孫慧

摘 要：九年級(jí)學(xué)生已具備一定的幾何推理能力，雖然此內(nèi)容不在教科書范圍內(nèi)，但在很多習(xí)題、課外輔導(dǎo)中都有涉及，學(xué)生頻頻遇到，為此，文章作了四點(diǎn)共圓的設(shè)計(jì)參考，執(zhí)教后效果良好。

關(guān)鍵詞：四點(diǎn)共圓;教學(xué)設(shè)計(jì);互逆命題

1? ? 四點(diǎn)共圓的教學(xué)設(shè)計(jì)

1.1? 環(huán)節(jié)1：概念明晰

提問：任何4個(gè)點(diǎn)都能共處一個(gè)圓周上嗎？

學(xué)生知道不可能，但不一定清楚具體緣由。教師給出四點(diǎn)共圓概念：如果同一平面內(nèi)的4個(gè)點(diǎn)恰好在同一個(gè)圓上，則稱這4個(gè)點(diǎn)共圓。加了口語(yǔ)“恰好”，給學(xué)生建立意識(shí)：并不是所有點(diǎn)都處在一個(gè)圓上的，并且接下來的內(nèi)容都是建立在“恰好”的基礎(chǔ)上。

1.2? 環(huán)節(jié)2：性質(zhì)探究，加深理解

提問：在人教版九年級(jí)上冊(cè)24章，已經(jīng)學(xué)習(xí)了圓的內(nèi)接四邊形的相關(guān)性質(zhì)。你能夠說出圓的內(nèi)接四邊形哪些特征？學(xué)生比較容易得出答案。

性質(zhì)1：圓的內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)。

提問：四邊形的一個(gè)內(nèi)角，只和它的對(duì)角互補(bǔ)嗎？

引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)外角和內(nèi)角也是互補(bǔ)關(guān)系。

性質(zhì)2：圓的內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對(duì)角。

提問：通過前面的兩個(gè)性質(zhì)發(fā)現(xiàn)了四點(diǎn)共圓中的角相等。結(jié)合圖1，學(xué)生還能觀察到什么？

給學(xué)生思考方向—角相等。利用同弧所對(duì)的圓周角相等，可發(fā)現(xiàn)∠D=∠C。連接CD，會(huì)有更多的相等角出現(xiàn)，鼓勵(lì)學(xué)生用數(shù)學(xué)語(yǔ)言概述發(fā)現(xiàn)。

性質(zhì)3：共圓的四個(gè)點(diǎn)，所連成同側(cè)共底的兩個(gè)三角形的頂角相等。

環(huán)節(jié)2是對(duì)共圓的四點(diǎn)所圍成的四邊形的性質(zhì)的探究。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，3條性質(zhì)都是對(duì)角相等的分析，由此對(duì)共圓的四個(gè)點(diǎn)有更獨(dú)特的認(rèn)識(shí)，有助于學(xué)生區(qū)別圓的內(nèi)接四邊形與普通四邊形。點(diǎn)撥性質(zhì)3的作用：只要證出四點(diǎn)是共圓的，即便圖中無圓，也可得到三角形中角的關(guān)系。此點(diǎn)撥可引發(fā)學(xué)生質(zhì)疑如何證明四點(diǎn)共圓的問題。

1.3? 環(huán)節(jié)3：刨根問底，追溯源頭

提問：“恰好”在一個(gè)圓上的4個(gè)點(diǎn)，才有以上角相等的特征性質(zhì)。那么怎樣的4個(gè)點(diǎn)，才能滿足“恰好”是需要解決的問題。教師通過書本告訴學(xué)生幾點(diǎn)確定一個(gè)圓也是值得研究的問題。

提醒學(xué)生，不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓。還有一個(gè)點(diǎn)，需要滿足什么條件才能在圓上的問題是需要探討的。因此，不妨先作出△ABC。具體如圖2所示。

若點(diǎn)D在圓上，由性質(zhì)1可知∠D和∠B互補(bǔ);若點(diǎn)D不在圓上，就只能在圓外或圓內(nèi)，會(huì)出現(xiàn)的情況是需要考慮的問題。順著思路，假設(shè)點(diǎn)D在圓外。連接CD，交⊙O于點(diǎn)D′，連接AD′，發(fā)現(xiàn)如圖2所示，A、D′、C、B四點(diǎn)共圓，因此，∠AD′C和∠B互補(bǔ)。并且在△ADD′中，∠AD′C>∠D，即∠D+∠B≠180°;同理，若點(diǎn)D在圓內(nèi)，也會(huì)發(fā)現(xiàn)∠D+∠B≠180°，因此得到四點(diǎn)共圓的關(guān)鍵所在：∠D+∠B=180°，即對(duì)角互補(bǔ)。

