施俊進(jìn)，顧萍

摘? 要：整體建構(gòu)是一種學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式，更是一種教學(xué)主張，主張根據(jù)數(shù)學(xué)特有的整體、結(jié)構(gòu)、邏輯等特點(diǎn)，幫助學(xué)生從整體上把握知識結(jié)構(gòu)，理解知識之間的內(nèi)在聯(lián)系和發(fā)展，將相關(guān)知識點(diǎn)納入一個結(jié)構(gòu)或框架中形成模塊化體系，使習(xí)得的知識結(jié)構(gòu)化、生成的能力結(jié)構(gòu)化. 文章以“二次根式（1）”一課為例，淺析如何幫助學(xué)生建立結(jié)構(gòu)性知識體系，發(fā)展思維能力、優(yōu)化思維品質(zhì)，從而成為培育學(xué)生核心素養(yǎng)的重要方向和主要途徑.

關(guān)鍵詞：整體建構(gòu);核心素養(yǎng);圖式體系;整體調(diào)控

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）指出，數(shù)學(xué)知識的教學(xué)，要注重知識的生長點(diǎn)與延伸點(diǎn)，把每堂課教學(xué)的知識置于整體的知識體系中，注重知識的結(jié)構(gòu)和體系，處理好局部知識與整體知識的關(guān)系. 筆者對人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》八年級下冊（以下統(tǒng)稱“教材”）“二次根式（1）”一課從知識內(nèi)容上進(jìn)行整體建構(gòu)（學(xué)材再建構(gòu)），關(guān)注了數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)的完整性，關(guān)注數(shù)學(xué)教學(xué)過程中教與學(xué)的方法的完整性，把學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)視為一個整體，從知識、能力、思維等方面進(jìn)行整體把握，從而促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)和能力的整體提高、全面發(fā)展，這顯然是數(shù)學(xué)教學(xué)中涵育學(xué)生核心素養(yǎng)的重要方向和主要途徑. 現(xiàn)將“二次根式（1）”整體建構(gòu)的實(shí)踐研究與思考整理成文，與各位同行交流.

一、整體建構(gòu)“二次根式”

1. 初建學(xué)材

教師的“初建”不僅是重要的基礎(chǔ)學(xué)材，確保必學(xué)內(nèi)容及學(xué)習(xí)的要求，而且對學(xué)生的學(xué)習(xí)起著拋磚引玉的引領(lǐng)作用，可以激發(fā)學(xué)生內(nèi)隱的知識、能力等儲備和學(xué)習(xí)熱情，既保證了學(xué)材的質(zhì)量，又提高了學(xué)材的適宜性和適切性.

整體建構(gòu)要求教師在讀懂“二次根式”整章知識結(jié)構(gòu)（如圖1）和了解學(xué)情的基礎(chǔ)上，重組教材并初建學(xué)材：將“二次根式的定義和性質(zhì)”作為一個教學(xué)單元進(jìn)行教學(xué)（教材安排分概念和性質(zhì)兩課時進(jìn)行），引導(dǎo)學(xué)生整體建構(gòu)，并初步形成“二次根式”的結(jié)構(gòu)體系.

2. 學(xué)材呈現(xiàn)過程

環(huán)節(jié)1：任務(wù)驅(qū)動，激發(fā)生成.

自主回顧：（1）求16的算術(shù)平方根并用符號表示.

追問：如何求16的算術(shù)平方根？

（2）怎樣求36，0，3，a的算術(shù)平方根，并用符號表示？

建構(gòu)概念：（1）把帶有根號的算術(shù)平方根叫做二次根式. 由此，如何定義二次根式？

（2）共同總結(jié)二次根式的定義.

反饋練習(xí)：（1）找出二次根式（題目略）.

追問：說說你的理由或方法.

