曹炳友

(山東省泰安第二中學(xué)，山東 泰安 271000)

思維建模是借助于一些特定的工具和方法，將內(nèi)在思維過程建立模型，進(jìn)行可視化表征的認(rèn)知方法①D·H·喬納森，祝智庭．技術(shù)支持的思維建模［M］．上海:華東師范大學(xué)出版社，2008．。它是將未知轉(zhuǎn)化為已知，用已知解決未知，通過將研究對象概念、方法、理論進(jìn)行具象、匯整，繼而轉(zhuǎn)化為普遍的認(rèn)知規(guī)律，生成一個已有的關(guān)系、共性或結(jié)構(gòu)，用以解決現(xiàn)實(shí)問題的思維方法。近幾年，思維建模已在生物、化學(xué)、地理、語文等學(xué)科得到廣泛的應(yīng)用實(shí)踐，已成為創(chuàng)設(shè)建構(gòu)主義課堂的一種重要工具和認(rèn)知方法，諸如:趙蘋②趙 蘋．生物教學(xué)中實(shí)施思維建模的策略［J］．新課程學(xué)習(xí)(綜合)，2010(7):125－125．探索了高中生物教學(xué)中實(shí)施思維建模的策略;韓殿君③韓殿君．思維建模在中學(xué)化學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用［D］．天水:天水師范學(xué)院，2017．系統(tǒng)研究了思維建模在中學(xué)化學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用，并提出了應(yīng)用策略;夏清瀅④夏清瀅．高中生地理思維建模能力的評價研究［D］．南京:南京師范大學(xué)，2015．探索了高中生地理思維建模能力評價的研究，提出了培養(yǎng)高中生地理思維建模能力的建議;司禮霞⑤司禮霞．基于思維建模的初中地理綜合思維能力培養(yǎng)路徑［J］．啟迪與智慧，2020(7):5．研究了基于思維建模的初中地理綜合思維能力培養(yǎng)的路徑;方東流⑥方東流．群文讀寫思維建模［J］．教育科學(xué)論壇，2020(9):45－51．立足閱讀教學(xué)以及寫作原理，借助兩則教學(xué)案例，探究了讀寫思維建模。

數(shù)學(xué)是其他諸多學(xué)科的基礎(chǔ)，解決實(shí)際問題離不開提取數(shù)學(xué)思維模型的精華。數(shù)學(xué)思維建模，就是借助于一些特定的工具(例如:思維導(dǎo)圖、概念圖示、比較表格等)和方法，將自己對數(shù)學(xué)知識和解決數(shù)學(xué)問題的思維過程建立模型，并進(jìn)行可視化表征的認(rèn)知方法。數(shù)學(xué)思維建模有利于學(xué)習(xí)者自主建構(gòu)數(shù)學(xué)知識并形成系統(tǒng)的知識體系，有利于學(xué)習(xí)者發(fā)展抽象、類比、歸納等高階思維能力，有利于學(xué)習(xí)者全面提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

一、“思維建?！苯虒W(xué)是建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論的一個實(shí)踐案例

(一)由建構(gòu)主義的知識觀看

建構(gòu)主義知識觀認(rèn)為，知識并不是對現(xiàn)實(shí)的準(zhǔn)確表征，也不是最終答案，而只是一種解釋、一種假設(shè);知識并不能精確地概括世界的法則，在具體問題中，并不能拿來就用，而是要針對具體情景進(jìn)行再創(chuàng)造;盡管我們通過語言符號賦予知識一定的外在形式，甚至這些命題還得到了普遍的認(rèn)可，但并不意味著每個學(xué)生對這些命題都會有同樣的理解，因?yàn)槔斫庵荒苡蓪W(xué)生基于自己的經(jīng)驗(yàn)背景建構(gòu)起來，取決于特定情境下的學(xué)習(xí)歷程。具體到教育領(lǐng)域，應(yīng)明確:知識并非絕對的真理，教師不能用知識的權(quán)威來壓制學(xué)生的創(chuàng)造性，要培養(yǎng)學(xué)生的批判性精神?！八季S建?！苯虒W(xué)主張學(xué)生在建構(gòu)知識、方法和經(jīng)驗(yàn)時，要敢于評價和質(zhì)疑，要用批判性思維去分析前人所建立的知識和經(jīng)驗(yàn)，在批判的過程中，逐步把握知識的本質(zhì)，使認(rèn)識向真理更靠近一步。同時，在建構(gòu)自己的方法和經(jīng)驗(yàn)時，也要對自己的思維成果不斷地反思和評價，要多驗(yàn)證即將形成的結(jié)論，多聽別人的意見和看法，使這些結(jié)論經(jīng)得起時間的檢驗(yàn)。

