馮軻　趙均榜

【摘要】本文梳理了近似數(shù)量系統(tǒng)精確性與學前兒童數(shù)學能力的關系，包括近似數(shù)量系統(tǒng)精確性與學前兒童數(shù)學能力的相互預測關系，近似數(shù)量系統(tǒng)精確性與學前兒童數(shù)學能力的邊緣相關或不相關關系以及近似數(shù)量系統(tǒng)訓練及其對學前兒童數(shù)學能力的影響，建議未來研究應當明確學前兒童近似數(shù)量系統(tǒng)精確性測查任務，深入探討近似數(shù)量系統(tǒng)精確性與學前兒童數(shù)學能力不同方面的關系，進一步探討近似數(shù)量系統(tǒng)訓練對學前兒童數(shù)學能力的持續(xù)影響。

【關鍵詞】近似數(shù)量系統(tǒng)精確性;學前兒童;數(shù)學能力

【中圖分類號】G610? ?【文獻標識碼】A? ?【文章編號】1004-4604（2020）7/8-0054-05

《3～6歲兒童學習與發(fā)展指南》指出，“幼兒在對自然事物的探究和運用數(shù)學解決實際生活問題的過程中，不僅獲得豐富的感性經(jīng)驗，充分發(fā)展形象思維，而且初步嘗試歸類、排序、判斷、推理，逐步發(fā)展邏輯思維能力，為其他領域的深入學習奠定基礎”?？梢?，數(shù)學能力是兒童在學前階段重點發(fā)展的認知能力之一。研究發(fā)現(xiàn)，兒童在學前期間掌握一定的數(shù)字知識，會對其后期的數(shù)學能力發(fā)展起到重要促進作用?！?〕已有研究表明，領域一般性和領域特殊性等因素都被證實與數(shù)學能力存在一定的相關或預測關系。領域一般性因素包括工作記憶、執(zhí)行控制等，領域特殊性因素包括近似數(shù)量系統(tǒng)、計數(shù)技能、計算流暢性和數(shù)學語言的運用等。〔2〕其中，近似數(shù)量系統(tǒng)（Approximate Number System，簡稱ANS）被認為在個體的數(shù)學學習中發(fā)揮著重要作用。近似數(shù)量系統(tǒng)是人的一種直覺性能力，是一個模擬的、近似的系統(tǒng)。〔3〕有研究表明，ANS指導著人們對數(shù)據(jù)的近似處理，如集合的比較、數(shù)字的加減等。常用于測試近似數(shù)量系統(tǒng)的任務范式是非符號比較任務，主要是參與者比較兩組點數(shù)，指出哪一組包含較多的點數(shù)?！?-6〕這些研究的一個共同發(fā)現(xiàn)是：非符號比較任務的準確性和反應時間取決于兩組點數(shù)數(shù)量間的比率，兩組點數(shù)數(shù)量相近時（3∶4）的難度高于數(shù)量差異大時（1∶2）的難度?？梢?，ANS的一個最基本特征就是依賴于比率?！?〕研究者通常采用數(shù)量比較任務來測量個體表征非符號數(shù)字的精確性，即ANS精確性。有研究表明，ANS精確性是兒童后期符號數(shù)學能力的認知基礎。這一觀點的提出引發(fā)了大量關于近似數(shù)量系統(tǒng)和學前兒童數(shù)學能力關系的研究。同時，在此基礎上，也有一些研究者提出通過訓練ANS精確性來提高兒童符號數(shù)學能力的研究假設。本文旨在梳理近似數(shù)量系統(tǒng)精確性與學前兒童數(shù)學能力的關系，以期為進一步了解近似數(shù)量系統(tǒng)和學前兒童數(shù)學能力的發(fā)展特點，進而促進學前兒童數(shù)學能力的提升提供參考。

