王強(qiáng)強(qiáng)

摘? 要：改革作業(yè)形式，嘗試以拓展性作業(yè)的形式分組研討閱讀材料，轉(zhuǎn)變閱讀材料為簡(jiǎn)單的材料閱讀這一教學(xué)現(xiàn)實(shí)困境，允許學(xué)生就閱讀材料上的問(wèn)題或與之相關(guān)的問(wèn)題自由拓展，以拓展促進(jìn)深度學(xué)習(xí)，突破學(xué)科知識(shí)的年段限制和課堂時(shí)間與空間的束縛，促使閱讀材料能真正成為體現(xiàn)學(xué)生自主探究、合作交流、拓展學(xué)習(xí)內(nèi)容、轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)方式的另一主陣地.

關(guān)鍵詞：拓展作業(yè);閱讀材料;課堂教學(xué)

一、引言

浙教版《義務(wù)教育教科書(shū)·數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱“教材”）中，專設(shè)“閱讀材料”欄目，所附材料一般是教材相關(guān)內(nèi)容的引申、拓展及綜合，意圖通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)、比較、歸納、猜想、推理、反思等理性思維活動(dòng)，促使學(xué)生積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、展現(xiàn)思考過(guò)程、交流收獲體會(huì)、激發(fā)創(chuàng)造潛能.

然而，閱讀材料一直困擾著廣大一線教師：欄目需不需要展開(kāi)教學(xué)？材料值不值得花精力去探究？?jī)?nèi)容是否適宜于當(dāng)下實(shí)施？有無(wú)更好的教學(xué)活動(dòng)展開(kāi)方式？于是，很多時(shí)候閱讀材料就被師生“一翻而過(guò)”“一看而越”，并未真正做到“深入學(xué)習(xí)與研究”.

究其原因，一是教師對(duì)閱讀材料所涉及內(nèi)容設(shè)計(jì)的理解普遍不到位，閱讀材料應(yīng)該成為體現(xiàn)合作、探究等學(xué)習(xí)方式的有效載體，不僅只是為學(xué)生提供從自主探索到合作交流的平臺(tái)與機(jī)會(huì)，更是賦予學(xué)生通過(guò)自己的經(jīng)驗(yàn)來(lái)構(gòu)建知識(shí)的方法，突破學(xué)科知識(shí)的年段限制和課堂時(shí)間與空間的束縛，在創(chuàng)造性使用的過(guò)程中呈現(xiàn)教材價(jià)值. 二是閱讀材料的教學(xué)要力爭(zhēng)還原學(xué)生的學(xué)習(xí)全過(guò)程，并不只是人們通常所說(shuō)的閱讀教材，而是通過(guò)思考與體驗(yàn)，來(lái)幫助理解，實(shí)現(xiàn)感悟與提升. 它有別于學(xué)習(xí)具體知識(shí)的探索活動(dòng)，反映背景、重視過(guò)程、加強(qiáng)應(yīng)用，承載著拓展學(xué)習(xí)內(nèi)容、體現(xiàn)學(xué)習(xí)方式轉(zhuǎn)變、實(shí)施過(guò)程性評(píng)價(jià)的任務(wù). 三是尊重學(xué)生的層次差異，閱讀材料的學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)更多的是關(guān)注學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中自身素養(yǎng)的發(fā)展與變化，滿足學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)理解的個(gè)性化需求，實(shí)現(xiàn)不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展.

筆者嘗試將閱讀材料的內(nèi)容以拓展性作業(yè)的形式作為小組學(xué)習(xí)任務(wù)布置給學(xué)生，讓學(xué)習(xí)小組自行確定一個(gè)研究方向、選定任務(wù)（自己感興趣的或認(rèn)為有價(jià)值的、有挑戰(zhàn)性的），從探究、驗(yàn)證、綜合到展示都由學(xué)生自主組織活動(dòng)（允許學(xué)生在較長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)完成），使單一課時(shí)教學(xué)的影響延續(xù)到后續(xù)較長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)的學(xué)習(xí)與生活之中，以作業(yè)拓展促進(jìn)簡(jiǎn)單學(xué)習(xí)向深度學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)變.