(二)由建構(gòu)主義的學(xué)生觀看

建構(gòu)主義學(xué)生觀強(qiáng)調(diào)，學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)世界是豐富的，學(xué)生的潛能是巨大的;同時強(qiáng)調(diào)學(xué)生經(jīng)驗(yàn)世界的差異性，每個學(xué)生著眼問題的角度不同。學(xué)生不是空著腦袋走進(jìn)教室的，教師要了解學(xué)生已有的知識和經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生理解新材料或修正以往的概念?！八季S建模教學(xué)”主張，在建模過程中，學(xué)習(xí)者要根據(jù)先前的知識和經(jīng)驗(yàn)，使用所給予的物件和工具探究當(dāng)前的情境，建構(gòu)起對當(dāng)前情境的理解，并將自己的理解表達(dá)出來。在這個過程中，還要完成“概念轉(zhuǎn)變”的任務(wù)，因?yàn)橛械膶W(xué)習(xí)者大腦所存有的許多先前概念中，有正確的也有錯誤的，有完整的也有片面的，“概念轉(zhuǎn)變”就是試圖理解和解釋這些先前的“迷思概念”是如何轉(zhuǎn)化為科學(xué)概念的。建立思維模型，可以有效促進(jìn)學(xué)生對知識的理解和轉(zhuǎn)變概念。

(三)由建構(gòu)主義教學(xué)觀看

建構(gòu)主義教學(xué)觀認(rèn)為，學(xué)習(xí)不是由教師向?qū)W生傳遞知識，而是學(xué)生建構(gòu)自己知識的過程。學(xué)習(xí)者不是被動的信息吸收者，相反，他們要主動地建構(gòu)意義，不能由他人代替;學(xué)習(xí)是通過對某種社會文化的參與而內(nèi)化相關(guān)知識和技能、掌握有關(guān)工具的過程，這一過程需要學(xué)習(xí)共同體的合作互動來完成;知識存在于具體、情境性的、可感知的活動之中，不是一套獨(dú)立于情景的知識符號，只有通過實(shí)際應(yīng)用活動才能真正被人理解。學(xué)習(xí)的主動建構(gòu)性、社會互動性和情境告訴我們:教師要促進(jìn)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí)和探究學(xué)習(xí)。將思維建模教學(xué)過程設(shè)計(jì)為“學(xué)習(xí)新知”“嘗試建模”“修正表征”“鞏固應(yīng)用”四個環(huán)節(jié)，“學(xué)習(xí)新知”環(huán)節(jié)結(jié)束后，教師引導(dǎo)學(xué)生立足于知識的情境，自主建構(gòu)其中的“思維模型”，進(jìn)行“回顧知識、梳理思維、提煉歸納”，用精煉的語言以及適合的建模工具建立思維模型。然后，學(xué)生應(yīng)用已有的思維模型嘗試解決教師提出的問題，對模型進(jìn)行評價、反思和調(diào)整，保留模型中合理的成分，在師生互動下修改模型中不合理的因素，運(yùn)用適當(dāng)?shù)慕９ぞ弑碚髂Ｐ?，最后通過刻意訓(xùn)練鞏固模型。這樣，建構(gòu)主義理論便給“思維建?！苯虒W(xué)賦予了科學(xué)性和實(shí)踐意義。

二、“思維建?！苯虒W(xué)有利于落實(shí)教學(xué)核心素養(yǎng)目標(biāo)

教育部《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(2017年版)①中華人民共和國教育部．普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)［M］．北京:人民教育出版社，2018．(以下簡稱“標(biāo)準(zhǔn)”)提出了普通高中數(shù)學(xué)六個核心素養(yǎng):數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析，其中四個核心素養(yǎng)涉及到對模型構(gòu)建的要求，即數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)、數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)、直觀想象素養(yǎng)、數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)。針對數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，《標(biāo)準(zhǔn)》中談到:“數(shù)學(xué)抽象主要表現(xiàn)為，獲得數(shù)學(xué)概念和規(guī)則，提出數(shù)學(xué)命題和模型，形成數(shù)學(xué)方法與思想，認(rèn)識數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與體系”。提出模型是數(shù)學(xué)抽象的思維成果之一，例如，通過對細(xì)胞分裂次數(shù)和分裂后細(xì)胞個數(shù)的關(guān)系規(guī)律等問題的抽象，獲得了“指數(shù)函數(shù)”概念模型;通過對某些“有序”計(jì)數(shù)問題的抽象，獲得了“排列”概念;通過對自然界和人們生活中某些變量分布規(guī)律的抽象，獲得了“正態(tài)分布”模型，等等。數(shù)學(xué)中的許多概念模型、方法模型、經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ?，都離不開數(shù)學(xué)抽象。