一、近似數(shù)量系統(tǒng)精確性與學前兒童數(shù)學能力的相互預測關系

一些研究者采用不同的ANS精確性測量任務和多種數(shù)學能力評定指標，探究近似數(shù)量系統(tǒng)精確性與學前兒童數(shù)學能力的關系，發(fā)現(xiàn)近似數(shù)量系統(tǒng)精確性和數(shù)學能力之間存在顯著正相關?！?，9〕有縱向研究發(fā)現(xiàn)，兒童在嬰兒期及童年早期的ANS精確性對其之后的符號數(shù)學能力具有顯著預測作用;在控制了如智力、記憶和言語等一般認知能力后，兒童4歲時的近似數(shù)量系統(tǒng)精確性仍能預測其6個月后的數(shù)學成績，甚至在間隔兩年后的測查中仍然發(fā)現(xiàn)兩者存在顯著聯(lián)系?！?0〕

凱勒（Keller）等人采用非符號數(shù)量比較任務和TEMA-3（早期數(shù)學能力測試工具第三版）先后測試了43名5～6歲和169名3～6歲兒童的近似數(shù)量系統(tǒng)精確性和早期數(shù)學能力。在控制了抑制控制能力后，這兩個年齡段兒童的近似數(shù)量系統(tǒng)精確性和早期數(shù)學能力均存在顯著相關關系?！?1〕哈爾伯達（Halberda）等人研究了5歲兒童近似數(shù)量系統(tǒng)精確性和符號數(shù)學能力的關系，主要采用easy-first和hard-first兩種任務形式測量近似數(shù)量系統(tǒng)的精確性，從而比較兩組被試符號數(shù)學能力的發(fā)展情況。研究結(jié)果表明，改變兒童的近似數(shù)量系統(tǒng)精確性會在一定程度上影響其在符號數(shù)學能力任務上的表現(xiàn)?！?2〕張繼英分別采用Panamath軟件和TEMA-3測查5～6歲兒童的近似數(shù)量系統(tǒng)精確性和數(shù)學能力，發(fā)現(xiàn)非符號數(shù)量比較的準確率和早期數(shù)學能力測試得分呈顯著正相關;在控制了年齡變量后，近似數(shù)量系統(tǒng)精確性和早期數(shù)學能力的相關性更加顯著。同時，非符號數(shù)量比較的準確率可以獨立解釋數(shù)學分數(shù)25%的變異量，即5～6歲兒童的近似數(shù)量系統(tǒng)精確性可以顯著預測其早期數(shù)學能力?！?3〕張琳霓在研究了各年齡段兒童近似數(shù)量系統(tǒng)精確性和數(shù)學能力的關系后，發(fā)現(xiàn)學前兒童的符號與非符號估計能力與數(shù)學能力測試任務均存在顯著相關性;在控制了智力、注意等因素后，非符號估計能力與兒童的數(shù)學任務得分仍然存在顯著相關性?！?4〕

近似數(shù)量系統(tǒng)精確性和數(shù)學能力之間并非只是單向的預測關系。 有研究發(fā)現(xiàn)，近似數(shù)量系統(tǒng)精確性能夠顯著預測數(shù)學能力，反之也成立。不論是成人還是兒童，接受過數(shù)學教育指導的個體的近似數(shù)量表征能力大多更好一些?！?5〕墨索里尼（Mussolin）等人對57名3～4歲兒童每隔七個月進行一次符號數(shù)學能力的評估，比較不同時間點上其近似數(shù)量系統(tǒng)精確性和數(shù)學能力的發(fā)展情況。研究結(jié)果表明，數(shù)學能力中的基數(shù)能力和符號數(shù)字知識都能顯著預測近似數(shù)量任務中點數(shù)比較的準確性?！?6〕艾略特（Elliott）等人在針對3～5歲兒童的縱向研究中，每隔6個月讓兒童參與一次非符號數(shù)量比較任務和標準化的符號數(shù)學能力測試任務，共進行3次，旨在研究隨著時間的變化，近似數(shù)量系統(tǒng)精確性與學前兒童數(shù)學能力之間的關系。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，近似數(shù)量系統(tǒng)精確性與學前兒童數(shù)學能力呈雙向相關，即近似數(shù)量系統(tǒng)精確性能夠預測學前兒童后期的數(shù)學能力，而學前兒童早期數(shù)學能力也能夠顯著預測其后期近似數(shù)量系統(tǒng)精確性?！?7〕可見，符號數(shù)學能力的發(fā)展對學前兒童近似數(shù)量系統(tǒng)的精確性也有一定預測作用。

