柳軍，馬燕

摘? 要：通過對一節(jié)展示課的觀課和思考，闡述數(shù)學教學應(yīng)基于“四個理解”設(shè)計和實施教學，借助幾何畫板軟件進行數(shù)學實驗，體現(xiàn)探究過程. 通過學生積極參與數(shù)學活動，培養(yǎng)并發(fā)展學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：四個理解;教學本質(zhì);數(shù)學實驗;核心素養(yǎng)

上好課是每一位有責任心的教師的愿景. 一節(jié)“好課”從教學設(shè)計到教學實施，需要教師深度理解數(shù)學本質(zhì)，了解學生的學習規(guī)律，掌握正確的教學方法，即章建躍博士指出的數(shù)學教學要做到“四個理解”（理解數(shù)學、理解學生、理解技術(shù)、理解教學）. 下面，筆者結(jié)合一位教師在某次活動中對“線段的垂直平分線”（第1課時）的教學，談一談基于“四個理解”的教學思考，期待大家指正.

一、課堂簡錄與思考

本節(jié)課是滬科版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學》八年級上冊（以下統(tǒng)稱“教材”）第十五章“軸對稱圖形與等腰三角形”第2節(jié)“線段的垂直平分線”（第1課時），內(nèi)容包括線段的垂直平分線的作法和線段的垂直平分線的性質(zhì).

1. 課堂簡錄

環(huán)節(jié)1：溫故知新.

上課伊始，教師提問學生：什么是線段的垂直平分線？學生由于遺忘回答有困難，教師引導學生回顧概念.

環(huán)節(jié)2：動手操作.

問題1：怎樣作出線段[AB]的垂直平分線？

教師引導學生閱讀教材，并讓學生用“折紙法”和“刻度尺、三角板法”（以下統(tǒng)稱“過中點畫垂線法”）作出線段[AB]的垂直平分線（教師沒有追問理由）. 接下來，教師重點介紹“尺規(guī)法”. 教師邊操作邊講解操作要領(lǐng)，并讓學生跟著一步步模仿. 師生共同完成尺規(guī)作圖（如圖1）后教師讓學生思考：① 為什么要以大于[12AB]長為半徑畫??？② 為什么這樣作出的直線EF就是線段[AB]的垂直平分線？你能給出證明嗎？對于思考①，教師利用幾何畫板軟件動畫演示，若半徑不大于[12AB，] 則圖1變成圖2或圖3，即兩弧只有一個公共點或無交點，無法作出線段[AB]的垂直平分線;對于思考②，引導學生在圖1中連接[AE，AF，BE，][BF，] 結(jié)合作圖，運用三角形全等和線段垂直平分線的定義給出規(guī)范證明.

環(huán)節(jié)3：探索性質(zhì).

問題2：如圖4，直線[l]垂直平分線段[AB，P1，P2，P3，…]是直線[l]上的點，試猜想點[P1，P2，P3，…]到點[A]與點[B]的距離有什么關(guān)系.

教師設(shè)計如下問題串，引導學生探索性質(zhì).

（1）在你作出的線段的垂直平分線上，任意取三個點，分別量出這三個點到線段兩端的距離，你有什么發(fā)現(xiàn)？

（2）通過上述測量活動，你能得到什么結(jié)論？

命題：線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等.

（3）你能證明這一命題是否正確嗎？

教師引導學生分析命題的題設(shè)和結(jié)論，畫出圖形，寫出已知和求證，給出規(guī)范的證明過程，并利用圖形、文字、符號三種語言概括線段垂直平分線的性質(zhì)定理.

環(huán)節(jié)4：理解性質(zhì).

例? 如圖5，直線[AD]是線段[BC]的垂直平分線，求證：[∠ABD=∠ACD.]

待師生共同完成例題的證明后，教師出示達標檢測練習題.

練習：如圖6，直線[l]是線段[AB]的垂直平分線，[C，D]是直線[l]上除[AB]中點外的任意兩點.

求證：（1）[△ABC]和[△ABD]是等腰三角形;

（2）[∠CAD=∠CBD.]

2. 觀課思考

正如評課專家所述：從一般的教育、心理的觀點來看，執(zhí)教教師能夠準確理解教材和學生的學習心理，課堂教學效果較好.