（2）下列各式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義的條件分別滿足什么？（題目略.）

【設(shè)計意圖】根據(jù)新、舊知識之間的邏輯聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生在原有“算術(shù)平方根”的基礎(chǔ)上自主建構(gòu)新知“二次根式”，既合乎邏輯的發(fā)展結(jié)果，又符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律. 通過練習(xí)將概念具體化，突出了數(shù)學(xué)概念的實(shí)質(zhì).

環(huán)節(jié)2：互動探究，促進(jìn)生成.

（1）獨(dú)立思考，當(dāng)[a≥0]時，比較[a]和0的大小，并說明理由.（性質(zhì)1）

（2）[42， 02， 52， 152]分別等于多少？（性質(zhì)2）

追問：有多少種方法可以得到[42=4]？如何得到[52=5]呢？……由此可以得到的一般結(jié)論是什么？

（3）猜想[a2]等于多少？（性質(zhì)3）

大部分學(xué)生回答a，片刻后，少數(shù)學(xué)生回答“-a”或“[a]”.

追問：結(jié)果到底是什么？如何來驗(yàn)證猜想？

方式：由學(xué)生先獨(dú)立嘗試，再在小組內(nèi)進(jìn)行交流：① 判斷各自舉出的例子是否全面？② 得到的結(jié)論到底是什么？③ 如何從理論上說明這個結(jié)論的正確性？④ [a2]與[a2]有何異同點(diǎn)？

【設(shè)計意圖】以三種不同的形式，引導(dǎo)學(xué)生自主探究二次根式的三個性質(zhì)，發(fā)展了學(xué)生的思維能力，有效改變了學(xué)習(xí)方式，有利于學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn). 通過分析比較“異同點(diǎn)”，使學(xué)習(xí)的重點(diǎn)放在了突出三個性質(zhì)的數(shù)學(xué)本質(zhì)上，有效豐富了學(xué)生的數(shù)學(xué)思考.

環(huán)節(jié)3：展示分享，自主生成.

（1）化簡各式并說明依據(jù).（題目略.）

（2）式子[x2+2， -x2， x+1+5-x]在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義的條件分別是什么？

（3）若實(shí)數(shù)x，y滿足[y=3-x +x-3+2，] 求[xy]的值.

追問：在解題的過程中用到了哪些關(guān)于二次根式的知識？你是如何理解的？

方式：學(xué)生先獨(dú)立思考，再在組內(nèi)交流，最后以全班交流的形式，引導(dǎo)學(xué)生展示自己的思考過程，并分享學(xué)習(xí)心得.

環(huán)節(jié)4：反思提升，實(shí)現(xiàn)生長.

問題引領(lǐng)：（1）說說你對二次根式定義的理解.

（2）我們是如何研究并得到二次根式性質(zhì)的？

追問：猜想二次根式性質(zhì)的作用是什么？

（3）通過學(xué)習(xí)，積累了哪些重要的學(xué)習(xí)方法或?qū)W習(xí)經(jīng)驗(yàn)？

追問：通過學(xué)習(xí)，你能提出什么問題？

【設(shè)計意圖】課堂小結(jié)不僅立足于知識獲得、技能形成，更注重能力發(fā)展、品德養(yǎng)成等. 通過自主提出問題、類比遷移，提升思維含量，激發(fā)學(xué)習(xí)的積極性，促進(jìn)了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的提升.

二、整體建構(gòu)的實(shí)踐思考

常規(guī)教學(xué)中，采用先讓學(xué)生學(xué)習(xí)知識“個體”，再到“部分”，最后到“整體”的教學(xué)方法，學(xué)生難以自主打通孤立的知識點(diǎn)之間的聯(lián)系. 整體建構(gòu)就是幫助學(xué)生用整體的觀點(diǎn)進(jìn)行學(xué)習(xí)，同時在學(xué)習(xí)各部分知識時又明確它在整體中的作用，這對完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)具有積極的作用.

