陳芙蓉

【摘要】動(dòng)點(diǎn)問題是歷年來廣東省中考數(shù)學(xué)中必考問題，綜合性強(qiáng)，難度較大，常常與三角形、四邊形、圓、二次函數(shù)等結(jié)合在一起，能很好地考察學(xué)生的解題能力和思維能力等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).本文基于教學(xué)實(shí)踐，通過近兩年廣東省數(shù)學(xué)中考第17題的動(dòng)點(diǎn)“隱”圓問題進(jìn)行分析，闡述部分動(dòng)點(diǎn)問題中動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)存在著一定的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，只要抓住動(dòng)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)中始終保持不變的量，問題將迎刃而解。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué);動(dòng)點(diǎn)問題;規(guī)律;隱圓

在初中數(shù)學(xué)的考試中，幾何中的動(dòng)點(diǎn)問題一直是重點(diǎn)考察內(nèi)容，考察方式也是在不斷變化，很多同學(xué)對動(dòng)點(diǎn)問題都會(huì)“望而生畏”，往往無從下手，每年中考中動(dòng)點(diǎn)題的得分率也是相當(dāng)?shù)?其實(shí)對于一些動(dòng)點(diǎn)問題，動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)遵循一定的規(guī)律，弄清動(dòng)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中始終不變的關(guān)系，就能把握住動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，從而解決問題.下面結(jié)合近兩年廣東省中考數(shù)學(xué)第17題說明動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)是有一定的規(guī)律，其運(yùn)動(dòng)軌跡是一個(gè)“隱”圓.

一、動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離為定值

例1（2020·廣東中考）有一架豎直靠在直角墻面的梯子正在下滑，一只貓緊緊盯住位于梯子正中間的老鼠，等待與老鼠距離最小時(shí)撲捉.把墻面、梯子、貓和老鼠都理想化為同一平面內(nèi)的線或點(diǎn)，模型如圖1，∠ABC=90°，點(diǎn)M，N分別在射線BA，BC上，MN長度始終保持不變，MN=4，E為MN的中點(diǎn)，點(diǎn)D到BA，BC的距離分別為4和2.在此滑動(dòng)過程中，貓與老鼠的距離DE的最小值為? ? ? ? ? ? ? ? ?.

知識(shí)儲(chǔ)備：圓外一點(diǎn)到圓上點(diǎn)的距離最值

如圖3，點(diǎn)C是圓外任意一點(diǎn)，直線CO交圓O于A、B兩點(diǎn)，圓O的半徑為r，則點(diǎn)C到圓O上點(diǎn)的最長距離是CB=CO+r，最短距離為CA=CO-r.

評析：問題中點(diǎn)E隨著線段MN的運(yùn)動(dòng)，位置不斷發(fā)生變化，抓住關(guān)鍵點(diǎn)直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半，根據(jù)圓的集合定義“到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合是圓”，可知點(diǎn)E始終在以點(diǎn)B為圓心，2為半徑的圓上作規(guī)律運(yùn)動(dòng)，構(gòu)造一個(gè)“隱”圓，從而將動(dòng)點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為圓外一點(diǎn)到圓上點(diǎn)的距離最值問題求解.

變式1：（2019·錦州）如圖4，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，M是AD邊的中點(diǎn)，N是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，將△AMN沿MN所在直線折疊，得到△A'MN，連接A'C，則A'C的最小值是 ? ? ? ?.

解析：如圖5，由折疊的性質(zhì)可得A'M=AM=1，即點(diǎn)A'在以點(diǎn)M為圓心，AM為半徑的圓上.連接MC交圓M于點(diǎn)A'，由圓外一點(diǎn)到圓上點(diǎn)的距離最小值，可得A'C的最小值為A'C=MC-MA'，由勾股定理可以求得MC=? MD2+CD2 = 10，即A'C的最小值為A'C= 10 -1.