執(zhí)教教師專業(yè)知識扎實，語言精練，注重創(chuàng)設(shè)問題情境，引發(fā)學生思考與交流，有“發(fā)展學生為本”的教學理念，教學環(huán)節(jié)非常完整. 另外，執(zhí)教教師對信息技術(shù)的熟練操作和運用更是值得肯定（PPT制作精美、幾何畫板軟件操作熟練、101教育PPT移動教學運用恰當）. 但是，如果從“四個理解”的角度來看，本節(jié)課還有很大的改進空間. 從理解教材的視角來看：為什么要這樣進行尺規(guī)作圖？怎么想到的？在難點的突破上還有待改善. 教材習題的功能何在？（說明：教師提供的例題和檢測練習題是對教材練習題“已知：直線[l]是線段[AB]的垂直平分線，[C，D]是[l]上任意兩點（除[AB]的中點外）. 求證：（1）[△ABC，△ABD]是等腰三角形;（2）[∠CAD=∠CBD]”的改編.）從理解學生的視角來看：學生畫線段垂直平分線的學習基礎(chǔ)是什么？如何有效設(shè)計才能突破學習難點？從理解技術(shù)的視角來看：用幾何畫板軟件演示“要以大于[12AB]的長為半徑畫弧”，學生是否真正理解了其含義？能否落實“信息技術(shù)與數(shù)學教學的深度融合”？從理解教學的視角來看：線段的垂直平分線的定義是本節(jié)課教學的起點和關(guān)鍵，僅僅引導學生口述概念，是否能真正起到溫故知新的目的？問題2的提出略顯突兀，如何切入更自然？能否通過“數(shù)學實驗”發(fā)現(xiàn)結(jié)論，進而證明結(jié)論，體現(xiàn)探究的過程？在突出重點和難點方面，問題的設(shè)置還可以優(yōu)化.

二、基于“四個理解”的教學思考

1. 理解數(shù)學，凸顯學科育人

數(shù)學育人的載體是數(shù)學內(nèi)容及由內(nèi)容反映的思想方法. 因此，教師只有深入理解教學內(nèi)容，充分認識并把握數(shù)學知識的結(jié)構(gòu)、本質(zhì)與內(nèi)在聯(lián)系，才能用自然的、聯(lián)系的、發(fā)展的眼光看數(shù)學，才能順著數(shù)學本身的發(fā)展軌跡和內(nèi)在邏輯合理組織并實施教學，才能有效實現(xiàn)學科育人的目標. 分析教材呈現(xiàn)的材料，可以構(gòu)建出本節(jié)課的知識結(jié)構(gòu)，如圖7所示.

從宏觀上看，線段、等腰三角形、角都是軸對稱圖形. 其中，線段是最基本、最簡單的軸對稱圖形，線段垂直平分線的研究思路和方法可以遷移到對等腰三角形、角平分線的研究中，為類比學習奠定基礎(chǔ)，全等三角形又是證明圖形性質(zhì)和判定的重要依據(jù). 從微觀上看，折紙和過中點畫垂線的本質(zhì)相同（依據(jù)定義），區(qū)別在于“折紙法”體現(xiàn)運用軸對稱性研究幾何圖形問題（為后續(xù)研究有關(guān)的圖形問題埋下伏筆），“過中點畫垂線法”則體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想. 這兩種方法都只能近似地作出已知線段的垂直平分線，若要精準作圖，就需要引入“尺規(guī)法”，而“尺規(guī)法”作出的中垂線又是探索和發(fā)現(xiàn)性質(zhì)的基石.

另外，為了鞏固性質(zhì)，教材僅安排一道練習題，意在要求學生把文字語言和符號語言轉(zhuǎn)化為圖形語言，進而借助圖形直觀分析和解決問題. 同時，因為學生的思維習慣不同，結(jié)合條件畫出的圖形可能會有所不同，有利于培養(yǎng)學生的構(gòu)圖能力，以及思維的靈活性和廣闊性. 課堂上，執(zhí)教教師對練習題的改編降低了題目的難度，雖然能使課堂教學更加順暢，但卻使練習題失去了應(yīng)有的教育價值和功能. 教材的安排為學生的學習遷移做好了準備和鋪墊，在“實驗—猜想—歸納—驗證”的學習過程中，培養(yǎng)學生的邏輯思維能力和多種思維品質(zhì). 在使學生獲得知識的同時，培養(yǎng)能力，實現(xiàn)數(shù)學育人價值.

2. 理解學生，凸顯學習本質(zhì)

理解學生就是要研究學生，理解學生已有的生活經(jīng)驗和數(shù)學經(jīng)驗，當前知識結(jié)構(gòu)與學生的認知結(jié)構(gòu)，以及與獲得新的意義的“距離”等. 因此，教師要具有強烈的學生意識，基于學生原有的數(shù)學認知規(guī)律和情感發(fā)展規(guī)律創(chuàng)設(shè)合適的教學情境、提出合適的數(shù)學問題，引發(fā)學生的思考與交流，形成并發(fā)展數(shù)學學科核心素養(yǎng).

（1）理解學生的數(shù)學認知規(guī)律.

