的最成功的數(shù)學(xué)模型，從統(tǒng)計物理學(xué)的角度看就是描述稀薄氣體中粒子的位置和速度的分布函數(shù)，一般通過相關(guān)的偏微分方程來描述這個運動.由于其深厚的物理背景，可測初值的玻爾茲曼方程解的存在唯一性、光滑性以及大時間漸近形態(tài)一直是許多數(shù)學(xué)家著迷的課題.麥克斯韋模型下齊次玻爾茲曼方程的研究已經(jīng)取得了比較完善的結(jié)論[1-3]. 類似的動力學(xué)方程柯西問題解的適定性的相關(guān)研究可參閱文獻[4].對于非麥克斯韋模型的齊次玻爾茲曼方程，受限于其復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，在很多時候沒有獲得滿意的結(jié)論.MORIMOTO等在文獻[3]中利用近似解的方法研究軟位勢玻爾茲曼解的存在性以及光滑性，沒有穩(wěn)定性的結(jié)論.

本文將探討帶可測初值的改進軟位勢齊次玻爾茲曼方程解的存在唯一性及穩(wěn)定性.該方程的右邊是一個二元碰撞算子：

f(v*)f(v)}dσdv*,

對于-3<γ<0,考慮碰撞核函數(shù)Φ(z)=|z|γ傅里葉變換：

φt=G(φ),

這里：

|η|-3-γ)φ(η)φ(ξ-η)dηdσ,κ=ξ/|ξ|.

考慮到相函數(shù)|ξ|-3-γ在原點有奇異性，為此對位勢函數(shù)做一點修改：

2 主要結(jié)果

(2)

(3)

關(guān)于Sobolev空間Kα，可以參考文獻[3].

為證明定理1，先要證明以下定理2.

證明考慮空間Kα的定義，只需要證明對某個常數(shù)λ0>0，有：

(4)

這里記〈η〉=(1+|η|2)1/2.證明過程分為兩部分：

(1)當(dāng)|ξ|≤1時，考慮到對稱性有：

〈-η+ξ-〉-6-γ-〈-η〉-6-γ|·

由微分中值定理(二階)：

〈-η+ξ-〉-6-γ-〈-η〉-6-γ+(6+γ)η·

ξ-〈-η〉-8-γ=

〈-η+τξ-〉-10-γdτ,

從而得到：

|〈-η+ξ-〉-6-γ-〈-η〉-6-γ+

(6+γ)η·ξ-〈-η〉-8-γ|≤

同理可以證明：

|〈-η+ξ+〉-6-γ-〈-η+ξ〉-6-γ-

(6+γ)(η-ξ)·ξ-〈-η+ξ〉-8-γ|≤

又由于：

|η·ξ-〈-η〉-8-γ-(η-ξ)·ξ-〈-η+ξ〉-8-γ|≤

考慮到|ξ-|=|ξ|sinθ，得到：

|〈-η+ξ-ξ-〉-6-γ+〈-η+ξ-〉-6-γ-

〈-η+ξ〉-6-γ-〈-η〉-6-γ|≤

τξ-〉-8-γ+〈-η+τξ〉-8-γdτ,

由于|ξ|≤1,-2<γ<0,0<α≤1,則可求得：

〈-η+τξ-〉-8-γ](|η|α+|ξ-η|α)dτdη≤

考慮到：

于是有結(jié)論：

其中λ0依賴于γ,α.

當(dāng)|ξ|>1時，直接計算可得：

做適當(dāng)平移變換和球坐標(biāo)變換，且考慮到：

-2<γ<0,0<α≤1,

可以得到：

于是：

綜上所述，可以找到一個正常數(shù)距離λ0滿足公式(4)，命題得證.

定義算子：

由方程：

可得：

從而：

由定理1可得：

當(dāng)T0>0足夠小時，使得λ0T0<1時，H是一個壓縮映射.

由Banach不動點定理可得，上述問題存在一個唯一解φ(ξ,t)∈C([0,T0],Kα).即，帶可測初值的改進軟位勢齊次玻爾茲曼方程存在唯一解.以φ(ξ,T0)∈Kα作為初值代回柯西問題(2)中，利用定理2，可得到帶可測初值的改進軟位勢齊次玻爾茲曼方程存在唯一解φ(ξ,t)∈C([T0,2T0],Kα).重復(fù)上述過程可以得到φ(ξ,t)∈C([0,∞),Kα).

利用定理2，可得：

λ0‖φ-φ‖α.

計算上述微分方程得到：

這就證得公式(3)，定理1證畢.