皮亞杰在《結(jié)構(gòu)主義》一書中指出，結(jié)構(gòu)（也叫一個整體、系統(tǒng)、集合）就是由具有整體性的若干轉(zhuǎn)換規(guī)律組成的一個有自身調(diào)整性的圖式體系. 整體建構(gòu)二次根式的過程，是學(xué)生新、舊圖式體系相互作用的過程. 考慮到學(xué)生原有的圖式體系，在學(xué)生知識能力的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)搭建學(xué)習(xí)支架，使舊圖式體系促進(jìn)了新圖式體系的形成. 對于本節(jié)課來說，即是通過復(fù)習(xí)算術(shù)平方根，激發(fā)了學(xué)生對二次根式概念的理解，進(jìn)而促進(jìn)了性質(zhì)的自然生成. 特別地，整體建構(gòu)促使學(xué)生形成了有序的關(guān)于二次根式的知識結(jié)構(gòu)，思維更具活力，從而自然而然地實(shí)現(xiàn)生長，即學(xué)生能自主搭建深入學(xué)習(xí)的支架，形成新的“n次根式”的圖式體系. 由此，整體并不是各組成個體或部分（成分）的簡單總和，其還包含作為整體的性質(zhì). 顯然，對數(shù)學(xué)課本文本進(jìn)行整體建構(gòu)，所引發(fā)的教學(xué)功能常常是裂變一般的效應(yīng).

1. 整體建構(gòu)的含義

基于數(shù)學(xué)知識發(fā)生的規(guī)律、知識本身的邏輯關(guān)系及其內(nèi)在聯(lián)系，通過再建構(gòu)適合教學(xué)目標(biāo)及學(xué)生認(rèn)知實(shí)際和需求的結(jié)構(gòu)化學(xué)材，站在整體的高度，采用結(jié)構(gòu)化教學(xué)，幫助學(xué)生建立結(jié)構(gòu)性知識體系，完善認(rèn)知體系和經(jīng)驗(yàn)世界，發(fā)展思維能力、優(yōu)化思維品質(zhì)、培育數(shù)學(xué)素養(yǎng)、陶冶生命情操.

同時，整體建構(gòu)的數(shù)學(xué)教學(xué)要求師生站在同一系統(tǒng)高度，且將數(shù)學(xué)課程作為一個整體，把數(shù)學(xué)教學(xué)的各要素視為一個整體進(jìn)行組織、管理和傳遞，進(jìn)行整體調(diào)控，進(jìn)而激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力，從而實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教育教學(xué)最優(yōu)化. 特別地，把數(shù)學(xué)教學(xué)的各要素視為一個整體，就是在教學(xué)過程中保持思維情境、學(xué)材選擇、活動組織、結(jié)構(gòu)安排、師生關(guān)系及媒體使用等各要素間內(nèi)在的一致、平衡與和諧.

2. 整體建構(gòu)的基本原則——“三以”和“四須”

以《標(biāo)準(zhǔn)》為準(zhǔn)繩;以學(xué)情為依據(jù);以課本為參照，即在遵循《標(biāo)準(zhǔn)》的基礎(chǔ)上，從學(xué)情出發(fā)（學(xué)情不僅僅是學(xué)生當(dāng)前的學(xué)習(xí)現(xiàn)狀，更是所有教學(xué)資源的現(xiàn)狀），以課本為藍(lán)本進(jìn)行整體建構(gòu).

必須與學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)和自學(xué)能力同步，即要與學(xué)生的自學(xué)能力相適應(yīng). 學(xué)生剛進(jìn)入初中時，由算術(shù)過渡到代數(shù)，有個適應(yīng)過程. 可以先將教材中的一課時的教學(xué)內(nèi)容作為一個小整體進(jìn)行建構(gòu). 隨著自學(xué)能力的不斷提升，可以將緊密聯(lián)系的幾個教學(xué)內(nèi)容整合成一個單元，形成一個相對獨(dú)立的大知識塊進(jìn)行整體教學(xué).

必須與學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和知識體系相匹配，即要與知識體系相適應(yīng)，有助于學(xué)生建立良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu).

必須與學(xué)生思維能力和思維品質(zhì)的提升相呼應(yīng). 有利于學(xué)生思維方法的形成、思維能力的發(fā)展.