二、教材呈現(xiàn)

我們知道，勾股定理反映了直角三角形三條邊之間的關(guān)系：a2 + b2 = c2. 而a2，b2，c2又可以看成是以a，b，c為邊長(zhǎng)的正方形的面積. 因此，勾股定理也可以表述為：分別以直角三角形兩條直角邊為邊長(zhǎng)的兩個(gè)正方形的面積之和，等于以斜邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積. 如圖1，S1 + S2 = S3. 如果以直角三角形的三條邊a，b，c為邊，向形外分別作正三角形（如圖2），那么是否存在S1 + S2 = S3呢？類似地，上述結(jié)果是否適合其他圖形？例如，圖3是分別以直角三角形的三邊為直徑作半圓，則S1 + S2 = S3成立嗎？再畫(huà)幾個(gè)類似的圖試一試，結(jié)論成立嗎？

三、作業(yè)要求

仔細(xì)閱讀教材八年級(jí)上冊(cè)第二章“特殊三角形”第7節(jié)“探索勾股定理”（第2課時(shí)）課后的閱讀材料：從勾股定理到圖形面積關(guān)系的拓展（第78 ～ 79頁(yè)），然后以小組為單位，就你最感興趣的內(nèi)容進(jìn)行探究與拓展，時(shí)間為一周，一周后進(jìn)行小組展示.

四、拓展作業(yè)展示

成果展示1：證明材料中兩個(gè)猜想的正確性.

（1）以直角三角形的三條邊a，b，c為邊，分別向外作正三角形，必定存在S1 + S2 = S3.

成立理由：[S1=12a · 32a=34a2.] 同理，可得[S2=][34b2，S3=34c2.] 因?yàn)閍2 + b2 = c2，所以S1 + S2 = S3.

（2）以直角三角形的三條邊a，b，c為直徑，分別向外作半圓，S1 + S2 = S3依然成立.

成立理由：[S1=12π · a22=12π · 14a2=π8a2.] 同理，可得[S2=π8b2，S3=π8c2.] 因?yàn)閍2 + b2 = c2，所以S1 + S2 = S3.

A組結(jié)論：我們小組只是證明了閱讀材料圖2、圖3中所表述的命題成立. 但對(duì)教材中關(guān)于歐幾里得《幾何原本》第六卷命題31“在一個(gè)直角三角形中，在斜邊上所畫(huà)的任何圖形的面積，等于在兩條直角邊上所畫(huà)的與其相似的圖形的面積之和”存在質(zhì)疑，沒(méi)能給出合理的解釋.

成果展示2：向外拓展發(fā)現(xiàn)勾股樹(shù).

（1）分別以Rt△ABC三邊a，b，c為邊向外作正方形，面積為S1，S2，S3，以此向外再作一層正方形，面積為S4，S5，S6，S7. 如圖4，發(fā)現(xiàn)S3，S4，S5，S6，S7之間的數(shù)量關(guān)系為S3 = S4 + S5 + S6 + S7.

（2）如圖5，以此向外再作一層正方形，發(fā)現(xiàn)S3，S8，S9，S10，S11，S12，S13，S14，S15之間的數(shù)量關(guān)系為S3 = S8 + S9 + S10 + S11 + S12 + S13 + S14 + S15.

B組結(jié)論：最外層的正方形面積之和等于最下邊的正方形面積. 最外層的正方形的數(shù)量是無(wú)限的，但是這無(wú)限個(gè)正方形的面積之和必為定值，即為最初那個(gè)正方形的面積. 畫(huà)出一個(gè)可以無(wú)限重復(fù)的圖形，形狀好似一棵樹(shù)——勾股樹(shù).

除此之外，B組還有如下發(fā)現(xiàn).

（3）如圖6，將直角三角形拓展為對(duì)角互補(bǔ)的四邊形ABCD，且∠DAB = ∠BCD = 90°，分別以四邊形的四條邊向外作四個(gè)正方形，面積分別為S1，S2，S3，S4，那么必然存在S1 + S4 = S2 + S3.

（4）如圖7，將勾股定理在三維空間中進(jìn)行延伸，分別以Rt△ABC三邊a，b，c為邊向外作正方形，并以此正方形為底面向上再作高均為d的長(zhǎng)方體，體積分別為V1，V2，V3，發(fā)現(xiàn)V1，V2，V3之間的數(shù)量關(guān)系為V1 + V2 = V3.

B組結(jié)論：圖6、圖7為“特殊的四邊形”“特殊的立體圖形”中相似命題的成立提供了一個(gè)案例.

成果展示3：將圖形進(jìn)行對(duì)折與拼接.

（1）如圖8，分別以Rt△ABC三邊a，b，c為邊向外作正方形，然后將每個(gè)正方形進(jìn)行一次對(duì)折，發(fā)現(xiàn)S1 + S2 = S3仍然成立. 若在此基礎(chǔ)上，再進(jìn)行一次對(duì)折，如圖9，S1 + S2 = S3仍然成立.

