白紹強，劉金英

摘? 要：幾何最值問題涉及知識面廣、綜合性強，是中考熱點問題. 因需要畫出最短路徑，也成為教學(xué)難點問題. 結(jié)合2021年天津市中考試題，探尋思考問題的起點，因思維展開的方向、路徑不同，采取變換策略，構(gòu)建不同的幾何基本圖形解決問題，總結(jié)問題解決的指導(dǎo)思想、解題思路和基本經(jīng)驗，認識幾何直觀的作用，并指出了教學(xué)實踐中解決此問題行之有效的方法，供大家參考.

關(guān)鍵詞：感悟思想;幾何變換;構(gòu)建圖形;幾何直觀

幾何最值問題是中考熱點問題，經(jīng)常出現(xiàn)在各地區(qū)中考試題的關(guān)鍵位置、壓軸題位置. 此類試題不同于給定已知條件、給出圖形題目的解決. 學(xué)生雖然可以想到涉及最短路徑的有關(guān)知識，如“兩點之間，線段最短”“垂線段最短”等，但是利用幾何變換把面臨的新情境、新問題轉(zhuǎn)化為基本的最短路徑問題的方法和能力還不盡如人意. 有時題目即使給出了示意圖，圖中的點或線段也不是取得幾何最值時的相應(yīng)位置，還需要學(xué)生自己畫圖，找出最短路徑，然后再進行相關(guān)計算與證明. 加之此類問題形式多樣，涉及知識面廣、難度較大，學(xué)生常常感到無從下手，找不到問題求解的切入點和突破口，成為數(shù)學(xué)教學(xué)的一個難點. 本文結(jié)合2021年天津市中考數(shù)學(xué)第25題第（3）小題的解析，展示思考過程，揭示解法的由來和依據(jù)，總結(jié)問題的解決策略，供大家參考.

一、呈現(xiàn)試題及一般求解過程

1. 試題呈現(xiàn)

題目? 已知拋物線[y=ax2-2ax+c]（[a，c]為常數(shù)，[a≠0]）經(jīng)過點[C0，-1，] 頂點為[D.]

（1）當(dāng)[a=1]時，求該拋物線的頂點坐標;

（2）當(dāng)[a>0]時，點[E0，1+a，] 若[DE=22DC，]求該拋物線的解析式;

（3）當(dāng)[a<-1]時，點[F0，1-a，] 過點[C]作直線[l]平行于[x]軸，[Mm，0]是[x]軸上的動點，[Nm+3，-1]是直線[l]上的動點. 當(dāng)[a]為何值時，[FM+DN]的最小值為[210，] 并求此時點[M，N]的坐標.

2. 試題原解

對于此題的第（3）小題，參考答案給出的解法如下.

解法1：由題意，可求得[c=-1，] 則進一步求得點D的坐標為[D1，-a-1.]

如圖1，將點[D1，-a-1]向左平移3個單位長度，向上平移1個單位長度得點[D-2，-a.]

作點[F]關(guān)于[x]軸的對稱點[F，]

則點[F]的坐標為[0，a-1.]

當(dāng)滿足條件的點[M]落在線段[FD]上時，[FM+DN]最小，此時[FM+DN=FD=210.]

過點[D]作[DH⊥y]軸于點[H.]

在[Rt△FDH]中，[DH=2，F(xiàn)H=1-2a，]

所以[FD2=FH2+DH2=1-2a2+4.]

因為[FD2=40，]

所以[1-2a2+4=40.]

解得[a1=-52，a2=72]（舍）.

所以點[F]的坐標為[0，-72，] 點[D]的坐標為[-2， 52.]

可得直線[FD]的解析式為[y=-3x-72.]

當(dāng)[y=0]時，解得[x=-76.]

所以[m=-76，m+3=116.]

所以點[M]的坐標為[-76，0，] 點[N]的坐標為[116，-1.]

