蔡支梅

摘? 要：“四基”是學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)發(fā)展的基礎(chǔ). 文章以“圓中的相似三角形”專題復(fù)習(xí)課觀課為例，闡述對“圓中的相似三角形”的理解，從教學(xué)起點(diǎn)、問題設(shè)置、教師導(dǎo)學(xué)、教學(xué)立意四個方面進(jìn)行對比分析，指出專題復(fù)習(xí)設(shè)計(jì)應(yīng)立足“四基”，設(shè)置適切的問題情境，適時合理地提問引導(dǎo)，聚焦學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，以培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的深刻性、靈活性、獨(dú)創(chuàng)性、批判性和敏捷性，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì).

關(guān)鍵詞：四基;圓中相似;專題復(fù)習(xí);思維品質(zhì)

筆者在江蘇省蘇州市“守教育初心，擔(dān)育人使命”踐行有效教學(xué)課堂展示研討活動中觀摩了兩節(jié)“圓中的相似三角形”（以下統(tǒng)稱“圓中相似”）的專題復(fù)習(xí)課. 在觀課后，對于“圓中相似”的專題來源、教學(xué)定位、教學(xué)立意等方面進(jìn)行了思考，試圖更深入地認(rèn)識這個專題，更好地發(fā)揮專題復(fù)習(xí)的教學(xué)價值，以提高專題復(fù)習(xí)的質(zhì)量. 為了掌握更多的文獻(xiàn)資料，筆者在中國知網(wǎng)以“圓中的相似三角形”為主題進(jìn)行檢索，僅檢索到2篇文獻(xiàn)，且這兩篇文獻(xiàn)都來源于蘇州地區(qū). 從九年級復(fù)習(xí)教學(xué)的實(shí)際情況來看，這個專題受到江蘇省蘇州市一線教師的廣泛關(guān)注，但相關(guān)研究成果較少. 下面結(jié)合對“圓中相似”的理解，簡要呈現(xiàn)兩節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)，從教學(xué)起點(diǎn)、問題設(shè)置、教師導(dǎo)學(xué)、教學(xué)立意四個方面進(jìn)行對比分析，最后給出教學(xué)建議，供一線教師研討交流.

一、對“圓中相似”的理解

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué). 關(guān)系是數(shù)學(xué)的核心和靈魂. 有效的課堂教學(xué)，除了要解決是什么、為什么、怎么樣等知識性問題，還應(yīng)研究從哪里來、怎樣來、到哪里去、如何去等研究性問題. “圓中相似”指的是以圓為背景的相似三角形的圖形問題，涉及兩個數(shù)學(xué)概念——圓、相似三角形. 圓和相似三角形怎么會聯(lián)系起來呢？在圓中蘊(yùn)含著豐富的相等關(guān)系. 例如，直接的相等關(guān)系：半徑、同弧、等弧、等弦等;間接的相等關(guān)系：垂徑、切線、直徑等，這些是圓的“天然優(yōu)勢”. 而相似三角形的問題主要涉及邊、角的關(guān)系，具體來說是邊成比例、角相等的問題. 將相似三角形置于圓的背景中，呈現(xiàn)注重基礎(chǔ)性、關(guān)聯(lián)性和綜合性的專題復(fù)習(xí)內(nèi)容，是培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題能力的良好載體. 因此，“圓中相似”的專題復(fù)習(xí)受到一線教師的青睞.

蘇科版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》在“圓”和“相似三角形”兩個單元分別設(shè)置了20課時、15課時的教學(xué)內(nèi)容，涉及概念、定理、證明、應(yīng)用等諸多知識，在一節(jié)課上復(fù)習(xí)兩個單元的知識，是一項(xiàng)艱巨而又充滿挑戰(zhàn)的教學(xué)任務(wù). 因此，專題復(fù)習(xí)教學(xué)要有所取舍，少取多舍，抓住兩個單元的核心知識，在兩者之間搭建橋梁，融會貫通，立足“四基”的培養(yǎng)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，使復(fù)習(xí)教學(xué)由有效到增效，再到高效.