二、近似數(shù)量系統(tǒng)精確性與學前兒童數(shù)學能力的邊緣相關或不相關關系

盡管以上研究表明近似數(shù)量系統(tǒng)精確性與學前兒童數(shù)學能力存在相互預測關系，但也有一些研究得出了相反的結(jié)論，認為兩者之間并不存在線性關系或僅為邊緣相關?！?8，19〕例如，富斯（Fuhs）等人以低經(jīng)濟收入家庭的學前兒童為研究對象，考察其近似數(shù)量系統(tǒng)精確性與數(shù)學能力的關系，發(fā)現(xiàn)兩者呈邊緣性相關;在控制了抑制控制和工作記憶等因素后，兩者間這種微弱的相關性便消失了?！?0〕在一項關于近似數(shù)量系統(tǒng)與數(shù)學能力關系的元分析研究中，研究者發(fā)現(xiàn)兩者僅存在微弱相關，且這種相關性會受到其他中介變量或調(diào)節(jié)變量的影響?！?1〕

考克曼（Kolkman）等人對4歲兒童進行了長期的追蹤研究，考察非符號估計、符號估計對其后期數(shù)學能力發(fā)展的預測作用，發(fā)現(xiàn)6歲時兒童在數(shù)學能力測查任務上的表現(xiàn)與非符號和符號估計不存在相關性，即近似數(shù)量系統(tǒng)精確性不能顯著預測兒童后期的數(shù)學表現(xiàn)?！?2〕薩桑吉（Sasanguie）等人以5～6歲兒童為研究對象進行了短期的追蹤研究，考察近似數(shù)量系統(tǒng)精確性和符號數(shù)學能力之間的關系，發(fā)現(xiàn)5歲5個月兒童的近似數(shù)量系統(tǒng)精確性對其5歲6個月后的符號數(shù)量比較任務沒有預測作用，同時5歲6個月后兒童的近似數(shù)量系統(tǒng)精確性得分與其符號數(shù)量比較任務得分也不存在相關關系。〔23〕

從已有研究可以發(fā)現(xiàn)，近似數(shù)量系統(tǒng)精確性與學前兒童數(shù)學能力之間是否存在聯(lián)系，目前還沒有統(tǒng)一的結(jié)論。這一方面可能是因為測查兒童近似數(shù)量系統(tǒng)精確性的任務形式不統(tǒng)一，不存在統(tǒng)一的評估標準;另一方面可能是因為學前兒童數(shù)學能力是由許多不同成分組成的，每個研究者在考察學前兒童數(shù)學能力時的側(cè)重點不同，可能會引起近似數(shù)量系統(tǒng)精確性與學前兒童數(shù)學能力之間關系的變化。

三、近似數(shù)量系統(tǒng)訓練及其對學前兒童數(shù)學能力的影響

針對近似數(shù)量系統(tǒng)訓練的研究，主要是為了考察近似數(shù)量系統(tǒng)的發(fā)展特點及其對學前兒童數(shù)學能力的影響。當前關于近似數(shù)量系統(tǒng)訓練的研究主要是將被試隨機分為兩組，一組接受近似數(shù)量系統(tǒng)訓練，另一組不接受?！?4〕近似數(shù)量系統(tǒng)的主要訓練范式有兩種。第一種以游戲的形式進行，如“數(shù)字競賽”訓練。它是一款電腦游戲軟件，最初是為有計算障礙的兒童設計的，能夠考慮到每名兒童的個體差異和能力水平。兒童作為一名獨立的玩家，以游戲中的虛擬對象為對手，通過數(shù)字比較和簡單的算術類程序來進行游戲，旨在通過訓練提高兒童的反應速度，增強兒童對數(shù)字與空間之間聯(lián)系的認識?！?5〕第二種是通過非符號數(shù)量比較任務進行專業(yè)的一對一程序訓練。這類訓練任務通常包括短期和長期兩種形式。