二、追本溯源，探尋思考問題的起點

此題源于“造橋選址”問題. 如圖2，[A]和[B]兩地在一條河的兩岸（直線a和直線b），現(xiàn)要在河上造一座橋[MN，] 橋造在何處可使得從[A]到[B]的路徑[AMNB]最短？（假設(shè)河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直.）

如圖3，設(shè)O為直線a上任意一點，連接AO，將線段AO沿著與直線a垂直的方向平移交直線b于點P，此時點[A]移動到點[A，] 連接[AB，] 設(shè)其與直線[b]的交點為點[N，] 過點N作直線a的垂線，交直線a于點M，則線段MN即為所求. 此時[AMNB]為最短路徑，其路程等于[AM+MN+NB=AB+MN.]

此問題是利用平移的性質(zhì)求三條線段和的最小值. 由于河寬[MN]是固定的，因此當(dāng)[AM+NB]的和最小時，[AM+MN+NB]的和也就最小. 通過平移變換，將[AM]轉(zhuǎn)化為相等線段[AN，] 改變了線段的位置，實現(xiàn)了“折”轉(zhuǎn)“直”，把問題轉(zhuǎn)化為可以利用“兩點之間，線段最短”解決的問題.

上述中考試題的第（3）小題是對“造橋選址”問題的改編與創(chuàng)新，變“[MN]與河垂直”為“[MN]與兩線斜交”，變“[A]和[B]兩地在河的兩岸”為“[F，D]兩點在[x]軸同側(cè)”，考查學(xué)生知識技能的遷移能力，引領(lǐng)師生認真研究和深入挖掘教材例題、習(xí)題的深層次價值，深刻領(lǐng)悟以知識內(nèi)容為載體的數(shù)學(xué)思想內(nèi)涵. 參考答案將點[D]向左平移3個單位長度，向上平移1個單位長度得點[D，] 就是考慮到作同樣的變換將點[N]移動到點[M，] 也就相當(dāng)于平移線段[DN]得到[DM，] 把線段[FM]和線段[DN]“接”在一起. 接下來只要作出點[D，F(xiàn)]中任意一點關(guān)于[x]軸的對稱點，就可化同側(cè)為異側(cè)，轉(zhuǎn)化為能利用“兩點之間，線段最短”解決的問題，圖1之外的另一種具體轉(zhuǎn)化過程如圖4所示.

三、構(gòu)建圖形，凸顯分析問題的路徑

[1]. 依托軸對稱變換，利用基本問題解決思路

如圖5，牧馬人從[A]地出發(fā)，到一條筆直的河邊[l]飲馬，然后到[B]地，牧馬人到河邊的什么地方飲馬，可以使所走的路徑最短？

如圖6，作其中一個定點[B]關(guān)于直線[l]的對稱點[B，] 連接[AB]與直線[l]交于點[C.] 則點[C]即為牧馬人飲馬的地點，[AC+CB]為最短路徑，其路程等于線段[AB]的長.

此問題是利用軸對稱的性質(zhì)求兩條線段和的最小值. 通過軸對稱變換，將[CB]轉(zhuǎn)化為相等線段[CB，] 化同側(cè)為異側(cè)，將兩條線段首尾相連地“接”到一條線段上，根據(jù)“兩點之間，線段最短”，問題得解.

對于上述中考試題的第（3）小題，由第（2）小題知，拋物線頂點[D]的坐標為[1，-a-1.] 由勾股定理（或兩點間距離公式），可得[FM+DN=m2+1-a2+][m+22+a2，] 即[FM+DN=m-02+a-12+m+22+a-02.]此式子的幾何意義可以理解為點[Pm，a]是直線[y=a][a<-1]上的一個動點，點[Pm，a]到兩個定點[A0，1，][B-2，0]的距離之和，即[FM+DN=PA+PB.] 這樣我們就發(fā)現(xiàn)此題與“牧馬人飲馬”問題一致，于是就可以套用解決這個問題的思想、方法得到如下解法2.

解法2：如圖7，作點[A0，1]關(guān)于直線[y=a]的對稱點[A0，-1+2a，] 當(dāng)點[B，P，A]三點共線時，[PB+][PA]取得最小值，即線段[BA]的長.

所以[BA=4+2a-12=210.]

解得[a1=-52，a2=72]（舍）.

