胡雅倩,徐 焱

(南京師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,江蘇 南京 210023)

1 引言及主要結(jié)果

1959年,Hayman[1]得到

定理A設(shè)f(z)是C上亞純函數(shù),k≥5,a(≠0)、b為有限復(fù)數(shù),若

f′(z)-afk(z)≠b,

則f是常數(shù).

Mues舉例說明當(dāng)k=3,4時(shí)定理A不成立. 根據(jù)Bloch原理,Hayman猜測相應(yīng)的正規(guī)定則可能也是正確的. 1985年,李先進(jìn)[2]證明了

f′(z)-afk(z)≠b

最近楊錦華等[5]將上述正規(guī)定則中的常數(shù)a(≠0)換成全純函數(shù)a(z)(?0),得到了

f′(z)-a(z)fk(z)≠b(z),

自然地,想知道定理C中a(z)換成亞純函數(shù)結(jié)論是否成立呢?本文得到了下面的結(jié)果.

f′(z)-a(z)fk(z)≠0,

注下面的例子說明定理1中條件當(dāng)“a(z)=∞時(shí),f(z)≠ 0”是必須的.

f′(z)-a(z)fk(z)≠0,

因?yàn)楹瘮?shù)族的正規(guī)性是局部性質(zhì),結(jié)合定理1和定理C可得:

f′(z)-a(z)fk(z)≠0,

2 定理的證明

為了證明本文的結(jié)果,需要下列引理

定理1的證明由f′(z)-a(z)fk(z)≠0, 及當(dāng)a(z)=∞時(shí),f(z)≠0,可以斷言:

(1)

(2)

令