判定1：對(duì)角互補(bǔ)的四邊形，4個(gè)頂點(diǎn)共圓。

提問：對(duì)比性質(zhì)1和判定1，你發(fā)現(xiàn)了什么？

性質(zhì)1反過來說就是判定1。教師點(diǎn)撥，性質(zhì)1和判定1 是互逆命題。啟發(fā)學(xué)生要用規(guī)范的數(shù)學(xué)語(yǔ)言“互逆命題”，同時(shí)為后續(xù)判定方法的探究指明方向。

提問：那誰(shuí)能說出判定2呢？

判定2是性質(zhì)2的逆命題，學(xué)生容易答出。

判定2：外角等于內(nèi)對(duì)角的四邊形4個(gè)頂點(diǎn)共圓。

提問：圖3中的∠D和∠B位于AC異側(cè)，如果兩角位于AC同側(cè)，那需要滿足什么條件，才能說明點(diǎn)D在圓上呢？

若點(diǎn)D在圓上，由性質(zhì)3可知∠D和∠B相等;若點(diǎn)D不在圓上，就只能在圓外或圓內(nèi)，會(huì)出現(xiàn)什么情況？順著思路，假設(shè)點(diǎn)D在圓外。連接BD，交⊙O于點(diǎn)D′，連接AD′，發(fā)現(xiàn)如圖3所示，A，D′，C，B四點(diǎn)共圓，因此∠AD′B和∠C相等。并且在△ADD′中，∠AD′B>∠D，即∠D≠∠C;同理，若點(diǎn)D在圓內(nèi)，也會(huì)發(fā)現(xiàn)∠D≠∠C，因此得到關(guān)鍵要素：∠D=∠C。這也就是性質(zhì)3的逆命題。

判定3：同側(cè)共底的兩個(gè)三角形的頂角相等，則四點(diǎn)共圓。

1.4? 環(huán)節(jié)4：例題訓(xùn)練，鞏固新知

例1：如圖4所示，在四邊形ABCD中，BC=CD，對(duì)角線AC平分∠BAD，AB>AD。求證：A，B，C，D四點(diǎn)共圓。

思路點(diǎn)撥：利用角平分線的性質(zhì)，通過三角形全等證明∠ADB+∠B=180°，得到四點(diǎn)共圓。判定1，2皆可。

設(shè)計(jì)意圖：反思舊知，活用新知。

例2：如圖5所示，AB是⊙O的直徑，CD⊥AB于點(diǎn)K，點(diǎn)E是圓上一點(diǎn)，連接AE交DC于點(diǎn)F。證：E，F(xiàn)，B，K四點(diǎn)共圓。

思路點(diǎn)撥：圖中有很多直角，∠FEB=∠AEB=∠FKB=90°，連接BE，BE同側(cè)的角相等，調(diào)用判定3，四點(diǎn)共圓。

設(shè)計(jì)意圖：圖中的垂直就是角相等的暗示。

例3：如圖6所示，在△ABC中，AD⊥BC，DE⊥AB，DF⊥AC。求證：B，E，F(xiàn)，C四點(diǎn)共圓。

思路點(diǎn)撥：由DE⊥AB，DF⊥AC，不難發(fā)現(xiàn)A，E，F(xiàn)，C四點(diǎn)共圓，因此∠ADE=∠AFE;由AD⊥BC，得到∠B=∠ADE，所以∠B=∠AFE，∠B+∠EFC=180°。

設(shè)計(jì)意圖：四點(diǎn)共圓的性質(zhì)和判定的綜合練習(xí)。

2? ? 教學(xué)立意反思

緊抓學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，是設(shè)計(jì)本課的宗旨。學(xué)生課下的自主學(xué)習(xí)已多次涉及四點(diǎn)共圓，本課的教學(xué)勢(shì)在必行。本課從圓的內(nèi)接四邊形出發(fā)，聯(lián)系舊知，得到四點(diǎn)共圓在角相等方面的性質(zhì);并通過互逆命題的猜想，得到四點(diǎn)共圓的判定方法，極大地?cái)U(kuò)充了學(xué)生對(duì)圓的內(nèi)接四邊形的認(rèn)知范疇。

[參考文獻(xiàn)]

[1]王友峰.專業(yè)自主增設(shè)內(nèi)容，回看陳詞漏洞結(jié)構(gòu)[J].教學(xué)導(dǎo)航，2016（12）：10-11.