評析：由折疊的性質(zhì)可得A'M=AM，不管點(diǎn)N移動(dòng)到哪個(gè)位置，點(diǎn)A'到點(diǎn)M的距離都等于AM，點(diǎn)A'在做有規(guī)律的運(yùn)動(dòng)，根據(jù)圓的集合定義，點(diǎn)A'的運(yùn)動(dòng)軌跡是以點(diǎn)M為圓心，AM為半徑的圓的一段劣弧.根據(jù)圓外一點(diǎn)到圓上點(diǎn)的距離最小值確定出A'C取得最小值時(shí)的A'位置，再通過勾股定理進(jìn)行相關(guān)計(jì)算即可解決問題.

二、動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)連線組成的角為定值

例2（2021·廣東中考）在△ABC中，∠ABX=90°，AB=2，BC=3，點(diǎn)D為平面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∠ADB=45°，則線段CD長度的最小值為? ? ? ? ? .

評析：解決本題的關(guān)鍵是抓住動(dòng)點(diǎn)D在運(yùn)動(dòng)中始終保持著與A、B兩定點(diǎn)的連線夾角45°不變，根據(jù)圓的性質(zhì)“同弧所對的圓周角相等”，動(dòng)點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)遵循一定的規(guī)律，即在過A、B的圓上運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)軌跡為一段優(yōu)弧.再通過勾股定理、圓周角定理等基礎(chǔ)知識(shí)即可解決問題。

變式2：

（2019.沂源縣二模）如圖7，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，BC=2，△ADC與△ABC關(guān)于AC對稱，點(diǎn)E、F分別是邊DC、BC上的任意一點(diǎn)，且DE=CF，BE、DF相交于點(diǎn)P，則CP的最小值為（? ）

解析：

如圖8，連接BD，因?yàn)椤鰽DC與△ABC關(guān)于AC對稱，所以BC=DC，∠ACD=∠ACB=30°，則∠BCD=60°，求得△BDC是等邊三角形，由題意易證△BDE≌△DCF，從而得到∠PBD=∠FDC，∠BPF=∠PDB+∠PBD=∠PDB+∠PDE=60°，所以∠BPD=120°，由于動(dòng)點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)中保持∠BPD=120°，所以動(dòng)點(diǎn)P的路徑是一段以A為圓心，以AD為半徑的弧，如圖9，連接AC交弧于點(diǎn)P，此時(shí)CP的長度最小，CP最小值為CP=AC﹣AP=4-2=2.

評析：本題所包含的知識(shí)綜合性很強(qiáng)，由于E、F分別是DC、BC上的任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P的位置隨著點(diǎn)E、F的運(yùn)動(dòng)而隨之運(yùn)動(dòng)，但通過分析可得點(diǎn)P與兩定點(diǎn)B、D連線所形成的夾角∠BPD=120°始終不變，由此可知點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是以A為圓心，過B、D兩點(diǎn)圓的一段劣弧，連接AC與圓的交點(diǎn)P，此時(shí)可求得CP的最小值。

上面通過實(shí)例說明當(dāng)動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)連線組成的角為定值45°和120°時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)是有一定的規(guī)律，其軌跡是一個(gè)“隱”圓。在練習(xí)中也會(huì)遇到動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)連線組成的夾角是60°、90°、120°，或者任意角的定值時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)都是有規(guī)律的，其軌跡是一個(gè)“隱”圓。

三、結(jié)束語

初中幾何中有關(guān)動(dòng)點(diǎn)問題類型有很多，有時(shí)候需要將動(dòng)態(tài)問題轉(zhuǎn)化為靜態(tài)問題來處理，有時(shí)候需要探究動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，把握住其運(yùn)動(dòng)規(guī)律，確定出其運(yùn)動(dòng)軌跡，再利用相關(guān)的幾何知識(shí)即可解決問題。

【參考文獻(xiàn)】

[1] 李玲玲 . 對于“定線+定角”類隱圓問題的思考[J]. 數(shù)理化學(xué)習(xí) ，2019（6）：31-36.

[2] 胡文濤 . 初中數(shù)學(xué)動(dòng)態(tài)幾何問題的教學(xué)難點(diǎn)及措施研究 [J]. 考試周刊 ，2019（96）：71-72.

[3] 龔瓊瑩 . 看似無圓 實(shí)則有圓 [J]. 教學(xué)案例， 2021（6）：56-57.