◇ 浙江 沈新權(正高級教師)

異面直線所成的角、斜線與平面所成的角以及二面角等概念,構成了比較完整的空間角的概念.學習這些概念并掌握這類問題的求解方法對于學生建立空間觀念,提高對空間位置關系的認識,發(fā)展邏輯推理、直觀想象、數(shù)學運算等學科核心素養(yǎng),起著十分重要的作用.由于三余弦公式聯(lián)系了線線角和線面角,因此利用三余弦公式在處理和解決一些空間角的問題時有著獨特的功效.

1 三余弦公式

圖1

公式如圖1所示,若斜線AB與平面M所成角為α,平面M內(nèi)的一條直線BC與這條斜線AB及AB的射影BO所成的銳角分別為θ,β,則有cosθ＝cosα·cosβ(三余弦公式).

證明過點O作OC⊥BC于C,連接AC,則AC⊥BC.在Rt△AOB中在所以有cosθ＝cosα·cosβ,結(jié)論成立.

說明(1)公式特征:兩個互相垂直的平面內(nèi)(AOB-C)的兩條直線(BA與BC)所成角的余弦等于這兩條直線與另一個平面所成角(∠OBA與∠OBC,即這兩條直線與交線(OB)所成的銳角)的余弦的乘積.

(2)因為θ,α,β均為銳角,且cosθ＝cosα·cosβ≤cosα,所以θ≥α,由此可知,一條斜線與已知平面中的任一條直線所成的角中,線面角最小,此即為最小角定理.

2 利用三余弦公式處理和求解空間角

1)比較空間角的大小

例1(2019年浙江卷8,節(jié)選)設三棱錐V-ABC的底面是正三角形,側(cè)棱長均相等,P是棱VA上的點(不含端點),記直線PB與直線AC所成角為α,直線PB與平面ABC 所成角為β,則( ).

圖2

A.α＝β B.α＞β

C.α＜β D.不能確定

分析由于點P是動點,所以直線PB也是動直線,如果直接求α與β的值,再去比較它們的大小,會比較麻煩.但我們注意到β為PB與平面ABC所成的角,而AC在平面ABC內(nèi),因此,利用最小角定理即可得到結(jié)論.

解由于直線AC在平面ABC內(nèi),且PB與平面ABC所成角為β,由最小角定理知α＞β,選B.

2)處理線線角

例2如圖3,已知點P在正方體ABCD-A′B′C′D′的對角線BD′上,∠PDA＝60°.求DP與CC′所成角的大小.

分析因為平面BDD′B′與平面ABCD垂直,且它們的交線為BD,所以由∠PDA＝60°,∠ADB＝45°,利用三余弦公式可求得∠BDP,而DP與CC′所成角與∠BDP互余,問題得以解決.

解設DP與CC′所成的角為θ,因為CC′∥DD′,則 ∠D′DP＝θ.因 為 平 面 BDD′B′與 平 面ABCD垂直,由三余弦公式得

圖3

所以

例3(2017年全國卷Ⅲ理16)a,b為空間中兩條互相垂直的直線,等腰直角△ABC的直角邊AC所在直線與a,b都垂直,斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn),有下列結(jié)論:

① 當直線AB與a成60°角時,AB與b成30°角;

② 當直線AB與a成60°角時,AB與b成60°角;

③ 直線AB與a所成角的最小值為45°;

④ 直線AB與a所成角的最小值為60°.

其中正確的是______(填寫所有正確結(jié)論的編號).

分析這是一個動態(tài)的問題,從條件來看,建立空間直角坐標系,然后利用向量法就可以判斷結(jié)論是否正確.但作為一個填空題,如此“大動干戈”,似乎“小題大做”了.我們先根據(jù)題意,畫出圖形.如圖4所示,設CD為直線a,CE為直線b,過B分別作a,b的平行線BM,BN,則直線AB與直線a,b所成的角分別為∠ABM＝α,∠ABN＝β.注意到,當斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)時,平面ABC始終與a,b所確定的平面是垂直的,設∠CBM＝θ,由題意可知∠CBN＝90°－θ.由三余弦公式可以得到α,β與θ的關系,然后進行判斷.

圖4

解根據(jù)三余弦公式,有cosα＝cos∠ABM＝同理,有cosβ＝由此可以判斷命題②③正確.

3)求解線面角

圖5

例4(2018年全國卷Ⅰ理18)如圖5所示,四邊形ABCD為正方形,E,F分別為AD,BC的中點,以DF為折痕把△DFC折起,使點C到達點P的位置,且PF⊥BF.

(1)證明:平面PEF⊥平面ABFD;

(2)求DP與平面ABFD所成角的正弦值.

分析在解決問題(2)時,因為平面PEF⊥平面ABFD,所以過點P作PH⊥EF于H,則PH⊥平面ABFD,因此有平面PDH⊥平面ABFD,連接DH,則有 cos∠PDE＝cos∠PDH·cos∠EDH,而∠PDH為DP與平面ABFD所成的角.

