朱玉杰

摘? 要：數(shù)學(xué)建模應(yīng)當(dāng)是在單元視角下連續(xù)的、不斷完善的、由學(xué)生自主探索“識(shí)?！！饽！颇！钡臄?shù)學(xué)抽象過程. 學(xué)生是數(shù)學(xué)建模的主導(dǎo)者，而教師只是引導(dǎo)者. 在數(shù)學(xué)建模過程中，數(shù)學(xué)模型的形成、擴(kuò)建和完善應(yīng)盡量由學(xué)生自主或合作探究完成，而非教師強(qiáng)行灌輸. 文章選取滬教版《九年義務(wù)教育課本·數(shù)學(xué)》九年級(jí)第一學(xué)期“25.4 解直角三角形的應(yīng)用”的部分教學(xué)環(huán)節(jié)來闡述數(shù)學(xué)建模的課堂生成過程，以及從單元教學(xué)、學(xué)習(xí)進(jìn)程、學(xué)科德育三個(gè)視角闡述數(shù)學(xué)建模在日常教學(xué)中的作用.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模;單元視角;學(xué)習(xí)進(jìn)程;學(xué)科德育

數(shù)學(xué)建模是對(duì)現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng). 數(shù)學(xué)建模是應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的基本手段，其本質(zhì)是應(yīng)用能力，即在解決生活實(shí)際問題時(shí)，用數(shù)學(xué)眼光去發(fā)現(xiàn)問題，用數(shù)學(xué)表達(dá)去描述問題，用數(shù)學(xué)思維去解決問題. 數(shù)學(xué)建模建立了數(shù)學(xué)與生活、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間的聯(lián)系，它不僅有助于學(xué)生形成對(duì)知識(shí)體系完整的認(rèn)識(shí)，而且有利于提高學(xué)生運(yùn)用知識(shí)解決綜合問題的能力.

在日常教學(xué)過程中，一線教師往往忽視數(shù)學(xué)建模的實(shí)際應(yīng)用與育人價(jià)值，亦或者過于關(guān)注數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用而忽略了數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建過程及對(duì)數(shù)學(xué)模型的本質(zhì)理解，導(dǎo)致學(xué)生心中無“?！被蛑挥小澳！钡谋碚?，而不理解“?！钡谋举|(zhì).

筆者曾在線分享過數(shù)學(xué)建模在滬教版《九年義務(wù)教育課本·數(shù)學(xué)》九年級(jí)第一學(xué)期“25.4 解直角三角形的應(yīng)用”這一單元教學(xué)的實(shí)際應(yīng)用與思考，現(xiàn)選取部分教學(xué)環(huán)節(jié)整理成文，與同行交流.

一、教學(xué)環(huán)節(jié)及分析

1. 復(fù)習(xí)回顧，模型初識(shí)

師：同學(xué)們，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了直角三角形的各元素之間的關(guān)系，哪位同學(xué)可以整理下它們之間的關(guān)系？

生1：（如圖1）邊邊關(guān)系：[a2+b2=c2]（勾股定理）;角角關(guān)系：[∠A+∠B=90°]（兩銳角互余）;邊角關(guān)系：[sinA=ac，cosA=bc，tanA=ab，cotA=ba]（銳角的三角比）.

師：至少知道直角三角形中的哪些元素，即可實(shí)現(xiàn)解直角三角形？

生2：已知一邊一角，或者兩邊.

師：今天我們將利用解直角三角形的知識(shí)解決一些生活實(shí)際問題.

……

【評(píng)析】銳角的三角比建立了直角三角形的邊角關(guān)系，是解直角三角形至關(guān)重要的一環(huán). 通過復(fù)習(xí)直角三角形各元素之間的關(guān)系，幫助學(xué)生完善直角三角形知識(shí)體系，通過分析解直角三角形的條件要求，初步構(gòu)建解直角三角形的數(shù)學(xué)模型. 從單元視角考慮，梳理解直角三角形的知識(shí)，是為構(gòu)建基礎(chǔ)模型解決生活應(yīng)用問題而服務(wù)，起到承上啟下的作用.

2. 設(shè)置情境，模型擴(kuò)建

（1）教學(xué)片斷1.