進(jìn)一步探究：若將每個(gè)正方形沿它的對(duì)角線對(duì)折一次（如圖10）、對(duì)折兩次（如圖11）、取特殊點(diǎn)（如圖12）等，發(fā)現(xiàn)S1 + S2 = S3仍然成立.

（2）分別以Rt△ABC三邊a，b，c為邊向外作正三角形，然后將每個(gè)正三角形向外翻折，如圖13，則S1 + S2 = S3成立. 若在此基礎(chǔ)上，再將圖形進(jìn)行拼接，S1 + S2 = S3仍然成立.

C組結(jié)論：在一個(gè)直角三角形中，在斜邊上所畫(huà)的任何圖形的面積，等于在兩條直角邊上所畫(huà)的與其形狀相似的圖形的面積之和.

成果展示4：改變圖形位置.

（1）如圖14，將Rt△ABC的直角邊BC放置在直線l上，以斜邊AB為邊作正方形ABEF，過(guò)點(diǎn)E作ED⊥l于點(diǎn)D，再以AC，DE為邊分別作正方形. 運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)，可得S1 + S2 = S3.

（2）如圖15，推理得△ABC，△BDE，△EGH，△AGF面積相等.

如圖16，進(jìn)一步可得，夾在兩正方形之間的上、下兩個(gè)三角形面積相等. 例如，△ABC與△ADE的面積相等.

（3）以直角三角形的各邊為邊分別向外作正方形，再把較小的兩個(gè)正方形按如圖17所示的方式放置在最大的正方形內(nèi). 發(fā)現(xiàn)，圖中陰影部分的面積一定等于較小兩個(gè)正方形重疊部分的面積.

（4）以直角三角形的各邊為邊分別向外作正三角形（等腰直角三角形或半圓），再把較小的兩個(gè)正三角形（等腰直角三角形或半圓）按如圖18所示的方式放置在最大的正三角形（等腰直角三角形或半圓）內(nèi)，發(fā)現(xiàn)較大圖形中未被覆蓋（圖中陰影部分）的面積等于兩個(gè)較小圖形的重合面積.

（5）若將圖3中最大半圓沿直角三角形斜邊向上翻折得到圖19，則有S1 + S2 = S3.

（6）若將圖2中的最大正三角形沿直角三角形斜邊向上翻折得到圖20，則有S1 + S3 = S2 + S4.

（7）若將圖1中的最大正方形沿直角三角形斜邊向上翻折得到圖21，則有S1 + S2 + S4 = S3 + S5.

D組結(jié)論：在一個(gè)直角三角形中，分別以三邊做相似圖形，將斜邊上所畫(huà)的圖形向上翻折，舍去重疊部分，剩余部分仍符合這樣的面積關(guān)系.

成果展示5：嘗試作相似圖形進(jìn)行探究.

（1）分別以直角三角形兩條直角邊為邊長(zhǎng)的兩個(gè)正三角形的面積之和等于以斜邊為邊長(zhǎng)的正三角形的面積.

進(jìn)一步探究：如圖22，發(fā)現(xiàn)分別以直角三角形兩條直角邊為邊長(zhǎng)的兩個(gè)正六邊形的面積之和等于以斜邊為邊長(zhǎng)的正六邊形的面積.

（2）分別以直角三角形兩條直角邊為底邊的兩個(gè)等腰三角形的面積之和不一定等于以斜邊為底邊的等腰三角形的面積.

進(jìn)一步探究：發(fā)現(xiàn)若所作的三個(gè)等腰三角形的高與底之比相等或腰與底之比相等，則結(jié)論仍然成立.

（3）分別以直角三角形兩條直角邊為邊長(zhǎng)的兩個(gè)正五邊形的面積之和等于以斜邊為邊長(zhǎng)的正五邊形的面積.

成立理由：可以將每個(gè)正五邊形分解成五個(gè)等腰三角形，其均為等腰三角形，且腰與底之比相等，故結(jié)論仍然成立.

（4）分別以直角三角形兩條直角邊為邊長(zhǎng)的兩個(gè)正n邊形的面積之和等于以斜邊為邊長(zhǎng)的正n邊形的面積.

進(jìn)一步探究：如圖23，發(fā)現(xiàn)隨著所作正n邊形的邊數(shù)不斷增加，正n邊形逐漸接近于圓，且無(wú)論何時(shí)，中心角[α=β=γ]始終成立，因此S1 + S2 = S3始終成立. 特別地，如果以直角三角形的三條邊a，b，c為直徑，向外分別作半圓（如圖3），那么S1 + S2 = S3依然成立.