二、教學(xué)設(shè)計(jì)呈現(xiàn)

1. 課例1的教學(xué)設(shè)計(jì)

引入? 如圖1，圖中有沒有相似三角形？添加一個外接圓，有相似三角形嗎？

基礎(chǔ)練習(xí)：如圖2，在⊙O中，[AB]與[CD]相交于點(diǎn)[E.]

（1）試找出圖中的所有相似三角形;

（2）若添加條件“[AC=BC]”，找出圖中的所有相似三角形;

（3）若添加條件“[AC2=AE ? AB]”，找出圖中的所有相似三角形.

典型例題：如圖3，在⊙O中，[AC]為直徑，[AC⊥][BD，] 交點(diǎn)為點(diǎn)[F.]

問題1：如圖4，若點(diǎn)[E]為[AB]上一動點(diǎn)，連接[CE，DE，] 設(shè)[CE]交[BD]于點(diǎn)[G.] 如果[BG=2，DF=4，][CG=3，] 求[CE]的長.

問題2：如圖5，若點(diǎn)[E]在[CD]上運(yùn)動（點(diǎn)[C]和點(diǎn)[D]除外），直線[CE]與直線[BD]相交于點(diǎn)[G，] 連接[DE，][△GCD]與[△DCE]相似嗎？若相似，試說明理由.

問題3：如圖6，連接[OB，BC，] 如果[OB=4，OF=][1，] 求[AB，BD]的長.

問題4：如圖7，在問題1的條件下，如果點(diǎn)[E]在[BC]上運(yùn)動，[AE]與[OB]交于點(diǎn)[M，] 且點(diǎn)[M]為[OB]的中點(diǎn)，[BC]與[DE]相交于點(diǎn)[G，] 求[BG]的長.

問題5：如圖8，如果點(diǎn)[E]在[AD]上運(yùn)動（點(diǎn)[A]和點(diǎn)[D]除外），直線[AE]與直線[OB]相交于點(diǎn)[M，] 直線[BC]與直線[ED]相交于點(diǎn)[G]，[△ABM]和[△DBG]是否相似？試說明理由.

問題6：如圖9，在問題3的條件下，如果點(diǎn)[E]運(yùn)動到點(diǎn)[A]，[△ABM]與△[DBG]是否相似？試說明理由.

問題7：在問題2的條件下，如果點(diǎn)[E]在⊙O上運(yùn)動，且[△ABM，△DBG]存在，那么這兩個三角形是否仍然相似？（教師展示10幅拓展圖，圖略.）

2. 課例2的教學(xué)設(shè)計(jì)

引入? 相似的基本圖形有哪些？（學(xué)生說，教師畫.）

回顧與反思：圖10中有相似三角形嗎？若有，試寫出來并說明理由.

總結(jié)與提升：具體內(nèi)容如圖11所示.

[三角形和四邊形的內(nèi)、外角] [圓中的線段關(guān)系][構(gòu)造相似][找等角][直徑、切線、垂徑定理] [圖11]

問題1：如圖12，四邊形[ABCD]內(nèi)接于⊙O，且[△ABD]為正三角形，寫出圖中的所有相似三角形.

問題2：如圖13，由直徑[AB]的端點(diǎn)[A]引兩弦[AC，AD]和過點(diǎn)[B]的切線分別交于點(diǎn)[E，F(xiàn)，] 求證：[EFCD=AFAC.]

問題3：如圖14，直線[l]與半徑為4的⊙O相切于點(diǎn)[A，][P]是⊙O上不與點(diǎn)[A]重合的一個動點(diǎn). 過點(diǎn)[P]作[PB⊥l，] 垂足為點(diǎn)[B，] 連接[PA.] 設(shè)[PA=x，PB=y，] 求[x-y]的最大值.

問題4：如圖15，[BC]是半圓[O]的直徑，[D]是[AC]的中點(diǎn)，四邊形[ABCD]的對角線[AC，BD]交于點(diǎn)[E，] 求證：[AC ? BC=2BD ? CD.]

問題5：如圖16，已知[△ABC]內(nèi)接于⊙O，[AB]是⊙O的直徑，點(diǎn)[D]在⊙O上，且[OD∥BC.] 過點(diǎn)[D]作[DE⊥AB，] 垂足為點(diǎn)[E]，連接[CD]交[OE]于點(diǎn)[F.]