學生在七年級已經(jīng)了解線段中點的意義，能通過度量或折紙作線段的中點，并能用三角尺或折紙過一點作已知直線的垂線. 前面，學生又經(jīng)歷了軸對稱圖形、軸對稱概念和性質(zhì)的探索過程，并在探索軸對稱性質(zhì)的過程中發(fā)現(xiàn)了線段的垂直平分線的概念. 這個概念是本節(jié)課教學的起點，也是探索畫法和性質(zhì)的關(guān)鍵. 其中，“尺規(guī)法”作線段的垂直平分線和線段垂直平分線性質(zhì)的探索和證明是本節(jié)課教學的重、難點. 基于上述思考，在“溫故知新”環(huán)節(jié)，教師應(yīng)該抓住概念的本質(zhì)（不能僅停留在讓學生口述概念），借助圖形直觀，幫助學生理解概念中“中點”“垂直”的含義. 運用“折紙法”和“過中點畫垂線法”作線段的垂直平分線時，要恰時、恰點追問：如何找線段的中點？如何過中點作垂線？緊扣學生已有知識，即線段垂直平分線的定義展開教學，為知曉用“尺規(guī)法”作線段的垂直平分線奠定基礎(chǔ).“尺規(guī)作圖”和“探索性質(zhì)”時，要讓學生通過觀察、實驗、猜想、推理、交流、反思等活動，激發(fā)學習興趣，經(jīng)歷知識的形成過程，培養(yǎng)和發(fā)展學生的直觀想象、邏輯推理素養(yǎng).

（2）理解學生的情感發(fā)展規(guī)律.

蘇霍姆林斯基曾說：在人的心靈深處都有一種根深蒂固的需要，這就是希望自己是一個發(fā)現(xiàn)者、研究者、探索者. 因此，在利用“尺規(guī)法”畫線段的垂直平分線和探索性質(zhì)時，教師不能只是讓學生“模仿”或“牽著學生走”，而是要基于學生的情感發(fā)展規(guī)律精心設(shè)計問題，讓學生帶著問題在寬松、愉悅的氛圍中自由探究. 同時，教師還要把課堂教學由學生觀看教師“下棋”改為學生自己“下棋”，而教師則為學生設(shè)置“棋的難度”，創(chuàng)設(shè)“下棋”的環(huán)境和條件，提供必要的指導和幫助.

3. 理解技術(shù)，凸顯深度融合

在“互聯(lián)網(wǎng)+”時代，信息技術(shù)的廣泛應(yīng)用正在對數(shù)學教育產(chǎn)生深刻影響. 在數(shù)學教學中，信息技術(shù)是學生學習和教師教學的重要輔助手段，為師生交流、生生交流、人機交流搭建了平臺，為學習和教學提供了豐富的資源. 因此，教師應(yīng)重視信息技術(shù)的運用，優(yōu)化課堂教學，轉(zhuǎn)變教學方式和學習方式. 同時，還要做到真正理解技術(shù)，理解信息技術(shù)是服務(wù)于數(shù)學教學目標的手段;理解信息技術(shù)的使用不是要替代傳統(tǒng)的教學工具，而是要發(fā)揮信息技術(shù)的形象化、可視化等功能，做傳統(tǒng)的數(shù)學教學不能做或做得不太好的事情.

就本節(jié)課而言，教師借助幾何畫板軟件的可視化功能，演示“為什么要以大于[12AB]長為半徑畫弧”的要求時，雖然能讓學生從直觀上形象地看出“大于[12AB]長為半徑畫弧”的必要性，而且用時較短，為探索性質(zhì)留足時間和空間，但是學生缺少動手實踐、親身體驗的過程（傳統(tǒng)的畫圖工具“圓規(guī)”可以彌補這一缺憾）. 而線段的垂直平分線性質(zhì)中，“線段垂直平分線上的點……”是指“任意點”，探索性質(zhì)時如何讓學生意識到是“任意點”，是傳統(tǒng)教學手段做不好的事情，此時借助幾何畫板軟件進行數(shù)學實驗，使靜態(tài)的點[P]動起來，實現(xiàn)數(shù)學對象的形象化、任意性和數(shù)學關(guān)系的顯性化，讓學生在一種直觀、動態(tài)的情境中觀察數(shù)學對象和變化中的數(shù)量關(guān)系，經(jīng)歷數(shù)學家思考問題的方式和方法，從中體會數(shù)學探究的過程，真正實現(xiàn)信息技術(shù)與數(shù)學教學的深度融合，使直觀想象、邏輯推理素養(yǎng)在數(shù)學課堂中落地.