必須與學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和價值認(rèn)同相吻合，即整體建構(gòu)要促進(jìn)學(xué)生由知識間的內(nèi)在聯(lián)系與發(fā)展而產(chǎn)生自己的聯(lián)想、猜想，思維能力和水平不斷提升，創(chuàng)新意識隨之不斷增強(qiáng). 這樣能激起學(xué)生興趣和深入學(xué)習(xí)研究的欲望，而研究的成果又進(jìn)一步提升了學(xué)生的自信，形成良性循環(huán).

3. 整體建構(gòu)的實(shí)施策略——“四順應(yīng)”

順應(yīng)知識本身的邏輯關(guān)系或知識之間的內(nèi)在聯(lián)系. 根據(jù)二次根式和算術(shù)平方根的內(nèi)在聯(lián)系（二次根式實(shí)質(zhì)就是帶根號的算術(shù)平方根），引導(dǎo)學(xué)生自主建構(gòu)“二次根式”定義.

順應(yīng)學(xué)生原有的認(rèn)知基礎(chǔ). 引導(dǎo)學(xué)生從對算術(shù)平方根原有的知識基礎(chǔ)和學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，不僅自主構(gòu)建了“二次根式”的定義，而且自主生成二次根式的三個性質(zhì). 順應(yīng)并利用這個基礎(chǔ)，創(chuàng)設(shè)思維情境，激發(fā)了學(xué)生自主探究的熱情，提高了學(xué)生的思維水平.

順應(yīng)學(xué)生的最近發(fā)展區(qū). 通過從特殊到一般的過程，經(jīng)歷三種不同的形式生成二次根式的三個性質(zhì)，都順應(yīng)了學(xué)生的最近發(fā)展區(qū). 特別地，學(xué)生不僅能自主得到非教材結(jié)論，而且還能提出“n次根式”的相關(guān)內(nèi)容，從而達(dá)到潛在的發(fā)展水平.

順應(yīng)學(xué)習(xí)興趣. 順應(yīng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，才能激發(fā)參與、激活思維. 當(dāng)學(xué)生產(chǎn)生學(xué)習(xí)的興趣或欲望時，自然會主動想學(xué)，從而逐漸學(xué)會、會學(xué)，學(xué)習(xí)自然會興趣盎然，學(xué)習(xí)的積極性和內(nèi)在動力自然會得到進(jìn)一步激發(fā)，思維也得到進(jìn)一步提升. 反之，如果通過努力，問題仍然得不到解決，興趣當(dāng)然就無法保持，學(xué)習(xí)積極性得到扼制，自主發(fā)展就沒了可能.

4. 整體建構(gòu)的實(shí)施路徑——“四環(huán)節(jié)”和“三融合”

通過課堂教學(xué)中的任務(wù)驅(qū)動、互動探究、展示分享、反思提升四個環(huán)節(jié)（如圖2），體現(xiàn)了具有自主學(xué)習(xí)、探究體驗(yàn)、展示交流、教師指導(dǎo)等特征的以學(xué)定教的課堂教學(xué)范式. 在師生互動、動態(tài)生成的過程中，促進(jìn)了師生之間思考、經(jīng)驗(yàn)等的共享，情感、體驗(yàn)等的深度交流，同時又豐富了師生各自的知識和經(jīng)驗(yàn)，興致和情感，思考和靈感等隱性學(xué)材.

有機(jī)、靈活、交替地將教師初建、師生共建、學(xué)生獨(dú)建融合起來，就是一個整體建構(gòu)的過程.