（1）求證：[△DOE]∽[△ABC;]

（2）求證：[∠ODF=∠BDE;]

（3）連接[OC，] 設(shè)[△DOE]的面積為[S1，] 四邊形[BCOD]的面積為[S2，] 若[S1S2=27，] 求[sin∠CAB]的值.

三、對比分析

1. 教學(xué)起點(diǎn)

課例1從無圓的“8字形”相似開始（如圖1），隨后把基本圖形放入圓中，連接BC，分別添加條件[AC=BC，AC2=AE · AB，] 探究圖形中所有的相似三角形，立足基本圖形，通過探究活動感悟圓與相似三角形的聯(lián)系，引出課題. 課例2從“A字形”“斜A形”“8字形”“母子形”等基本相似圖形開始，隨后把基本圖形放入圓中（主要選用了“斜A形”“8字形”），由學(xué)生完成找相似、寫相似，并說明相似的依據(jù). 兩個課例都注重以相似三角形的基本圖形作為復(fù)習(xí)教學(xué)起點(diǎn)，然后引入圓，借助圓的有關(guān)性質(zhì)找出相似三角形. 雖然對教學(xué)起點(diǎn)的把握很準(zhǔn)確，但是對圓與相似三角形的關(guān)系方面關(guān)聯(lián)不夠，引導(dǎo)學(xué)生思考不足. 簡單地說，就是學(xué)生不知道為什么要研究“圓中相似”. 從發(fā)展學(xué)生思維品質(zhì)的視角來看，基本圖形是學(xué)生已有認(rèn)知的起點(diǎn)，教師引導(dǎo)學(xué)生觀察、發(fā)現(xiàn)、提煉、概括圓中的相似三角形的特點(diǎn)是教學(xué)手段，學(xué)會借助圓的性質(zhì)探究相似的問題，最終解決圓的有關(guān)問題是教學(xué)終點(diǎn).

2. 問題設(shè)置

課例1采用“一圖一課”的教學(xué)設(shè)計(jì)，先以一個特殊的“8字形”相似為背景，再以“母子形”相似為背景，呈現(xiàn)動點(diǎn)E在不同“位置”下的對應(yīng)圖形，探究動點(diǎn)E運(yùn)動下的相似三角形，發(fā)現(xiàn)運(yùn)動視角下的相似不變性，立意比較高. 但在一節(jié)課上連續(xù)變式并呈現(xiàn)了7個相對復(fù)雜的問題，涉及多幅復(fù)雜的圖形，節(jié)奏快、容量大、難度高，對學(xué)生的學(xué)習(xí)提出了非常高的要求，觀察發(fā)現(xiàn)課堂上教與學(xué)出現(xiàn)“脫軌”現(xiàn)象. 課例2共設(shè)置了5個問題，分別涉及找相似、證相似、用相似、倍線段及綜合應(yīng)用等方面，每個問題的設(shè)置目標(biāo)明確，由淺入深、層次清晰，尤其在找相似環(huán)節(jié)，指出了圓中有關(guān)等量關(guān)系與相似三角形的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生思考如何運(yùn)用圓的性質(zhì)構(gòu)造相似三角形，感悟“圓中相似”的學(xué)習(xí)價值，對學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的培養(yǎng)大有裨益. 但設(shè)置的5個問題在內(nèi)容、方法和思想上沒有體現(xiàn)出系統(tǒng)性和關(guān)聯(lián)性，顯得零散.

3. 教師導(dǎo)學(xué)

