范粵

摘 要：分析高中數(shù)學學習中應用函數(shù)與方程思想。首先分析出函數(shù)與方程思想的特征，無論是函數(shù)思想還是方程思想，都可以讓繁雜的數(shù)學關(guān)系條件更加清晰化和簡單化，具有一定的條理性。其次分析出函數(shù)思想與方程思想的關(guān)聯(lián)及其有效應用方法，可以進行函數(shù)與方程的相互轉(zhuǎn)化，解決不等式和數(shù)列等問題，從而得出，只有學生具備良好的函數(shù)和方程思想，才能迅速找到解題的技巧和方法，更為準確地解答出實際問題，促進學生的數(shù)學水平和解題能力的提升。

關(guān)鍵詞：數(shù)學學習;函數(shù)思想;方程思想;數(shù)學思想

對于數(shù)學知識來說，其函數(shù)思想博大精深，這對學生的數(shù)學學習是一個巨大的挑戰(zhàn)?？梢哉f，應用函數(shù)與方程思想，能夠更深層次體現(xiàn)數(shù)學學習中的數(shù)學能力與數(shù)學本質(zhì)。也可以說，在對數(shù)學知識規(guī)律進行探究的漫長過程中，蘊藏著數(shù)學知識的生成和發(fā)現(xiàn)，這也是學生學好數(shù)學的關(guān)鍵。因此，只有學生具備良好的函數(shù)和方程思想，才能迅速找到解題的技巧和方法，更為準確地解答出實際問題，促進學生的數(shù)學水平和解題能力的提升。

一、函數(shù)與方程思想的特征

（一）函數(shù)思想

函數(shù)，是描述事物變化規(guī)律的一種動態(tài)模型?？梢哉f，函數(shù)思想就是在變化中尋求動態(tài)的不變，把實際的數(shù)量關(guān)系改變?yōu)楹瘮?shù)關(guān)系，或者直接構(gòu)造一個函數(shù)。同時，再通過所創(chuàng)建的函數(shù)關(guān)系性質(zhì)、函數(shù)圖象來分析抽象復雜的問題，將其化繁為簡，得以順利解決[1]。所以，高中學生在解決函數(shù)問題時，要有函數(shù)思想，按照思維邏輯來構(gòu)建整個解題思路，更為輕松地應對各種函數(shù)問題，掌握好解題的關(guān)鍵，從而達到解決問題的目的。

（二）方程思想

通常情況下，數(shù)學的所有思維活動，都是建立在數(shù)學思想的前提條件下。換句話說，解決數(shù)學問題，不僅需要準確地計算，對數(shù)學公式進行處理，還需要將整體的步驟都創(chuàng)建在數(shù)學思想上[2]。因為，真正的解題方法，并不是寫對解題步驟就行，還要具有一定正確的解題思路，也就是數(shù)學思想?？梢哉f，數(shù)學方法的應用，是在數(shù)學思想中得以體現(xiàn)，因此數(shù)學思維是數(shù)學的關(guān)鍵和核心。

方程思想，是通過分析數(shù)學問題中的變量，掌握其中直接的、間接的關(guān)系。并將隱藏的條件或者表現(xiàn)出的實際關(guān)系，通過方程、方程組的形式，在具體解題過程中呈現(xiàn)出來。從而，讓繁雜的數(shù)學關(guān)系條件，更加清晰化和簡單化，具有一定的條理性，更加順利地解決數(shù)學問題。

二、函數(shù)思想與方程思想的關(guān)聯(lián)

（一）函數(shù)與方程性質(zhì)