易知直線[BA]的解析式為[y=-3x-6.]

由[-52=-3m-6，]

解得[m=-76.]

所以[m+3=116.]

所以點[M]的坐標為[-76，0，] 點[N]的坐標為[116，-1.]

[2]. 構(gòu)造全等三角形，利用三角形三邊關(guān)系

如圖8，[A，B]是定點，[P]是動點，則點[P]運動到哪里時[PA+PB]的值最?。?/p>

如圖9，當(dāng)點[P]運動到線段[AB]上時，[PA+PB]的值最小. 這是因為當(dāng)點[A]，[B]，[P]三點不共線時，由“三角形兩邊的和大于第三邊”，可得[PA+PB>AB.] 當(dāng)點[A，B，P]三點共線，且點[P]在線段[AB]上時，[PA+][PB]的值最小，等于線段[AB]的長.

由此，我們可以構(gòu)建全等三角形，應(yīng)用全等三角形的對應(yīng)邊相等這一性質(zhì)，改變線段[DN]的位置，而不改變其長度，將其與[FM]“接”到一起，使問題轉(zhuǎn)化為能借助三角形三邊關(guān)系解決的幾何最值問題. 得到解法3.

解法3：如圖10，設(shè)直線[x=1]與直線[l]相交于點[P，] 構(gòu)造[△NHF]≌[△DPN，] [NH]⊥[Ox，F(xiàn)H]⊥[NH.]

可得[Nm+2，1-2a.]

此時[FM+DN=FM+NF≥NM，] 當(dāng)點[N，F(xiàn)，M]三點共線時，[FM+NF]取得最小值，即[NM]的長.

由[22+1-2a2=210，]

解得[a1=-52，a2=72]（舍）.

由[N，M]兩點坐標，可得直線[NM]的解析式為[y=3x-3m.]

由[-3m=72，]

解得[m=-76].

所以[m+3=116.]

所以點[M]的坐標為[-76，0，] 點[N]的坐標為[116，-1.]

解法4：如圖11，取點[F3，a-2，] 作[FQ⊥l，] 構(gòu)造[△FQN]≌[△FOM，] 則[FM+DN=FN+DN≥FD，]當(dāng)點[F，N，D]三點共線時，[FN+DN]取得最小值，即[FD]的長. 有[22+1-2a2=210.] 下同解法3.

[3]. 借助平移變換，利用平行四邊形對邊相等

平行四邊形具有豐富的性質(zhì)，應(yīng)用非常廣泛. 平行四邊形的對邊平行且相等這一性質(zhì)，從幾何變換的角度看，相當(dāng)于將一邊進行平移.

將點[M]向下平移[1]個單位，向右平移[3]個單位后與點[N]重合， 將點[F]作同樣的平移得到點[F3，-a，] 則[FF]平行且等于[MN，F(xiàn)MNF]為平行四邊形，所以[FM=FN.] 這樣就把[FM]“接”到了[DN]上，繼而將問題轉(zhuǎn)化為求線段[DN，F(xiàn)N]和的最小值. 由此產(chǎn)生解法5.

解法5：如圖12，將點[F]向下平移[1]個單位，向右平移[3]個單位得到點[F3，-a，] 作點[D]關(guān)于直線[l]的對稱點[D1，a-1.]

當(dāng)點[F，N，D]三點共線時，[FN+ND]取得最小值，即[FD]的長.

由[3-12+1-2a2=210，]

解得[a1=-52，a2=72]（舍）.

把[Nm+3，-1]代入[FD]的解析式[y=3x-132，]

解得[m=-76.]

所以[m+3=116.]

所以點[M]的坐標為[-76，0，] 點[N]的坐標為[116，-1.]

如圖13，若作點[F]關(guān)于直線[l]的對稱點[F，] 問題可同理解決.

平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)都是全等變換，變換前后的兩個圖形全等，只是改變了圖形的位置. 我們可以選擇不同的方式，也可以不拘泥于變換的先后順序，可以把[FM]“接”到[DN]上，也可以把[DN]“接”到[FM]上，其問題實質(zhì)是相同的. 下面的圖14和圖15分別給出了兩種情形（解答過程略）.

