牛 聰,孫建筑,唐 童

(1.河海大學(xué)理學(xué)院,江蘇 南京 210098)(2.南京林業(yè)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系,江蘇 南京 210037)

日常生活中,我們最常見的物質(zhì)狀態(tài)是固態(tài)、液態(tài)和氣態(tài). 從結(jié)構(gòu)組成來說,這些狀態(tài)都是由分子或原子的集合形式所決定的. 由于分子或原子在這3種物態(tài)中運(yùn)動(dòng)狀況不同,從而使我們看到了不同的特征. 而液晶,是介于液態(tài)與結(jié)晶態(tài)之間的一種物質(zhì)狀態(tài),是一種在一定溫度范圍內(nèi)呈現(xiàn)出既不同于固態(tài)和液態(tài),又不同于氣態(tài)的特殊物質(zhì)狀態(tài). 從宏觀上說,液晶既表現(xiàn)出晶體的典型特征――光學(xué)雙折射性,又表現(xiàn)出流體的特征――流動(dòng)性. 從微觀上說,在這種特殊物質(zhì)狀態(tài)下,材料像流體一樣流動(dòng),但其分子保持著晶體分子的有向結(jié)構(gòu)特性. 液晶在物理、化學(xué)、材料學(xué)等眾多學(xué)科中都取得了重大的研究成果,具有廣泛的應(yīng)用背景. 因此,物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家先后建立了各種數(shù)學(xué)模型來研究液晶,其中最著名的模型是Ericksen-Leslie模型,它是用來描述向列型液晶流體動(dòng)力學(xué)理論的模型,并成功應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域.

液晶的流體動(dòng)力學(xué)理論是在20世紀(jì)60年代由Ericksen[1-3]和Leslie[4]建立的. 液晶分子是比較復(fù)雜的分子,為了更好地研究液晶的物理性質(zhì)和物理現(xiàn)象,我們常常把向列型液晶分子理想化地假設(shè)成首尾對稱的長棒狀,并且沿長軸是旋轉(zhuǎn)對稱的. 這種液晶分子稱為單軸液晶分子,其質(zhì)心的位置和長軸的指向確定了單軸液晶分子的構(gòu)型. 向列型液晶的粘度小,流動(dòng)性強(qiáng). 產(chǎn)生這種流動(dòng)性的原因主要是由于各個(gè)分子容易順著長軸方向自由移動(dòng). 在這篇文章中,我們在區(qū)域T3×(0,∞)上考慮了如下的拋物雙曲系統(tǒng)[1-5]:

divu=0,

(1)

?tρ+div(ρu)=0,

(2)

(3)

(4)

(ρ,ρu,d,?td)(·,0)=(ρ0,ρ0u0,d0,d1)(·),d0·d1=0 inT3.

(5)

(6)

另外,受到Navier-Stokes方程的啟發(fā),我們將假設(shè)以下的相容性條件:

(7)

方程(1)—(3)是我們熟知的Navier-Stokes方程. 特別地,當(dāng)u=0時(shí),方程(4)簡化為波動(dòng)映射方程,方程(1)—(5)是Ericksen-Leslie模型的簡化版本. 無論是完整的Ericksen-Leslie模型,還是簡化版的Ericksen-Leslie模型,在流體速度u和向列型液晶的微觀取向構(gòu)型d的影響下,這兩個(gè)模型都是從連續(xù)介質(zhì)力學(xué)出發(fā)得到的宏觀模型. 雖然上述模型是Ericksen-Leslie模型的簡化版本,但它仍然具有重要的數(shù)學(xué)研究價(jià)值.

和流體類似,液晶方程分為可壓縮和不可壓縮兩種類型,下面我們分別介紹一下相關(guān)工作.

文獻(xiàn)[5]研究了簡化的Ericksen-Leslie模型在區(qū)域Ω?R3內(nèi)的可壓縮向列型液晶的強(qiáng)解,并且當(dāng)初值ρ0,u0,d0充分正則并滿足相容性條件時(shí),證明了一個(gè)唯一強(qiáng)解的局部存在性. 文獻(xiàn)[6]研究了在RN(N=2,3)中具有周期邊界條件的可壓縮液晶流體的不可壓縮極限;然后利用不可壓縮極限,嚴(yán)格證明了具有小初值的不可壓縮系統(tǒng)強(qiáng)解的局部存在性和全局存在性;此外,在一定意義上得到了收斂速度. 文獻(xiàn)[7]考慮了三維可壓縮向列型液晶材料的簡化流體動(dòng)力學(xué)模型的短時(shí)間強(qiáng)解;并利用速度梯度變形張量的最大范數(shù)和液晶方向場梯度的最大范數(shù)的平方關(guān)于時(shí)間的積分,建立了在有限時(shí)間內(nèi)這些解可能爆破的準(zhǔn)則. 文獻(xiàn)[8]研究了當(dāng)初值滿足相容性條件時(shí),證明了在一個(gè)有界區(qū)域Ω?R3內(nèi)向列型液晶的可壓縮非等熵模型強(qiáng)解的局部適定性. 文獻(xiàn)[9]研究了Ericksen-Leslie液晶動(dòng)力學(xué)方程組適定性問題,并在第三章研究了可壓縮液晶動(dòng)力學(xué)方程組適定性方面的問題.

