陳芙蓉
【摘要】動(dòng)點(diǎn)問題是歷年來廣東省中考數(shù)學(xué)中必考問題,綜合性強(qiáng),難度較大,常常與三角形、四邊形、圓、二次函數(shù)等結(jié)合在一起,能很好地考察學(xué)生的解題能力和思維能力等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).本文基于教學(xué)實(shí)踐,通過近兩年廣東省數(shù)學(xué)中考第17題的動(dòng)點(diǎn)“隱”圓問題進(jìn)行分析,闡述部分動(dòng)點(diǎn)問題中動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)存在著一定的運(yùn)動(dòng)規(guī)律,只要抓住動(dòng)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)中始終保持不變的量,問題將迎刃而解。
【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué);動(dòng)點(diǎn)問題;規(guī)律;隱圓
在初中數(shù)學(xué)的考試中,幾何中的動(dòng)點(diǎn)問題一直是重點(diǎn)考察內(nèi)容,考察方式也是在不斷變化,很多同學(xué)對動(dòng)點(diǎn)問題都會(huì)“望而生畏”,往往無從下手,每年中考中動(dòng)點(diǎn)題的得分率也是相當(dāng)?shù)?其實(shí)對于一些動(dòng)點(diǎn)問題,動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)遵循一定的規(guī)律,弄清動(dòng)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中始終不變的關(guān)系,就能把握住動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律,從而解決問題.下面結(jié)合近兩年廣東省中考數(shù)學(xué)第17題說明動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)是有一定的規(guī)律,其運(yùn)動(dòng)軌跡是一個(gè)“隱”圓.
一、動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離為定值
例1(2020·廣東中考)有一架豎直靠在直角墻面的梯子正在下滑,一只貓緊緊盯住位于梯子正中間的老鼠,等待與老鼠距離最小時(shí)撲捉.把墻面、梯子、貓和老鼠都理想化為同一平面內(nèi)的線或點(diǎn),模型如圖1,∠ABC=90°,點(diǎn)M,N分別在射線BA,BC上,MN長度始終保持不變,MN=4,E為MN的中點(diǎn),點(diǎn)D到BA,BC的距離分別為4和2.在此滑動(dòng)過程中,貓與老鼠的距離DE的最小值為? ? ? ? ? ? ? ? ?.
知識(shí)儲(chǔ)備:圓外一點(diǎn)到圓上點(diǎn)的距離最值
如圖3,點(diǎn)C是圓外任意一點(diǎn),直線CO交圓O于A、B兩點(diǎn),圓O的半徑為r,則點(diǎn)C到圓O上點(diǎn)的最長距離是CB=CO+r,最短距離為CA=CO-r.
評析:問題中點(diǎn)E隨著線段MN的運(yùn)動(dòng),位置不斷發(fā)生變化,抓住關(guān)鍵點(diǎn)直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半,根據(jù)圓的集合定義“到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合是圓”,可知點(diǎn)E始終在以點(diǎn)B為圓心,2為半徑的圓上作規(guī)律運(yùn)動(dòng),構(gòu)造一個(gè)“隱”圓,從而將動(dòng)點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為圓外一點(diǎn)到圓上點(diǎn)的距離最值問題求解.
變式1:(2019·錦州)如圖4,在矩形ABCD中,AB=3,BC=2,M是AD邊的中點(diǎn),N是AB邊上的動(dòng)點(diǎn),將△AMN沿MN所在直線折疊,得到△A'MN,連接A'C,則A'C的最小值是 ? ? ? ?.
解析:如圖5,由折疊的性質(zhì)可得A'M=AM=1,即點(diǎn)A'在以點(diǎn)M為圓心,AM為半徑的圓上.連接MC交圓M于點(diǎn)A',由圓外一點(diǎn)到圓上點(diǎn)的距離最小值,可得A'C的最小值為A'C=MC-MA',由勾股定理可以求得MC=? MD2+CD2 = 10,即A'C的最小值為A'C= 10 -1.