師：現(xiàn)需要測(cè)量學(xué)校旗桿的高度，目前可以使用的工具有：高度為1.5米的測(cè)角儀（可測(cè)旗桿頂端仰角或底端俯角），一卷皮尺，請(qǐng)各小組成員，繪制基本圖形，并設(shè)計(jì)測(cè)量方案.

生3：如圖2，將測(cè)角儀（AB）放置距旗桿（CD）一定距離處，利用皮尺測(cè)量距離[BC]為a米，利用測(cè)角儀測(cè)量旗桿頂端的仰角[α]即可. 則旗桿CD的高度為[1.5+atanα]米.

師：生3的方案中涉及了哪些數(shù)學(xué)知識(shí)？

生4：已知一角一邊求解直角三角形中的其他元素.

師：還有其他測(cè)量方案嗎？

生5：在生3方案的前提下，如圖3，再測(cè)量旗桿底端的俯角[β]即可. 則旗桿CD的高度為[atanα+atanβ]米.我們小組的設(shè)計(jì)，在將測(cè)角儀放置在適當(dāng)高度的條件下也可以實(shí)施，且無需測(cè)量測(cè)角儀距地面的高度.

師：生5的方案中涉及了哪些數(shù)學(xué)知識(shí)？

生6：同樣是已知一角一邊求解直角三角形中的其他元素. 只不過這次涉及了兩個(gè)直角三角形.

師：在同樣的條件下，能測(cè)量出東方明珠廣播電視塔的高度嗎？小組討論，并給出理由.

生7：生3的方案和生5的方案理論上可行，但測(cè)角儀和東方明珠廣播電視塔的高度相差太大，可能在測(cè)量仰角和俯角時(shí)會(huì)有困難，仰角過大，俯角過小，誤差都會(huì)很大，且在測(cè)量過程中也會(huì)受到周邊建筑的遮擋影響.

師：很好！在將數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用于解決生活實(shí)際問題時(shí)，需考慮實(shí)際環(huán)境的限制.

生8：可以對(duì)生5的方案進(jìn)行改進(jìn)，把測(cè)角儀的位置抬高，放在另一座高樓的樓頂去測(cè)量東方明珠廣播電視塔塔頂?shù)难鼋呛退椎母┙牵@樣既可以減少誤差，也可以盡量避免遮擋物的干擾.

師：分析得很好，以小組為單位，利用所學(xué)知識(shí)測(cè)量我校1號(hào)教學(xué)樓的高度，并形成測(cè)量報(bào)告.

【評(píng)析】通過活動(dòng)的不斷推進(jìn)，讓學(xué)生體會(huì)如何利用解直角三角形的知識(shí)解決生活中的測(cè)高問題，并引導(dǎo)學(xué)生注意在利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決生活中的問題時(shí)，需考慮實(shí)際環(huán)境的限制，讓學(xué)生優(yōu)化方案，對(duì)測(cè)量過程進(jìn)行改進(jìn)，使改進(jìn)后的方案更符合實(shí)際測(cè)量需要. 學(xué)生以主人翁的姿態(tài)參與到實(shí)際測(cè)高設(shè)計(jì)活動(dòng)中，使學(xué)生感受數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系，提高學(xué)生將數(shù)學(xué)問題實(shí)際化的能力. 同時(shí)，注重?cái)?shù)學(xué)模型的擴(kuò)建過程，由解單直角三角形向解具有一定聯(lián)系的雙直角三角形模型過渡.

（2）教學(xué)片斷2.

師：解直角三角形的知識(shí)還可以用于解決一些生活中的測(cè)距問題. 例如，在海岸線建造觀測(cè)站，可測(cè)得周圍海域的船只位于觀測(cè)站的方向角，通過解直角三角形的知識(shí)可測(cè)得船只距離海岸線的最短距離.