4. 化歸直角三角形，利用勾股定理

若直角三角形的兩條直角邊長分別為[a，b，] 斜邊長為[c，] 那么[a2+b2=c2，] 則[c=a2+b2.]

對于直角坐標系中的斜線段，可以用勾股定理表示它的長. [FM]可以看作是分別以[-m，1-a]為直角邊的直角三角形的斜邊，而[DN]可以看作是分別以[m+2，-a]為直角邊的直角三角形的斜邊，由此可得[FM=][-m2+1-a2，DN=m+22+-a2.] 進而得到下述解法6.

解法6：因為[-m+m+2=2，] 所以考慮構(gòu)造如圖16所示的[Rt△PAT]和[Rt△QBT，] 其中[AB=2，] 點[T]在線段[AB]上，[AT=-m，BT=m+2.] 點[P，Q]在線段[AB]的兩側(cè)，[PA=1-a，BQ=-a.]

當(dāng)[P，T，Q]三點共線時，[PT+TQ]取得最小值，即[PQ]的長.

由[PQ=PE2+EQ2，]

得[22+1-2a2=210.]

解得[a1=-52，a2=72]（舍）.

由[△PAT]∽[△QBT，]

得[ATTB=PAQB.]

解得[m=-76].

所以[m+3=116.]

所以點[M]的坐標為[-76，0，] 點[N]的坐標為[116，-1.]

5. 啟示后的再探索

對問題本質(zhì)進行深入地理性思考，就會產(chǎn)生思想認識上的飛躍. 遵循全等變換的宗旨，以“變換線段的位置，構(gòu)建基本幾何圖形”為問題解決的基本策略，我們思考旋轉(zhuǎn)線段[DN，] 將其與線段[FM]首尾相連地“接”在一起，是否可以解決問題呢？如圖17，點[E]為線段[FD]的中點，則點[E]的坐標為[E12，-a.] 將線段[DN]繞著點[E]旋轉(zhuǎn)[180°]得到[FN，] 則可得點[N]的坐標為[N-m-2，1-2a.] 點[N]為點[N]關(guān)于[y]軸的對稱點，則點[N]的坐標為[Nm+2，1-2a.] 因為[FM+DN=FM+NF≥NM，] 所以當(dāng)[N，F(xiàn)，M]三點共線時，[FM+][NF]取得最小值，即[NM]的長. 于是有[m+2-m2+1-2a2=210，] 問題得解.

四、教學(xué)思考，歸納解決問題的方法

1. 理解問題本質(zhì)，感悟數(shù)學(xué)思想

最短路徑問題的相關(guān)知識學(xué)生學(xué)習(xí)得較零散，解決這方面問題的數(shù)學(xué)經(jīng)驗尚顯不足. 在教學(xué)時，首先，教師要讓學(xué)生具備解決最短路徑問題的知識基礎(chǔ)，回歸基本原理、理解問題本質(zhì). 明確借助軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)等變換來研究問題，體會這些變換的“橋梁”作用，促使學(xué)生能通過變換手段化同為異、化曲為直，將實際情境問題轉(zhuǎn)化為基本最短路徑問題. 其次，要讓學(xué)生理解為什么需要這樣轉(zhuǎn)化，怎樣通過變換實現(xiàn)轉(zhuǎn)化，確保學(xué)生能夠通過推理證明所求路徑最短，做到“知其然，知其所以然，知何由以知其所以然”，從而提高學(xué)生的推理能力，突出數(shù)學(xué)的理性思維.

例如，“造橋選址”問題中的最短路徑是這樣證明的：如圖18，我們不妨在直線[b]上另外任意取一點[N，]過點[N]作[NM⊥a，] 垂足為點[M.] 連接[AM，] 以[AM，][MN]為鄰邊構(gòu)造[?AMNA，] 連接[AB，NB.] 在[△ANB]中，因為[AN+BN>AB，] 所以[AM+BN>AN+BN.] 所以[AM+MN+BN>AM+MN+BN，] 即[AM+MN+][BN]為[A]到[B]的最短路徑.