4. 理解教學，凸顯探究過程

理解教學就是教師在清楚數(shù)學知識本質(zhì)與蘊涵的思想方法、學生的認知規(guī)律的基礎(chǔ)上，把數(shù)學知識和學生作為有機的、統(tǒng)一的、相互促進的整體加以處理. 因此，教學是架通數(shù)學和學生的橋. 承前所述，“尺規(guī)作圖”和“探索性質(zhì)”是本節(jié)課教學的重、難點，為了突破重、難點，我們可以根據(jù)教學內(nèi)容，從學生實際出發(fā)，創(chuàng)設(shè)有助于學生自主學習的問題情境，引導學生充分開展作法和性質(zhì)的探索過程，讓學生在經(jīng)歷作法和性質(zhì)形成與應(yīng)用的過程中，真正理解并掌握作法和性質(zhì). 具體可以進行如下設(shè)計.

片斷1：“尺規(guī)作圖”設(shè)計.

想一想：結(jié)合線段垂直平分線的定義，如何作線段[AB]的垂直平分線？

說一說：在利用“折紙法”畫垂直平分線時如何確定線段中點和垂線？

引導學生抓住已有的知識——線段的垂直平分線的定義進行思考，為利用“尺規(guī)法”作中垂線做鋪墊.

議一議：如何用圓規(guī)確定線段中點和畫出線段的垂線？

教學中要充分發(fā)揮學生的主體地位，促使學生自主構(gòu)建、歸納方法. 視學生的情況恰時、恰點追問：圓規(guī)有什么作用？圓心是什么？半徑如何確定？并要求學生嘗試作圖. 通過動手操作，自然發(fā)現(xiàn)“要以大于[12AB]長為半徑畫弧”的原因.

做一做：讓學生任意畫一條線段，然后用“尺規(guī)法”作出這條線段的垂直平分線，并歸納作法和步驟.

證一證：證明所作直線是已知線段的垂直平分線.（證明按上述授課教師的方式進行.）

【設(shè)計意圖】“折紙法”和“過中點畫垂線法”本質(zhì)上都是“作中點—畫垂線”，而“尺規(guī)法”則要求學生用圓規(guī)畫相等的線段構(gòu)造全等三角形，利用全等三角形的性質(zhì)找到線段的中點和過中點的垂線，這是對學生思維的一次挑戰(zhàn).“折一折”能讓學生在動手操作中自然發(fā)現(xiàn)中點和垂直兩個幾何特征，為“議一議”做準備;“議一議”讓學生在合作、交流、操作等活動中發(fā)現(xiàn)“尺規(guī)法”確定兩點的必要條件是確定圓心和半徑，體會以“大于[12AB]長為半徑畫弧”的必要性，突破教學難點;“做一做”和“證一證”是讓學生在動手操作、推理論證中感受“尺規(guī)作圖”的規(guī)范性和合理性，形成尺規(guī)作圖的基本技能和能力，發(fā)展學生的直觀想象和邏輯推理素養(yǎng).

片斷2：“探索性質(zhì)”設(shè)計.

量一量：根據(jù)片斷1“做一做”中學生作出的圖形（圖1）提問：由尺規(guī)作圖，我們知道線段[AB]的垂直平分線[EF]上的特殊點[O，E，F(xiàn)]到[A，B]兩點的距離相等，那么直線[EF]上任意點到[A，B]兩點的距離是否都相等呢？試在直線[EF]上再任取一個點，量一量，寫出你的猜想.

實驗：如圖8，首先，在幾何畫板軟件中畫出長度可變的線段[AB，] 構(gòu)造線段[AB]的中點[O，] 過點[O]構(gòu)造垂線[EF.] 然后，在垂線[EF]上構(gòu)造動點[P，] 連接[PA，][PB，] 度量出其長度.

接下來進行如下操作：（1）先把點[P]拖到中點[O]處，再拖動點[P]在直線[EF]上移動;（2）拖動點[B，] 改變線段[AB]的長度，再進行（1）的操作.（若有條件可以讓學生自己完成實驗.）

觀察上述操作過程中線段[PA，PB]長度的變化，你有什么發(fā)現(xiàn)？（猜想命題.）

證一證：按照上述授課教師的方式進行.

【設(shè)計意圖】本環(huán)節(jié)以學生利用尺規(guī)作圖得到的圖形為背景提出問題，構(gòu)建知識之間的邏輯聯(lián)系，不僅使知識的產(chǎn)生、發(fā)展自然，也體現(xiàn)了從特殊到一般的研究問題的思想方法. 讓學生“在直線[EF]上再任取一個點，量一量”和“幾何畫板軟件實驗”，充分體現(xiàn)了運用幾何實驗發(fā)現(xiàn)性質(zhì)，進而培養(yǎng)學生的直覺思維和創(chuàng)造性思維的育人功能. 實驗發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，再經(jīng)過推理論證，使得推理證明成為學生觀察、實驗、探究得出結(jié)論的自然延續(xù)，使圖形認識與圖形證明有機整合，有效提升學生的邏輯思維能力，落實直觀想象和邏輯推理素養(yǎng).

參考文獻：

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