如圖4，在一條筆直的海岸線l上有相距20海里的A，B兩個(gè)觀測(cè)站，B觀測(cè)站在A觀測(cè)站的正東方向上，從A觀測(cè)站測(cè)得船C在北偏東60°的方向上，從B觀測(cè)站測(cè)得船C在北偏東30°方向上，此時(shí)船只正以每小時(shí)50海里的速度快速向海岸線靠近，問：這艘船最短需要多長時(shí)間可以到達(dá)海岸線？（[3]取1.7，結(jié)果保留一位小數(shù).）

師：小組合作，解決上述問題，并思考涉及了哪些基本圖形及數(shù)學(xué)知識(shí)？（解題過程略）

生9：涉及兩個(gè)直角三角形，且兩個(gè)直角三角形的一條直角邊共邊.

師：它和圖3中的雙直角三角形有何不同？

生10：圖3中雙直角三角形在共邊的異側(cè)，圖4中的雙直角三角形在共邊的同側(cè).

師：這兩種情況在解決問題的策略上有何相似之處？

生11：均是利用解直角三角形的知識(shí)，使三角形的邊角之間建立聯(lián)系，復(fù)雜問題可能還要引入未知數(shù)，借助方程思想解決.

師：很好！如圖5，這就是解直角三角形在實(shí)際生活應(yīng)用問題中的兩種常見的模型.

師：小組合作，根據(jù)所學(xué)知識(shí)，仿照上述情況，設(shè)計(jì)一套檢測(cè)汽車行駛速度的方案，并形成方案報(bào)告.

【評(píng)析】不考慮生活情境，問題中涉及的基本圖形是由具有公共直角邊的兩個(gè)直角三角形拼接構(gòu)成，屬共邊同側(cè)雙直角三角形. 通過雙直角三角形的邊角關(guān)系，設(shè)未知數(shù)，利用方程思想建立等量關(guān)系，解出相應(yīng)的距離. 而題目特殊角度的設(shè)置產(chǎn)生了特殊的位置關(guān)系，即[△ABC]是等腰三角形，學(xué)生也可以利用這點(diǎn)簡(jiǎn)化計(jì)算的過程. 該問題的設(shè)計(jì)意圖在于讓學(xué)生體會(huì)解直角三角形及方向角在實(shí)際測(cè)距中的作用，使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)用性和可操作性. 通過讓學(xué)生自主去對(duì)比兩種情況的區(qū)別與聯(lián)系，體驗(yàn)數(shù)學(xué)模型的擴(kuò)建過程.

3. 例題精選，模型拓展

例? 如圖6，在大樓AB的正前方有一斜坡CD，長為13米，坡度為[1∶2.4，] 高為DE. 在斜坡底的點(diǎn)C處測(cè)得樓頂B的仰角為64°，在斜坡頂?shù)狞c(diǎn)D處測(cè)得樓頂B的仰角為45°，其中點(diǎn)A，C，E在同一直線上，求斜坡的高DE與大樓AB的高度.（參考數(shù)據(jù)：[sin64°≈0.9，] [tan64°≈2.3.]）

【評(píng)析】不考慮生活情境，此題涉及的基本圖形是共邊同側(cè)雙直角三角形中的一種變式圖形，讓學(xué)生體會(huì)較復(fù)雜的雙直角三角形邊角間的內(nèi)在聯(lián)系，抓住雙直角三角形的共邊（或共線邊），在兩直角三角形的各元素之間建立聯(lián)系，傳遞關(guān)鍵信息，利用方程思想建立等量關(guān)系，從而解決問題. 通過雙直角三角形的不斷變式，使學(xué)生對(duì)解雙直角三角形問題具有深刻的認(rèn)識(shí)，通過對(duì)基礎(chǔ)圖形的認(rèn)識(shí)，進(jìn)一步完善數(shù)學(xué)建模，提高學(xué)生的解題能力和認(rèn)知能力.

4. 資源整合，破模歸源

通過對(duì)基本模型的分析與整合，結(jié)合生活實(shí)例（圖7和圖8分別為將生活中的臺(tái)燈和投影儀融入數(shù)學(xué)問題中的圖形），讓學(xué)生感受模型的實(shí)際應(yīng)用，探尋模型的本源，體會(huì)應(yīng)用的本質(zhì)，即生活中常見的三類角（仰俯角、方向角、坡角），這些數(shù)學(xué)概念的引入是為了解決生活問題時(shí)表述的準(zhǔn)確性，其本質(zhì)就是不同場(chǎng)景下的角. 對(duì)于應(yīng)用而言，作為條件，提供直角三角形一個(gè)角的信息，搭配一邊，即可實(shí)現(xiàn)解直角三角形. 而對(duì)基礎(chǔ)模型的拓展與應(yīng)用是多個(gè)直角三角形之間邊角信息關(guān)系的相互傳遞，把握關(guān)鍵信息，建立恰當(dāng)?shù)牡攘筷P(guān)系，從而解決問題. 通過資源的整合，打破模型的束縛，揭示問題的本質(zhì).