2. 掌握基本策略，注重通性、通法

對于數(shù)學(xué)專項問題，要深化對知識本質(zhì)的理解和認識，引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中不斷積累活動經(jīng)驗，進一步掌握解決問題的基本策略和基本方法，幫助學(xué)生提煉解決問題的基本規(guī)律，關(guān)注數(shù)學(xué)知識的內(nèi)涵，盡可能從源頭找方法、找依據(jù)，重視通性、通法，并通過變式訓(xùn)練，使學(xué)生掌握使用核心知識的基本技能，提升解決數(shù)學(xué)問題的水平. 例如，消元、化歸的思想在解方程組的過程中具有指導(dǎo)作用，消元是基本策略，代入消元、加減消元只是不同的消元過程;又如，在“圖形與幾何”領(lǐng)域，有必要將一些常用的、簡單的基礎(chǔ)圖形結(jié)論化、模式化、方法化，確保學(xué)生熟練基本圖式的問題解決過程，反思提煉基本圖形的思想方法，將基本圖式運用到解決復(fù)雜圖形中去，發(fā)揮基本圖形的導(dǎo)航作用，為新問題的解決提供指導(dǎo)和幫助.

要解決上述中考試題的第（3）小題，將其轉(zhuǎn)化為基本圖形才是根本，正所謂萬變不離其宗、殊途同歸.

3. 用好幾何直觀，培育核心素養(yǎng)

一些數(shù)學(xué)內(nèi)容具有“雙重性”，我們可以從數(shù)與形兩個方面去認識. 幾何直觀就是依托、利用圖形進行數(shù)學(xué)思考和想象，產(chǎn)生對數(shù)量關(guān)系的直接感知. 借助幾何直觀可以將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、生動，有助于探索解決問題的思路. 直觀是想象的基礎(chǔ)，使得數(shù)學(xué)思考與邏輯推理成為有源之水、有本之木. 能夠把相對抽象的對象“圖形化”，由數(shù)到形，展開形象思維，形成幾何直觀能力，培育直觀想象素養(yǎng). 正所謂“數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休”. 將抽象問題具體化、形象化，代數(shù)問題幾何化. 教學(xué)時，教師要充分利用坐標系、函數(shù)、乘法公式、勾股定理等內(nèi)容，教會學(xué)生從“數(shù)”與“形”兩個角度認識數(shù)學(xué)，逐漸養(yǎng)成在數(shù)與形之間進行轉(zhuǎn)化與化歸的意識，借助數(shù)的精確來認識圖形的細微之處、特殊之處，借助形的位置及性質(zhì)來推理數(shù)量關(guān)系，把數(shù)量關(guān)系和直觀圖形結(jié)合起來，整體認識數(shù)學(xué)知識的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，使學(xué)生認識到幾何直觀在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的作用，學(xué)會這種數(shù)學(xué)的思考方式和學(xué)習(xí)方式，促進學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)本質(zhì).

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)教學(xué)的精髓，要讓學(xué)生在學(xué)習(xí)結(jié)論的過程中獲得數(shù)學(xué)思想，就要發(fā)揮基本幾何圖形的工具作用和導(dǎo)向作用，使學(xué)生在思想、方法、經(jīng)驗積累等方面得到培養(yǎng). 求解幾何最值問題，想要做到從附加條件的、復(fù)雜的、陌生的圖形中分離或構(gòu)建出基本圖形，除了反思總結(jié)基本圖形的解題思路、思想方法，更要牢牢把握轉(zhuǎn)化與化歸這一“制勝法寶”，一切解題策略的出發(fā)點均在于轉(zhuǎn)化，化難為易、化新為舊、化繁為簡. 在解題中，回到原始圖形中去，才能體會到題目與基本圖形思路相同、解法類似，實現(xiàn)多解歸一. 豐富了解題經(jīng)驗，才能做到融會貫通、舉一反三、遷移運用. 這無疑會對學(xué)生創(chuàng)新意識的發(fā)展、解決問題能力的提升和數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培育具有十分重要的意義.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制定. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）[M]. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

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