解(1)由已知可得,BF⊥PF,BF⊥EF,且PF,EF?平面PEF,PE∩EF于E,所以BF⊥平面PEF.又BF?平面ABFD,所以平面PEF⊥平面ABFD.

(2)作PH⊥EF,垂足為H,由(1)知,PH⊥平面ABFD,DE⊥PE,不妨設DP＝2,則DE＝1,從而又PF＝1,EF＝2,所以PE⊥PF,于是,所以斜線角為∠PDE＝60°,因為,設DP與平面ABCD所成角為α,則由三余弦公式知cosα·cos∠EDH＝cos60°,從而.

圖6

例5(2020年浙江卷19)如圖6所示,在三棱臺ABC-DEF中,平面ACFD⊥平面ABC,∠ACB＝∠ACD＝45°,DC＝2BC.

(1)證明:EF⊥DB;

(2)求直線DF與平面DBC所成角的正弦值.

分析(1)因為EF∥BC,所以要證明EF⊥DB,只需證明BC⊥BD.由于平面ACFD⊥平面ABC,且CD,CB分別在平面ACFD與平面ABC內(nèi),因此由三余弦公式有cos∠BCD＝cos∠ACB·cos∠ACD.

(2)過點D作DO⊥AC于O,因為DF∥OC,所以DF與平面DBC所成角為OC與平面DBC所成角.由∠ACB＝∠ACD＝45°,得點O在平面DBC上的射影G在∠DCB的角平分線上.在直二面角D-CG-O中,由三余弦公式可得cos∠OCD＝cos∠OCG·cos∠DCG,從而可以求出OC與平面DBC所成角即DF與平面DBC所成角的余弦(正弦)值.

解(1)如圖7所示,因為平面ACFD⊥平面ABC,所以過D作DO⊥AC于O,連BO,則DO⊥平面ABC.由三余弦公式cos∠BCD＝cos∠ACB·cos∠ACD,由∠ACB＝ ∠ACD＝45°,得因為DC＝2BC,所以BC⊥BD.因為EF∥BC,所以EF⊥DB.

圖7

圖8

(2)如圖8所示,過點D作DO⊥AC 于O,因為∠ACB＝∠ACD＝45°,所以點O在平面DBC上的射影G一定在∠DCB的平分線上.設直線DF與平面DBC所成角為θ,因為OC∥DF,所以OC與平面DBC所成角也為θ.由(1)知由三余弦定理知cos∠OCD＝cosθ·cos∠DCG,即從而sinθ＝,即直線DF與平面DBC所成角的正弦值為.

3 判斷直線與平面所成角的條數(shù)

例6已知二面角α-l-β的大小為50°,P為空間中任意一點,則過點P且與平面α和平面β所成的角都是25°的直線的條數(shù)為( ).

A.2 B.3 C.4 D.5

分析過點P作平面α,β的垂線,垂足分別為A,B,則PA,PB所成的角為50°或130°,設過點P且與平面α和平面β所成的角都是25°的直線為m,則m與PA,PB所成的角都為65°.接下來,我們探究m與PA,PB所成的角都為65°的直線條數(shù).

圖9

解先假設m與PA,PB所成的角都為θ,則直線m上任意一點在PA,PB所確定的平面上的射影一定在PA,PB的角平分線上.由前面的分析我們知道PA,PB的角平分線l1,l2與PA,PB所成的角分別為25°與65°,設直線m與PA,PB所在平面所成的角為φ,由三余弦公式有cosθ＝cos25°·cosφ或cosθ＝cos65°·cosφ,由cosθ＝cos25°·cosφ≤cos25°,得θ≥25°,即以直線l1為射影的直線m與PA,PB所成的角都為θ的最小值為25°,因此m與PA,PB所成的角都為65°的直線有2條.如圖9,由cosθ＝cos65°·cosφ≤cos65°,得θ≥65°,此時以直線l2為射影的直線m與PA,PB所成的角都為65°的直線有1條(與PA,PB所成的角為130°的角的角平分線),從而過點P且與平面α和平面β所成的角都是25°的直線的條數(shù)為3條.故選B.

4 三余弦公式的推廣

圖10

如圖10所示,二面角α-AB-β的大小為φ,O為AB上任意一點,OP,OQ分別在平面α,β內(nèi),∠POB,∠QOB,∠POQ分別為α,β,θ,則cosθ＝cosα·cosβ＋sinα·sinβ·cosφ.有的書稱此結(jié)論為三射線公式.當φ＝90°,即二面角α-AB-β為直二面角時的三射線公式就是三余弦公式.利用三射線公式在求解二面角的大小時非常方便,有興趣的讀者可以自行完成三射線公式的證明并探究它的應用.