二、總結(jié)反思

1. 從單元教學(xué)視角看數(shù)學(xué)建模

王尚志教授認(rèn)為，教師要從課時(shí)中跳出來，進(jìn)行單元教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施. 單元教學(xué)也并非對(duì)課時(shí)教學(xué)的否定，而是提出了更高的要求，它要求教師在課時(shí)教學(xué)過程中都要從單元的高度和整體性把握知識(shí)的前后聯(lián)系. 而數(shù)學(xué)建模過程亦是如此，在日常課時(shí)的教學(xué)過程中，幫助學(xué)生用全局的、聯(lián)系的眼光觀察生活問題，從現(xiàn)實(shí)問題中抽象出數(shù)學(xué)模型，再通過類似生活問題的比較研究完善數(shù)學(xué)模型（圖9），找到數(shù)學(xué)知識(shí)的依附點(diǎn)，使它們不再零散、孤立. 數(shù)學(xué)建模是一個(gè)連續(xù)的，在單元視角下不斷完善的過程，而非一蹴而就. 本單元是從現(xiàn)實(shí)生活中抽象出直角三角形模型，通過構(gòu)造直角三角形，利用邊角關(guān)系解決生活中的問題（圖10）. 而銳角的三角比的定義、性質(zhì)和應(yīng)用均是基于該目標(biāo)下的建模過程. 以單元視角展開教學(xué)，可以使學(xué)生更深刻地領(lǐng)會(huì)模型思想.

2. 從學(xué)習(xí)進(jìn)程視角看數(shù)學(xué)建模

教師應(yīng)該整體設(shè)計(jì)、分步實(shí)施教學(xué)建?；顒?dòng)與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生從類比、模仿到自主創(chuàng)新，從局部實(shí)施到整體構(gòu)想. 在數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)中，學(xué)生是建模的主導(dǎo)者，而教師只是引導(dǎo)者. 在數(shù)學(xué)建模過程中，數(shù)學(xué)模型的形成、擴(kuò)建和完善應(yīng)盡量由學(xué)生通過自主或合作探究完成，而非教師強(qiáng)行灌輸，讓學(xué)生經(jīng)歷“識(shí)模—建?！饽！钡倪^程，對(duì)數(shù)學(xué)模型有自我認(rèn)識(shí)和理解，并從中感悟模型背后問題的本質(zhì)，最終達(dá)到“破?！钡木辰?，而非只是識(shí)“模”的形式，不知“模”的本質(zhì). 過于依賴模型，只會(huì)局限學(xué)生思維的發(fā)展和解題能力的提升. 數(shù)學(xué)模型獲得及提煉過程的價(jià)值遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過運(yùn)用它去機(jī)械性解題.

3. 從學(xué)科德育視角看數(shù)學(xué)建模

數(shù)學(xué)建模本質(zhì)上是一個(gè)問題解決的過程，而問題應(yīng)來源于日常生活、現(xiàn)實(shí)世界等多方面，因此要重視數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系. 在學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)中，不僅要關(guān)注學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)模型解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題，而且還要關(guān)注學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的意識(shí)和能力的提高，讓學(xué)生親身感受數(shù)學(xué)來源于生活、服務(wù)于生活的理念. 培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)價(jià)值觀，用數(shù)學(xué)眼光去發(fā)現(xiàn)問題，用數(shù)學(xué)表達(dá)去描述問題，用數(shù)學(xué)思維去解決問題.

如何在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生在單元視角下連續(xù)不斷地、自主地探索“識(shí)?！！饽！颇！边^程，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)理性的魅力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)觀，需要教師不斷地探索、思考、改進(jìn).

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