課例1利用幾何畫板軟件快速呈現(xiàn)動點(diǎn)運(yùn)動后形成的相應(yīng)圖形，留給學(xué)生的思考時間較短，緊接著挑選部分優(yōu)等生實(shí)施一對一的對話式教學(xué)，教師“蜻蜓點(diǎn)水”式地點(diǎn)撥解題思路，極少部分學(xué)生與教師有互動，而大部分學(xué)生一臉茫然、不知所措. 在觀課中就近觀察身邊的學(xué)生，發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生甚至還沒弄清當(dāng)前的問題，教師便快速呈現(xiàn)了下一個問題. 觀課的總體感覺是教師講得開心，學(xué)生聽得茫然. 課例2的教學(xué)節(jié)奏比較慢，教學(xué)中充分體現(xiàn)學(xué)生的主體地位，讓學(xué)生思考、表達(dá)、交流、書寫，啟發(fā)引導(dǎo)適時、適度、適切，學(xué)生在基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想等方面的發(fā)展得以有效落實(shí). 兩個課例在引導(dǎo)學(xué)生分析問題、弄清題意、擬定計(jì)劃等方面做得不夠深入，對方法的提煉不夠，更傾向于解決問題，卻對“你是怎樣想的？”“還可以怎樣想？”等有利于培養(yǎng)思維品質(zhì)的問題不夠重視，對學(xué)生的高階思維能力、數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的培養(yǎng)有待加強(qiáng).

4. 教學(xué)立意

從總體上看，課例1的“一圖一課”的教學(xué)立意更高，試圖以一個基本圖形為起點(diǎn)，借助動點(diǎn)問題，呈現(xiàn)復(fù)雜多變的圖形情境，引導(dǎo)學(xué)生探究圓中的相似三角形，解決與相似有關(guān)的問題. 但在問題設(shè)置的數(shù)量、層次、難度等方面尚需取舍與優(yōu)化，真正做到理解學(xué)生，遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，設(shè)置適切的問題情境，教學(xué)核心應(yīng)該放在引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會思考、掌握方法上，幫助學(xué)生提高數(shù)學(xué)思維品質(zhì). 課例2的“例題教學(xué)”立意一般，先以相似三角形的基本圖形為抓手，再輔以“一例一解”的方式由師生共同完成問題的探究，屬于常態(tài)化教學(xué)處理. 在教學(xué)中，課例2注重引導(dǎo)學(xué)生從圓中尋找構(gòu)造相似三角形的條件，很好地體現(xiàn)了本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)，值得學(xué)習(xí)借鑒. 但設(shè)置的5個問題需進(jìn)一步統(tǒng)整、關(guān)聯(lián)、優(yōu)化，使問題更具典型性、系統(tǒng)性，指向數(shù)學(xué)本質(zhì)，幫助學(xué)生理解專題復(fù)習(xí)的主旨要義.

四、教學(xué)建議

林崇德教授認(rèn)為，思維品質(zhì)主要包括思維的深刻性、靈活性、創(chuàng)造性、批判性和敏捷性. 就數(shù)學(xué)學(xué)科而言，數(shù)學(xué)思維品質(zhì)是指在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的思維習(xí)慣和思維方式的個性化表現(xiàn)，是數(shù)學(xué)思維的個性特征，是數(shù)學(xué)思維能力的特點(diǎn)及表現(xiàn). 培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維品質(zhì)是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的突破點(diǎn)和有效路徑. “四基”是數(shù)學(xué)教學(xué)的根基，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的基石. 離開了“四基”，數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的培養(yǎng)就是無源之水、無本之木. 因此，專題復(fù)習(xí)教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)立足“四基”，設(shè)置適切的問題情境，引導(dǎo)學(xué)生回顧基礎(chǔ)知識、習(xí)得基本技能、感悟基本思想、積累活動經(jīng)驗(yàn)，在探究活動中經(jīng)歷觀察、思考、發(fā)現(xiàn)、歸納、思辨的過程，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維品質(zhì).

1. 設(shè)置適切的問題情境，發(fā)展思維的深刻性和靈活性

在復(fù)習(xí)導(dǎo)入環(huán)節(jié)，依據(jù)先行組織者理論，明確教學(xué)起點(diǎn)，先讓學(xué)生畫出相似三角形的基本模型（基本圖形），然后再引入圓的背景，讓學(xué)生自主完成探索圓與相似三角形關(guān)系的學(xué)習(xí)任務(wù)，主動完成圓中相似的意義建構(gòu). 課例1設(shè)置的問題能喚醒學(xué)生的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想，為接下來的探究做好準(zhǔn)備，值得借鑒. 在解決問題環(huán)節(jié)要增加問題情境的深度、廣度和難度，以促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的深刻性. 高質(zhì)量的問題在內(nèi)容、方法和思想上應(yīng)具備整體性、系統(tǒng)性、關(guān)聯(lián)性. 例如，在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)設(shè)置“結(jié)論開放性”問題，即設(shè)置只給出題干圖形、自行推導(dǎo)、發(fā)現(xiàn)結(jié)論類的問題，呈現(xiàn)具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)任務(wù)，引導(dǎo)學(xué)生在探究學(xué)習(xí)中經(jīng)歷綜合、分析、比較、優(yōu)化等數(shù)學(xué)思維活動，學(xué)會順向綜合、逆向分析的思考方法，在一題多解、多解歸一的思維活動中，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維的靈活性.