針對數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，《標(biāo)準(zhǔn)》中談到:“數(shù)學(xué)建模是對現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng)”。解決實(shí)際問題是數(shù)學(xué)教學(xué)的一項(xiàng)重要任務(wù)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)教育的應(yīng)用價值，對學(xué)生的終生發(fā)展意義重大。不同的問題，蘊(yùn)含著不同的數(shù)學(xué)模型，教育和引導(dǎo)學(xué)生了解常用的數(shù)學(xué)模型，熟悉數(shù)學(xué)建模的基本流程，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生提出問題、分析問題、解決(建立模型)問題的能力，提高學(xué)生實(shí)踐應(yīng)用素養(yǎng)。

針對直觀想象素養(yǎng)，《標(biāo)準(zhǔn)》中談到:“借助空間形式認(rèn)識事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運(yùn)動規(guī)律，利用圖形描述、分析數(shù)學(xué)問題，建立形與數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型，探索解決問題的思路。”數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系與空間形式的一門科學(xué)，有些空間形式問題直接與空間幾何體模型相關(guān)聯(lián)，研究某些“數(shù)”的問題，可以利用其幾何意義轉(zhuǎn)化為“形”，通過“形”的直觀模型解決問題，從而大大弱化其抽象性。

針對數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)，《標(biāo)準(zhǔn)》中談到:“數(shù)據(jù)分析過程主要包括，收集數(shù)據(jù)，整理數(shù)據(jù)，提取信息，構(gòu)建模型，進(jìn)行推理，獲得結(jié)論?！贝髷?shù)據(jù)時代，人們的生活和工作離不開數(shù)據(jù)和數(shù)據(jù)分析，數(shù)據(jù)模型在預(yù)測和控制方面發(fā)揮著越來越大的作用，因此，指導(dǎo)學(xué)生掌握從收集數(shù)據(jù)到構(gòu)建模型，進(jìn)而用模型進(jìn)行推理和獲得結(jié)論的數(shù)據(jù)分析流程，具有很強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)意義。

總之，模型素養(yǎng)是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要內(nèi)容，史寧中教授把數(shù)學(xué)基本思想歸結(jié)為三個核心要素:抽象、推理、模型。他同時指出:“通過模型，人們用數(shù)學(xué)所創(chuàng)造的語言、符號和方法，描述現(xiàn)實(shí)世界的故事，構(gòu)建了數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的橋梁”。因此，增強(qiáng)模型意識，提升建模能力，通過建構(gòu)思維模型內(nèi)化數(shù)學(xué)知識、解決數(shù)學(xué)問題，是指向國家課程標(biāo)準(zhǔn)要求、精準(zhǔn)落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)、全面提升學(xué)生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的根本性措施。

三、“思維建?！庇欣趯W(xué)生深刻理解學(xué)科知識

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)應(yīng)把對知識的理解放在首位，在這個過程中，不同人有不同的學(xué)習(xí)方法。由于數(shù)學(xué)知識的抽象性較強(qiáng)，有人往往花了大量時間和精力也沒能很好地理解有關(guān)知識，其中可能存在思維方法的問題?！八季S建模”的任務(wù)之一是站在思維層面上研究如何解決知識層面上的問題?！氨尘耙搿淅馕觥爬▽傩浴o出定義——概念辨析——概念應(yīng)用——建立聯(lián)系”，這一模型可以有效提升學(xué)生對知識的理解和掌握。

運(yùn)用“背景引入——典例解析——概括屬性——給出定義——概念辨析——概念應(yīng)用——建立聯(lián)系”這一思維模型教學(xué)數(shù)學(xué)概念，能使概念的產(chǎn)生基于一定的知識情景或生活情景，順應(yīng)從具體到抽象的認(rèn)識事物的過程建立概念，同時在概念的辨析和聯(lián)系中把握概念的本質(zhì)特征，并在應(yīng)用中進(jìn)一步鞏固概念，有效地提升了對科學(xué)概念的認(rèn)知水平。

四、“思維建?！庇欣诎l(fā)展學(xué)生的思維能力

“思維建模”過程包括“分析”“建?！薄坝媚！比齻€階段?！皵?shù)學(xué)是思維的體操”，數(shù)學(xué)思維建模恰好迎合了數(shù)學(xué)學(xué)科本身對學(xué)習(xí)者思維靈活性的客觀要求，是學(xué)習(xí)者提高思維水平和創(chuàng)造能力的有效途徑。

分析。分析的過程主要是對一類特定的研究對象(原型)的主要信息進(jìn)行抽象、概括的過程。在構(gòu)建“數(shù)學(xué)概念的抽象過程”思維模型時，可列舉出多個數(shù)學(xué)概念作為分析的對象。分析的目的在于把握這些研究對象的本質(zhì)特征，這個過程有效地鍛煉了學(xué)生的分析、比較以及抽象等思維能力。