函數(shù)思想，是需要建立在函數(shù)的性質(zhì)上的，是對函數(shù)的圖形進行分析，這也是函數(shù)思想的核心內(nèi)容。因此，借助函數(shù)的性質(zhì)，可以根據(jù)實際數(shù)學問題去輕松地找出題目中的所給信息，再將問題進行轉(zhuǎn)化，變成函數(shù)方程題。并且，根據(jù)函數(shù)的圖象性質(zhì)，可以在方程轉(zhuǎn)變函數(shù)問題時，判定解決問題的條件，這樣將求解的方程根結(jié)合函數(shù)問題，在很大程度上提高了解題的效率，有助于快速理清解題的思路[3]。所以，用最簡單的方法解決最為復雜的問題，才是函數(shù)的意義和價值。

方程思想，是建立在函數(shù)的關(guān)系前提下，明確與之相關(guān)的函數(shù)表達式，來展開全面的分析，來正確解答問題。換個形式來說，也就是將函數(shù)問題，轉(zhuǎn)變?yōu)榉匠虇栴}。比如，函數(shù)的值域問題、圓錐曲線問題等，都可以將y=f（x），轉(zhuǎn)化為f（x）-y=0進行解題，從而確保整體解題過程的快速、順利。

（二）函數(shù)與方程聯(lián)系

在高中數(shù)學學習中運用函數(shù)思想，主要就是采取函數(shù)的概念、性質(zhì)和圖象，包括函數(shù)轉(zhuǎn)換、創(chuàng)建函數(shù)和構(gòu)造函數(shù)。其中，將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程或者方程組，去找尋問題中變量之間的等量關(guān)系，來借助方程思想解決問題[4]。所以說，函數(shù)思想與方程思想之間的聯(lián)系十分緊密，可以根據(jù)實際的數(shù)學問題，相互轉(zhuǎn)換來達到正確解決問題的目的，促使解題的效率和準確性得到提升。

三、高中數(shù)學學習中應用函數(shù)與方程思想的方法

數(shù)學函數(shù)思想，是高中數(shù)學學習中比較實用的方法。比如方程題和不等式題等相關(guān)題型都可以將其轉(zhuǎn)換成函數(shù)問題進行解決?？梢哉f，運用函數(shù)思想解題，就是為問題的解答創(chuàng)造條件。首先，因為高中的數(shù)學函數(shù)問題多種多樣，例如比較常見的二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和分段函數(shù)等，所以借助函數(shù)方程思想，就可以按照解函數(shù)的方程、解答參數(shù)方程、探究方程解題、構(gòu)造方程解答，作為實踐應用的步驟。

另外，在解題過程中，通過方程的性質(zhì)去思考解題步驟和思路，也就是方程思想的運用?？梢哉f，方程思想就是將問題中存在的邏輯關(guān)系轉(zhuǎn)換為公式，主旨是方程聯(lián)系函數(shù)，兩者相互結(jié)合解決問題[5]。所以，只要學生能夠發(fā)現(xiàn)兩者之間的聯(lián)系，掌握一定的解題技巧和方法，所有的難題都會迎刃而解，從而，在很大程度上提高了學生的數(shù)學解題能力和效率。

四、高中數(shù)學學習中應用函數(shù)與方程思想有效策略

（一）函數(shù)與方程的相互轉(zhuǎn)化

在高中數(shù)學學習過程中，大部分情況下，函數(shù)與方程可以相互轉(zhuǎn)化。但是，在實際轉(zhuǎn)化過程中，需要注意函數(shù)的定義域，或者是在函數(shù)定義域確定的情況下，運用待定系數(shù)法解決問題時，要考慮到函數(shù)的類型，從而完整且科學地解決問題，得到最為正確的答案[6]。通過函數(shù)與方程的有效轉(zhuǎn)化，能夠充分發(fā)揮出方程的優(yōu)勢，實現(xiàn)函數(shù)與方程的統(tǒng)一，為學生解決復雜的函數(shù)和方程問題提供了更為靈活豐富的方法，活躍學生的數(shù)學思維，促進學生的解題能力和學習效率得到提升。

例題：已知函數(shù)f（x）=ax-x-a（a>0，且a≠1）有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍？