近幾年的研究主要以第二種訓練范式為主。王金晶等人通過考察調(diào)整近似數(shù)量系統(tǒng)訓練的難度順序是否會影響兒童在符號數(shù)學任務上的表現(xiàn)，探討近似數(shù)量系統(tǒng)精確性與學前兒童符號數(shù)學能力之間的關系。該研究選取40名5歲兒童為研究對象，將兒童隨機分成兩組。兩組兒童在近似數(shù)量訓練任務上的不同在于一組任務難度是從難到易，一組則是從易到難。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，訓練任務從易到難組兒童在近似數(shù)量訓練任務上的表現(xiàn)更好，在符號數(shù)學任務上的表現(xiàn)也比另一組好。也就是說，近似數(shù)量系統(tǒng)訓練的難度順序會在一定程度上影響兒童近似數(shù)量系統(tǒng)的精確性和在符號數(shù)學任務上的表現(xiàn)。〔26〕利比圖斯（Libertus）等人對學前兒童進行了5周的非符號數(shù)量比較訓練，發(fā)現(xiàn)與音素意識訓練相比，非符號數(shù)量比較訓練更能提高兒童的標準化數(shù)學評估水平，加深兒童對近似數(shù)量系統(tǒng)表征形式的了解?！?7〕

帕克（Park）等人假設長期的近似數(shù)量系統(tǒng)訓練能提高3～5歲兒童的符號數(shù)學能力。他們在研究過程中要求訓練組兒童在2～3周內(nèi)在電腦上完成10次非符號加減法游戲訓練，對照組兒童在電腦上完成記憶游戲。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，接受非符號加減法游戲訓練的兒童的標準化數(shù)學評估（符號數(shù)學測試）水平明顯高于進行記憶游戲的兒童。這表明近似數(shù)量系統(tǒng)精確性的提升能夠促進兒童數(shù)學能力的提升?！?8〕斯庫德拉雷克（Szkudlarek）等人選取了158名學前兒童為研究對象，將兒童隨機分為三個訓練組（非符號算術訓練、數(shù)字識別訓練、字母識別訓練），接受10次短期培訓。研究結(jié)果表明，在控制無關因素影響的前提下，接受非符號算術訓練的兒童的非正式數(shù)學能力得到了明顯改善，且顯著優(yōu)于其他兩個組的兒童。〔29〕

針對近似數(shù)量系統(tǒng)的訓練能否對學前兒童數(shù)學能力產(chǎn)生影響，研究者的結(jié)論尚不一致。較多的研究雖能驗證預期的假設，但不足以證明近似數(shù)量系統(tǒng)訓練與學前兒童數(shù)學能力之間存在因果關系。出現(xiàn)這一結(jié)果的原因，一方面可能是受訓練任務的影響，目前針對學前兒童的研究采取的訓練任務與成人區(qū)別不大，訓練方式高度結(jié)構(gòu)化;另一方面可能是受兒童語言和思維發(fā)展差異等的影響，若在研究設計中沒有合理控制額外變量，可能會導致研究結(jié)果不一致。

四、研究展望

1.明確學前兒童近似數(shù)量系統(tǒng)精確性測查任務

當前，關于近似數(shù)量系統(tǒng)與學前兒童數(shù)學能力關系的研究尚未達成一致結(jié)論，其主要原因可能是針對近似數(shù)量系統(tǒng)精確性的測查任務還不統(tǒng)一。因此，未來研究需要進一步明確學前兒童近似數(shù)量系統(tǒng)精確性測查任務。研究者可以在借鑒國外研究成果的基礎上，立足我國學前兒童發(fā)展特點，開發(fā)并完善本土化的學前兒童近似數(shù)量系統(tǒng)測查任務。在測查過程中，研究者一方面應當保證測查任務易于操作，兒童較少受到干擾，最大程度地保證測查任務的有效性，從而提高測查任務的信效度;另一方面，因為學前兒童身心發(fā)展尚不完善，所以研究者應當注意測查任務要符合兒童的發(fā)展特點，并對難度進行層級劃分，從而保證測查任務的適用性。