建模。建模的過程主要是運(yùn)用抽象思維，對研究對象的主要信息和本質(zhì)特征做出必要的簡化、假設(shè)和一般化處理，并用適當(dāng)?shù)奈淖帧⒐?、符號等方式去再現(xiàn)研究對象功能、結(jié)構(gòu)和關(guān)系。在對上述不同數(shù)學(xué)概念的形成過程進(jìn)行分析之后，接下來要橫向分析這些概念的形成過程，抽象、歸納出它們在形成過程的“相似”環(huán)節(jié)，把這些“相似”環(huán)節(jié)固化下來，用準(zhǔn)確、形象、簡潔的名詞加以表征，形成所需要的模型。例如每一個數(shù)學(xué)概念的提出都離不開一定的背景，如生活背景、學(xué)科背景、知識背景等，由此可抽象出“背景引入”;之后，我們會拿一些與概念相關(guān)的例子去分析其屬性，進(jìn)而概括出它們的共同屬性，于是又抽象出“典例解析”“概括屬性”環(huán)節(jié)等等。這樣，建立數(shù)學(xué)概念的過程可抽象成如下的思維模型:“背景引入——典例解析——概括屬性——給出定義——概念辨析——概念應(yīng)用——建立聯(lián)系”，這個過程很好地鍛煉了學(xué)生的比較、抽象、概括能力。

用模。用模主要是通過邏輯思維方式，運(yùn)用已建構(gòu)的思維模型去解釋研究對象(原型)和解決實(shí)際問題。在上面的問題中，有了抽象數(shù)學(xué)概念過程的思維模型，就可以應(yīng)用模型來建立數(shù)學(xué)概念了。

由此可見，分析、建模、用模三個階段，與多種思維方式相伴，從記憶、理解、運(yùn)用等低階思維方式，到分析、抽象、歸納、綜合、評價、創(chuàng)造等高階思維方式，在每個環(huán)節(jié)都能體現(xiàn)出對學(xué)生思維能力的鍛煉。

五、“思維建?！庇欣谔岣邔W(xué)生的學(xué)習(xí)效率

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)課程，首先要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識，沒有數(shù)學(xué)知識，就沒有數(shù)學(xué)能力，進(jìn)而就不會有數(shù)學(xué)素養(yǎng)。數(shù)學(xué)知識包括概念、性質(zhì)、法則、公式、定理等，數(shù)學(xué)方法也可以看作知識范疇。提高學(xué)生學(xué)習(xí)知識的效率，首先取決于把“知識”擺在什么位置。因此，從模型的角度看，需要重構(gòu)概念教學(xué)，通過重構(gòu)，發(fā)掘概念的實(shí)用價值。所有好的學(xué)習(xí)方法背后的底層邏輯是“結(jié)構(gòu)化思維”，模型能夠提高學(xué)習(xí)效率是因?yàn)槟Ｐ褪紫仁且环N結(jié)構(gòu)化思維，當(dāng)我們對某一類知識或某一類方法建構(gòu)了思維模型后，只要觸及到這個模型的一個因素，那么模型的其他因素就在瞬間被激發(fā)出來。例如，如果已建構(gòu)了一個關(guān)于平面向量數(shù)量積計(jì)算方法(定義法、投影法、基底法、坐標(biāo)法)的思維模型后，當(dāng)回憶起這個模型中的一種方法時，其它所有的方法就會很快涌現(xiàn)出來，即使首先想到的方法對解決某個問題不奏效，我們總能在其它方法中找到適合的方法，這在一定程度上提高了解決問題的效率。因此，應(yīng)充分應(yīng)用模型解決問題，一方面發(fā)揮模型的高效作用，體會模型在解決問題時的便捷性;另一方面，通過應(yīng)用模型察覺模型的不足，及時調(diào)整、優(yōu)化和豐富模型。伴隨著模型的進(jìn)一步應(yīng)用，就能逐漸將模型“固化”下來，最終達(dá)到“自動化”的程度，從而發(fā)揮出模型的最大價值。

綜上所述，將思維模型嵌入課程教學(xué)過程，能讓學(xué)生對知識的理解更深刻，對方法的把握更靈活，對問題的解決更高效。思維建模為提高學(xué)生的抽象概括能力、聚合思維能力、批判性思維能力、創(chuàng)造性思維能力，提供了很好的支持。思維建模能在短時間內(nèi)整合自身或他人的經(jīng)驗(yàn)，使之形成思維模型，并通過應(yīng)用此模型發(fā)揮經(jīng)驗(yàn)。因此，建構(gòu)并應(yīng)用思維模型解決問題，是培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣、優(yōu)化學(xué)生思維方法、提高學(xué)生核心素養(yǎng)的有效措施。