至于不可壓縮方面,文獻(xiàn)[10]證明了問題(1)—(5)強(qiáng)解的局部適定性,其中infρ0>0;并且文獻(xiàn)[11]和文獻(xiàn)[12]分別證明了具有真空但沒有任何相容性條件的不可壓縮液晶模型的一個(gè)新的正則性準(zhǔn)則與初始密度為正時(shí)的三維不可壓縮液晶模型的一個(gè)新的正則性準(zhǔn)則. 文獻(xiàn)[13]研究了N維(N=2,3)不可壓縮向列型液晶流體的流動(dòng),并且當(dāng)初始密度ρ0≥0,得到了解的局部存在性和唯一性;特別地,當(dāng)ρ0有正的下界并且在二維情況下,得到了帶有小初值的解的全局存在性和唯一性. 文獻(xiàn)[14]研究了不可壓縮Ericksen-Leslie雙曲模型,在保證基本能量定律耗散的Leslie系數(shù)約束下,證明了具有有限初始能量系統(tǒng)的經(jīng)典解的局部存在性和唯一性;在此基礎(chǔ)上,通過對阻尼系數(shù)和初始能量極小性的附加假設(shè),建立了唯一的全局經(jīng)典解. 文獻(xiàn)[9]研究了Ericksen-Leslie液晶動(dòng)力學(xué)方程組適定性問題,并在第五章利用非Ginzburg-Landau逼近不可壓縮液晶方程,證明了二維不可壓縮液晶動(dòng)力學(xué)方程組存在整體強(qiáng)解. 文獻(xiàn)[15]從微觀Doi-Onsager理論出發(fā),給出了宏觀Ericksen-Leslie理論的一個(gè)嚴(yán)格推導(dǎo),在第二章,證明了Ericksen-Leslie方程的局部適定性以及小初值解的整體適定性.

本文目的是在真空情形下證明問題(1)—(5)在相容性條件(7)下的強(qiáng)解具有局部適定性.

本文的主要結(jié)果如下:

(8)

對某些0

由于強(qiáng)解存在性的證明可以用經(jīng)典的Galerkin方法得到[16],唯一性的證明由(8)的正則性得到,所以我們只需要給出先驗(yàn)估計(jì)(8). 為此,我們定義:

(9)

定理2對任意的t∈[0,T],我們有

(10)

從式(10)和文獻(xiàn)[17-19]可知:

M(t)≤C.

(11)

根據(jù)Kato-Ponce在文獻(xiàn)[20]中的方法,在接下來的證明中,我們將使用雙線性交換子和先驗(yàn)估計(jì):

‖Ds(fg)-fDsg‖Lp≤C(‖f‖Lp1‖Ds-1g‖Lq1+‖g‖Lp2‖Dsf‖Lq2),

(12)

‖Ds(fg)‖Lp≤C(‖f‖Lp1‖Dsg‖Lq1+‖Dsf‖Lp2‖g‖Lq2),

(13)

因此,我們只需要證明定理2.

1 定理2的證明

證明首先,由極大值原理及(1)—(2)知:

0≤ρ≤C0.

(14)

利用Gagliardo-Nirenberg不等式:

我們得到:

(15)

因此,由Gronwall不等式知:

(16)

很容易證明:

(17)

在(3)兩端用?t作用,并乘ut,利用(1)和(2),我們推出:

(18)

下面我們證明Ii(i=1,…,4)的有界性:

|I2|≤‖ρt‖L2‖u‖L6‖u‖L6‖ut‖L6≤C(M)‖ut‖L6≤

‖(u·d)‖L2)‖ut‖L2≤C(M)‖ut‖L2.

這里我們利用了Poincaré不等式:

(19)

將上述估計(jì)插入(18)得到:

(20)

因此,我們有:

(21)

因此,我們有:

(22)

方程(2)可以寫成:

-Δu+π=f∶=-ρut-ρu·u-d·Δd.

(23)

由Stokes方程的H2理論知:

因此,我們得到:

(24)

類似的,我們有:

‖u‖H3≤C‖f‖H1≤C‖f‖L2+C‖f‖L2≤C(M)+C‖ρ‖L6‖ut‖L3+C‖ρ‖L∞‖ut‖L2+

因此,很容易推出:

(25)

最后,我們得到:

(26)

結(jié)合(14)、(16)、(17)、(20)—(25)和(26),我們推斷出(10)是成立的.

證明完畢.

致謝:感謝樊繼山教授對本文的指導(dǎo)與幫助.