首先，教師根據(jù)師生的智力因素和非智力因素，獨(dú)立初建學(xué)材，為學(xué)生提供豐富的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)素材和多樣化的學(xué)習(xí)條件，并形成層次不同的課程資源. 其次，在教學(xué)實(shí)施過程中，師生共同對學(xué)材進(jìn)行共建和再建. 最后，在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生能獨(dú)建并生成適合自己的個性化的學(xué)材. 顯然，有了教師的初建和師生的共建，才會更好地促進(jìn)學(xué)生的獨(dú)建. 同時，教師進(jìn)行調(diào)整后的再建，作為下一輪次的獨(dú)立初建的主要資源，并依次循環(huán)往復(fù)（如圖3）. 三種建構(gòu)有時幾乎是同步進(jìn)行、渾然一體的. 在師生共建的過程中，要努力激活師生資源，并使之不斷地自生、共生，互慧共進(jìn). 當(dāng)然，學(xué)生資源的生成，即學(xué)生獨(dú)建才是我們的目的所在.

整體建構(gòu)要求教師根據(jù)數(shù)學(xué)特有的整體、結(jié)構(gòu)、邏輯等特點(diǎn)，幫助學(xué)生從整體上把握知識結(jié)構(gòu)，理解知識之間的內(nèi)在聯(lián)系及其發(fā)展，掌握新知的生長點(diǎn)，并知道如何由知識點(diǎn)生成知識體系，即學(xué)生獲得的知識不僅是“是什么、為什么和怎么得到的”，而且還懂得了“我是怎么學(xué)會的”，也就是知識獲得過程中的程序性和策略性知識. 更為重要的是，學(xué)生獲得了對自己學(xué)習(xí)活動的一種自我意識和積極體驗(yàn)，以及形成了正確的價值選擇. 同時，整體建構(gòu)也體現(xiàn)在板書設(shè)計從傳統(tǒng)的知識點(diǎn)的羅列發(fā)展到知識包含圖，最后發(fā)展到結(jié)構(gòu)性板書，也稱為思維導(dǎo)圖（如圖4）. 結(jié)構(gòu)性板書，突出了思維過程的重點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn)，能夠直觀、有層次地顯示出知識的組織結(jié)構(gòu)和連接方式，從整體上架起結(jié)構(gòu). 有利于學(xué)生感受數(shù)學(xué)的整體性，并感悟數(shù)學(xué)知識之間實(shí)質(zhì)性的聯(lián)系，以達(dá)到理解數(shù)學(xué)的目的.

處于某種聯(lián)系中的知識往往能讓學(xué)生實(shí)現(xiàn)情境記憶，記出一點(diǎn)就能帶出許多或生成其他的相關(guān)知識，這樣的學(xué)習(xí)才是真正的“活”的學(xué)習(xí)，這就是整體建構(gòu)所追求的在結(jié)構(gòu)中教與學(xué)，即把碎片化的知識有效連成線、結(jié)成網(wǎng)、組成體，將相關(guān)知識點(diǎn)納入一個結(jié)構(gòu)或框架中形成模塊化體系，使習(xí)得的知識結(jié)構(gòu)化、生成的能力結(jié)構(gòu)化，最終學(xué)生能獨(dú)建構(gòu)，并生成適合自己的個性化學(xué)材. 結(jié)構(gòu)決定功能，結(jié)構(gòu)決定效率，這顯然是數(shù)學(xué)教學(xué)中涵育學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要方向和主要途徑.

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國教育部制定. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M]. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2]施俊進(jìn). 基于“原有基礎(chǔ)”，引導(dǎo)“整體架構(gòu)”，促進(jìn)“協(xié)同發(fā)展”：“二次根式（一）”教學(xué)實(shí)踐與反思[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)（初中版），2013（1）：4-7.

[3]施俊進(jìn). 學(xué)材再建構(gòu)，在結(jié)構(gòu)中教與學(xué)：以“一元二次方程”單元教學(xué)設(shè)計為例[J]. 中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2018（7 / 8）：12-15.

[4]施俊進(jìn). 初中數(shù)學(xué)“學(xué)材再建構(gòu)”初探[J]. 學(xué)校管理，2016（6）：32-33.

[5]施俊進(jìn)，徐小建. 例談初中數(shù)學(xué)“學(xué)材再建構(gòu)”的實(shí)施策略和原則[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊（中旬），2017（4）：5-8.