2.深入探討近似數(shù)量系統(tǒng)精確性與學前兒童數(shù)學能力不同方面的關系

當前大多數(shù)研究表明，近似數(shù)量系統(tǒng)精確性與學前兒童數(shù)學能力之間存在相互預測關系。然而，目前的研究多集中在近似數(shù)量系統(tǒng)精確性與學前兒童符號數(shù)學能力的關系上，較少關注近似數(shù)量系統(tǒng)精確性與學前兒童數(shù)學能力其他方面的關系，如近似數(shù)量系統(tǒng)精確性與時間、空間、圖形以及數(shù)感等的關系。因此，未來研究應當進一步擴展研究內(nèi)容，深入探討近似數(shù)量系統(tǒng)精確性與學前兒童數(shù)學能力不同方面的關系。在研究過程中，研究者應當嚴格控制外部因素的干擾，使用較為嚴謹?shù)难芯吭O計，從而深入準確地揭示兩者之間的關系。

3.進一步探討近似數(shù)量系統(tǒng)訓練對學前兒童數(shù)學能力的持續(xù)影響

因為學前兒童近似數(shù)量系統(tǒng)和數(shù)學能力的發(fā)展都是長期的過程，所以未來研究應當進一步探討近似數(shù)量系統(tǒng)訓練對學前兒童數(shù)學能力的持續(xù)影響。有研究者提出，近似數(shù)量系統(tǒng)訓練可能會促使兒童在除訓練以外的環(huán)境中更關注與數(shù)學相關的信息以及參與到數(shù)學活動中，從而促進其數(shù)學能力的發(fā)展。因此，未來研究可以在訓練前、訓練過程中、訓練后分別評估兒童對與數(shù)學有關的信息或活動的興趣，考察訓練能否增加兒童對數(shù)學的興趣。另外，訓練所采取的方式和選擇的內(nèi)容應當符合學前兒童的發(fā)展水平，難度應當逐步提升。研究者可以設計除高結(jié)構(gòu)化的電腦操作訓練任務外的更適合學前兒童的訓練形式，考察其對學前兒童數(shù)學能力的影響。同時，研究者在訓練對象的選取上應當擴大范圍，篩選出數(shù)學學習困難或近似數(shù)量系統(tǒng)精確性較低的兒童進行有效的跟蹤訓練，從而縮小他們與一般兒童數(shù)學能力發(fā)展之間的差距，并根據(jù)訓練結(jié)果來探尋兩者關系的內(nèi)在機制，從而促進學前兒童數(shù)學能力的發(fā)展。

參考文獻：

〔1〕PAGANI L S，F(xiàn)ITZPATRICK C，ARCHAMBAULT I，et al.School readiness and later achievement：A French Canadian? replication and extension〔J〕.Developmental Psychology，2010，（46）：984-994.

〔2〕PASSOLUNGHI M C，LANFRANCHI S.Domain-specific and domain-general precursors of mathematical achievement：A longitudinal study from kindergarten to first grade〔J〕.British Journal of Educational Psychology，2012，82（1）：42-63.

〔3〕BRANNON E M，MERRITT D J.Space，time and number in the brain〔M〕.New York：Academic Press，2011：207-224.

〔4〕HALBERDA J，F(xiàn)EIGENSON L，et al.Individual differences in non-verbal number acuity correlate with maths achievement〔J〕.Nature，2008，455：665-668.

〔5〕〔10〕LIBERTUS M E，F(xiàn)EIGENSON L，HALBERDA J.Numerical approximation abilities correlate with and predict informal but not formal mathematics abilities〔J〕.Journal of Experimental Child Psychology，2013，116（4）：829-838.

〔6〕〔15〕PIAZZA M，PICA P，IZARD V，et al.Education enhances the acuity of the nonverbal approximate number system〔J〕.Psychological Science，2013，（6）：1037-1043.