解析：本題是關(guān)于a的方程，已知兩個實數(shù)根，將其代入，就可以得出兩個函數(shù)，并根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，逐一進行函數(shù)的構(gòu)造即可。

解答：∵函數(shù)f（x）=ax-x-a（a>0，且a≠1）有兩個零點，∴方程ax-x-a=0。有兩個不相等的實數(shù)根，即兩個函數(shù)y=ax與y=x+a的圖象，有兩個不同的交點，當01時，兩個函數(shù)的圖象有兩個交點，符合題意，∴實數(shù)a的取值范圍是（1，+∞）。

（二）不等式問題

對于高中數(shù)學學習來說，不等式是其重要的一部分。因此，當學生在不等式學習時，就可以借助函數(shù)與方程思想，將不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象，或者轉(zhuǎn)換為方程，運用函數(shù)與方程的性質(zhì)，來進一步分析和解決不等式問題[7]?？梢哉f，函數(shù)與方程思想，在不等式的問題中應用，不僅能夠幫助學生將所學的數(shù)學知識有效地串聯(lián)，還能強化學生對數(shù)學知識之間的聯(lián)系，促使學生更為深層次地理解不等式，增強學生的不等式解題能力。從而，實現(xiàn)學生的高效學習。

解析：此題若直接求解，相對復雜且容易答錯，所以結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)，去建立函數(shù)的圖象來求解，充分體現(xiàn)出函數(shù)與方程的思想，其結(jié)果也就一目了然。

（三）數(shù)列問題

高中數(shù)學的數(shù)列問題，可以看作是一種定義域特殊的函數(shù)。其中，等差數(shù)列分布在一條直線上，等比數(shù)列分布在指數(shù)函數(shù)圖像上。因此，學生在解答數(shù)列問題時，就可以運用函數(shù)與方程的思想，來強化學生對相關(guān)數(shù)列問題的深層次理解，促使學生進一步抓住數(shù)列的本質(zhì)和規(guī)律，將數(shù)列知識真正內(nèi)化和記憶，從而更好地解決實際的數(shù)列問題[8]。

因為本題給出的條件和數(shù)據(jù)都比較新穎，所以將兩個條件進行等差數(shù)列、等比數(shù)列的構(gòu)造，并能夠解方程組順利求出{an}和{bn}的通項公式。從而，運用函數(shù)與方程的思想進行數(shù)列知識的進一步探究，并有效地解決有關(guān)數(shù)列的實際問題，通常情況下會比直接代數(shù)的方法更簡單且高效。

綜上所述，在高中數(shù)學學習中應用函數(shù)與方程思想，能夠?qū)崿F(xiàn)學生的高效學習，有助于學生掌握靈活多變的解題技巧和方法，逐漸積累豐富的數(shù)學解題經(jīng)驗和思想，可以熟練地借助函數(shù)與方程思想解決和學習數(shù)學知識，確保學生將知識真正地理解與內(nèi)化。所以，只要學生能夠發(fā)現(xiàn)兩者之間的聯(lián)系，掌握一定的解題技巧和方法，所有的難題都會迎刃而解，在很大程度上提高了學生的數(shù)學解題能力和效率。從而，促使學生進一步抓住數(shù)學知識的本質(zhì)和規(guī)律，讓繁雜的數(shù)學關(guān)系條件更加清晰化和簡單化，具有一定的條理性，從而更加順利地解決數(shù)學問題。

參考文獻：

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[4]涂釗榕.高中數(shù)學中函數(shù)與方程思想的研究[D].福州：福建師范大學，2012.

[5]高慧明.數(shù)學思想方法系列講座（2）：函數(shù)與方程的思想[J].湖北教育（教育教學），2019（3）：18-20.

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[7]段婕睿.化歸思想在高中數(shù)學函數(shù)學習中的運用分析[J].中華少年，2018（1）.

[8]羅永華.函數(shù)與方程思想在高中數(shù)學解題中的應用[J].中學生數(shù)理化（學研版），2017（1）.

編輯 杜元元