評析:由折疊的性質(zhì)可得A'M=AM,不管點(diǎn)N移動(dòng)到哪個(gè)位置,點(diǎn)A'到點(diǎn)M的距離都等于AM,點(diǎn)A'在做有規(guī)律的運(yùn)動(dòng),根據(jù)圓的集合定義,點(diǎn)A'的運(yùn)動(dòng)軌跡是以點(diǎn)M為圓心,AM為半徑的圓的一段劣弧.根據(jù)圓外一點(diǎn)到圓上點(diǎn)的距離最小值確定出A'C取得最小值時(shí)的A'位置,再通過勾股定理進(jìn)行相關(guān)計(jì)算即可解決問題.
二、動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)連線組成的角為定值
例2(2021·廣東中考)在△ABC中,∠ABX=90°,AB=2,BC=3,點(diǎn)D為平面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),∠ADB=45°,則線段CD長度的最小值為? ? ? ? ? .
評析:解決本題的關(guān)鍵是抓住動(dòng)點(diǎn)D在運(yùn)動(dòng)中始終保持著與A、B兩定點(diǎn)的連線夾角45°不變,根據(jù)圓的性質(zhì)“同弧所對的圓周角相等”,動(dòng)點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)遵循一定的規(guī)律,即在過A、B的圓上運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)軌跡為一段優(yōu)弧.再通過勾股定理、圓周角定理等基礎(chǔ)知識(shí)即可解決問題。
變式2:
(2019.沂源縣二模)如圖7,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠ACB=30°,BC=2,△ADC與△ABC關(guān)于AC對稱,點(diǎn)E、F分別是邊DC、BC上的任意一點(diǎn),且DE=CF,BE、DF相交于點(diǎn)P,則CP的最小值為(? )
解析:
如圖8,連接BD,因?yàn)椤鰽DC與△ABC關(guān)于AC對稱,所以BC=DC,∠ACD=∠ACB=30°,則∠BCD=60°,求得△BDC是等邊三角形,由題意易證△BDE≌△DCF,從而得到∠PBD=∠FDC,∠BPF=∠PDB+∠PBD=∠PDB+∠PDE=60°,所以∠BPD=120°,由于動(dòng)點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)中保持∠BPD=120°,所以動(dòng)點(diǎn)P的路徑是一段以A為圓心,以AD為半徑的弧,如圖9,連接AC交弧于點(diǎn)P,此時(shí)CP的長度最小,CP最小值為CP=AC﹣AP=4-2=2.
評析:本題所包含的知識(shí)綜合性很強(qiáng),由于E、F分別是DC、BC上的任意一點(diǎn),則點(diǎn)P的位置隨著點(diǎn)E、F的運(yùn)動(dòng)而隨之運(yùn)動(dòng),但通過分析可得點(diǎn)P與兩定點(diǎn)B、D連線所形成的夾角∠BPD=120°始終不變,由此可知點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是以A為圓心,過B、D兩點(diǎn)圓的一段劣弧,連接AC與圓的交點(diǎn)P,此時(shí)可求得CP的最小值。
上面通過實(shí)例說明當(dāng)動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)連線組成的角為定值45°和120°時(shí),動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)是有一定的規(guī)律,其軌跡是一個(gè)“隱”圓。在練習(xí)中也會(huì)遇到動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)連線組成的夾角是60°、90°、120°,或者任意角的定值時(shí),動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)都是有規(guī)律的,其軌跡是一個(gè)“隱”圓。
三、結(jié)束語
初中幾何中有關(guān)動(dòng)點(diǎn)問題類型有很多,有時(shí)候需要將動(dòng)態(tài)問題轉(zhuǎn)化為靜態(tài)問題來處理,有時(shí)候需要探究動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律,把握住其運(yùn)動(dòng)規(guī)律,確定出其運(yùn)動(dòng)軌跡,再利用相關(guān)的幾何知識(shí)即可解決問題。
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