在查閱有關(guān)相似圖形的學(xué)習(xí)資料后，我們了解到，與相似三角形類似，相似多邊形的周長(zhǎng)之比等于相似比;相似多邊形的面積之比等于相似比的平方.

E組結(jié)論：在一個(gè)直角三角形中，在斜邊上所畫(huà)的任何圖形的面積，等于在兩條直角邊上所畫(huà)的與其相似的圖形的面積之和.

五、教學(xué)反思

1. 突破課時(shí)教學(xué)局限，在創(chuàng)造性使用過(guò)程中凸顯教材的價(jià)值

教材是體現(xiàn)教育思想的工具，不能把教材看成是對(duì)教學(xué)內(nèi)容的規(guī)定，更不能把教材看成是對(duì)教學(xué)內(nèi)容的限定. 本課例中，學(xué)生緊扣閱讀材料的主體內(nèi)容“圖形面積關(guān)系的拓展”，以小組合作的形式展開(kāi)學(xué)習(xí)任務(wù). 突破單一課時(shí)教學(xué)內(nèi)容的局限，允許學(xué)生就閱讀材料上的問(wèn)題或與之相關(guān)的問(wèn)題自由拓展，對(duì)教材內(nèi)容進(jìn)行重新整合、補(bǔ)充，甚至延展.

有的小組立足“向外作正方形”這一基本圖形探究了勾股樹(shù)，引發(fā)改變圖形數(shù)量后的面積猜想——最外層的正方形的數(shù)量是無(wú)限的，但是這無(wú)限個(gè)正方形的面積之和必為定值，即最初那個(gè)正方形的面積;有的小組基于材料中關(guān)于歐幾里得《幾何原本》第六卷命題31文本描述的疑問(wèn)，展開(kāi)圖形探究，引發(fā)相似圖形面積猜想——一個(gè)直角三角形中，在斜邊上所畫(huà)的任何圖形的面積，等于在兩條直角邊上所畫(huà)的與其相似的圖形的面積之和;甚至有的小組在相同形狀的基礎(chǔ)上展開(kāi)進(jìn)一步的探究——圖形翻折與變換，引發(fā)改變圖形位置后的面積猜想.

2. 改革作業(yè)形式，把構(gòu)建知識(shí)的過(guò)程還給學(xué)生

積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)是數(shù)學(xué)課程的重要目標(biāo)，應(yīng)貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)的始終. 因此，我們主張還原學(xué)習(xí)全過(guò)程，不能與平時(shí)的作業(yè)同質(zhì)化. 變習(xí)題操練為基于任務(wù)的問(wèn)題解決過(guò)程，以問(wèn)題拓展為載體促進(jìn)學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變（如圖24），它是學(xué)生通過(guò)問(wèn)題引領(lǐng)，全程參與、思考、交流與實(shí)踐過(guò)程相對(duì)完整的學(xué)習(xí)活動(dòng)，整個(gè)學(xué)習(xí)進(jìn)程呈階梯式螺旋推進(jìn)，促進(jìn)學(xué)以致用.

先就組內(nèi)學(xué)生獨(dú)立思考，而后組內(nèi)討論，形成研究方向，最后達(dá)成共識(shí)，確定本組接下來(lái)近一周的拓展學(xué)習(xí)任務(wù)，將零散的學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化為有組織的知識(shí)建構(gòu)，觀察、積累、分析、反思，使作業(yè)拓展的實(shí)施成為提升學(xué)生自身及小組內(nèi)外乃至全班學(xué)生素養(yǎng)的互動(dòng)過(guò)程，如圖25所示. 既注重學(xué)生自主參與、全過(guò)程參與，又關(guān)注數(shù)學(xué)與生活實(shí)際、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科、數(shù)學(xué)內(nèi)部知識(shí)的聯(lián)系和綜合應(yīng)用.

打破原來(lái)閱讀材料僅僅是教材閱讀的尷尬局面，努力通過(guò)集體思考與多樣化的、拓展性體驗(yàn)，來(lái)達(dá)成促進(jìn)理解與提高能力的平衡，實(shí)現(xiàn)真正意義上的以學(xué)生個(gè)性發(fā)展為本的學(xué)習(xí)過(guò)程，實(shí)現(xiàn)不同思維層次的學(xué)生（或?qū)W習(xí)小組）在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展.

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