〔7〕BRANKAER C，GHESQUI?RE P，SMEDT B D.Numerical magnitude processing deficits in children with mathematical difficulties are independent of intelligence〔J〕.Research in Developmental Disabilities， 2014，（11）：2603-2613.

〔8〕〔21〕CHEN Q X，LI J G.Association between individual differences in non-symbolic number acuity and math performance：A meta-analysis〔J〕.Acta Psychologica，2014，148：163-172.

〔9〕牛玉柏.學前兒童近似數(shù)量系統(tǒng)敏銳度和符號數(shù)學能力的關系〔J〕.心理發(fā)展與科學教育，2016，（2）：129-138.

〔11〕KELLER L，LIBERTUS M.Inhibitory control may not explain the link between approximation and math abilities in kindergarteners from middle class families〔J〕.Frontiers in Psychology，2015，（6）：685-695.

〔12〕HALBERDA J，F(xiàn)EIGENSON L.Changing the precision of preschoolers approximate number system representations changes their symbolic math performance〔J〕.Journal of Experimental Child Psychology，2016，147：82-99.

〔13〕張繼英.5～6歲兒童近似數(shù)量系統(tǒng)精確性和數(shù)學能力關系的研究〔D〕.上海：華東師范大學，2017.

〔14〕張琳霓.近似數(shù)量系統(tǒng)與數(shù)學能力和空間能力的關系研究〔D〕.上海：上海師范大學，2019.

〔16〕MUSSOLIN C，CONTENT A，et al.Symbolic

number abilities predict later approximate number system acuity in preschool children〔J〕.The Public Library of Science，2014，（3）：1-12.

〔17〕ELLIOTT L，F(xiàn)EIGENSON L，HALBERDA J，et al.Bidirectional， longitudinal associations between math ability and approximate number system precision in childhood〔J〕.Journal of Cognition and Development，2018，155：1-19.

〔18〕PURPURA D J，LOGAN J A.The nonlinear relations of the approximate number system and mathematical language to early mathematics development〔J〕.Developmental Psychology，2015，（12）：1717-1724.

〔19〕NEGEN J，SARNECKA B W.Is there really a link between exact-number knowledge and approximate number system acuity in young children〔J〕.British Journal of Developmental Psychology，2015，（1）：92-105.

〔20〕FUHS M W，MCNEIL N M.ANS acuity and mathematics ability in preschoolers from low-income homes：Contributions of inhibitory control〔J〕.Developmental Science，2013，（1）：136-148.

〔22〕KOLKMAN M E，KROESBERGEN E H，LESEMAN P P M. Early numerical development and the role of non-symbolic and symbolic skills〔J〕.Learning and Instruction，2013，（25）：95-103.

〔23〕SASANGUIE D，DEFEVER E，MAERTENS B，et al.The approximate number system is not predictive for symbolic number processing in kindergarteners〔J〕.The Quarterly Journal of Experimental Psychology，2014，（2）：271-280.

〔24〕MELISSA E，LIBERTUS M.Understanding the link between the approximate number system and math abilities〔J〕.Mathematical Cognition and Learning，2019，（5）：91-106.

〔25〕USANNAH K，et al.An open trial assessment of “the number race”：An adaptive computer game for remediation of dyscalculia〔J〕.Behavioral and Brain Functions，2006，（20）：1-16.

〔26〕JINJING WANG，ODIC D，HALBERDA J.Changing the precision of preschoolers approximate number system representations changes their symbolic math performance〔J〕.Journal of Experimental Child Psychology，2016，147：82-99.

〔27〕LIBERTUS M E.Cognitive foundations for improving mathematical〔M〕.New York：Academic Press，2019：91-106.

〔28〕PARK J，BRANNON E M.How to interpret cognitive training studies：A reply to Lindskog and Winman〔J〕.Cognition，2016，150：243-251.

〔29〕SZKUDLAREK E，BRANNON E M.Approximate arithmetic training improves informal math performance in low achieving preschoolers〔J〕.Frontiers in Psychology，2018，（9）：606-617.

The Relationship Between Approximate Number System Precision and Preschoolers Mathematical Ability