2. 適時合理地提問引導(dǎo)，發(fā)展思維的獨(dú)創(chuàng)性和批判性

問題情境是學(xué)生數(shù)學(xué)思維活動的載體，教師通過適當(dāng)?shù)奶釂枂l(fā)學(xué)生思考，以實(shí)現(xiàn)有效教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的理性思維. 教師提問的質(zhì)量決定了教學(xué)的質(zhì)量，有質(zhì)量的問題必須把握好啟發(fā)的“度”，也就是適度原則. 章建躍博士認(rèn)為，適度的提問必須滿足兩個條件：反映數(shù)學(xué)本質(zhì)和在學(xué)生思維最近發(fā)展區(qū)內(nèi)發(fā)問. 例如，在教學(xué)中始終抓住圓與相似三角形的核心知識，以“圓何以助相似”為問題主線，依托基本的數(shù)學(xué)概念和性質(zhì)，幫助學(xué)生從本質(zhì)上理解專題復(fù)習(xí)的教學(xué)意義，使學(xué)生經(jīng)歷新穎、獨(dú)特、有意義的思維活動. 從觀課中我們看到，課例1的提問是有質(zhì)量的，但是問題太多、節(jié)奏太快，導(dǎo)致復(fù)習(xí)效果一般. 教學(xué)中，要給學(xué)生留有充足的時間去思考、想象、探究、類比、化歸、推理，交流展示應(yīng)聚焦在“我是怎樣想的”“還可以怎樣想”，引導(dǎo)學(xué)生從知其然到知其所以然，再到知何由以知其所以然，從一題多解到解法優(yōu)化，發(fā)展數(shù)學(xué)思維的獨(dú)創(chuàng)性和批判性.

3. 聚焦學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，發(fā)展思維的交互性和敏捷性

學(xué)生是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的主體，教學(xué)起點(diǎn)與教學(xué)終點(diǎn)都是為了學(xué)生更有效的學(xué)，教學(xué)立意的核心是學(xué)生的學(xué)，這里的學(xué)包括學(xué)習(xí)過程、學(xué)習(xí)結(jié)果、學(xué)會思考. 一節(jié)高立意的專題復(fù)習(xí)課應(yīng)該準(zhǔn)確把握學(xué)情、找準(zhǔn)教學(xué)起點(diǎn)、選好教學(xué)路徑、明確教學(xué)終點(diǎn). 就本節(jié)課而言，教學(xué)起點(diǎn)是相似三角形的基本圖形，學(xué)生的學(xué)習(xí)障礙點(diǎn)是引入圓背景之后的問題情境，教學(xué)路徑是問題探究. 課例2踐行“慢教育”理念，充分體現(xiàn)學(xué)生的主體地位，問題的分析和解決都由學(xué)生完成，適時追問，使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維得到了一定的發(fā)展. 但是筆者認(rèn)為，這樣還不夠，教師的引導(dǎo)應(yīng)該聚焦在學(xué)生怎樣思考上. 在問題探究活動中，引導(dǎo)學(xué)生剖析問題，正確判斷，迅速給出結(jié)論，體會基本思想和方法，在師生、生生的交互中學(xué)會數(shù)學(xué)思考，發(fā)展數(shù)學(xué)思維的敏捷性.

參考文獻(xiàn)：

[1]馬莉瑩. 基于活化思維的專題復(fù)習(xí)教學(xué)設(shè)計(jì)與思考：以“圓中的相似三角形”一課為例[J]. 初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2019（4）：1-3.

[2]章建躍. 章建躍數(shù)學(xué)教育隨想錄[M]. 杭州：浙江教育出版社，2017.