鄭雪鳳

摘要：數(shù)學(xué)概念教學(xué)應(yīng)以學(xué)生原有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)為起點(diǎn)，聚焦數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性，讓學(xué)生親身經(jīng)歷多層次的數(shù)學(xué)活動(dòng)，從而不斷加深對(duì)概念的理解?！墩壤囊饬x》一課教學(xué)，注重從本質(zhì)出發(fā)，指向知識(shí)的生長(zhǎng);沿本質(zhì)思考，指向能力的生長(zhǎng);促本質(zhì)延伸，指向思維的生長(zhǎng)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)概念;知識(shí)本質(zhì);關(guān)鍵能力;數(shù)學(xué)思維;《正比例的意義》

數(shù)學(xué)概念是客觀現(xiàn)實(shí)中的數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)屬性在人腦中的反映。數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)，不能僅僅記住它、說出它的定義、認(rèn)識(shí)代表它的符號(hào)，而要真正把握它的本質(zhì)屬性。盡管數(shù)學(xué)概念的定義已經(jīng)反映出了它的本質(zhì)屬性，但要真正理解它的本質(zhì)屬性并不是一件容易的事情。當(dāng)前，小學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念時(shí)還存在一些問題，主要表現(xiàn)為：對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性理解不深刻，對(duì)同一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的不同表達(dá)形式缺乏系統(tǒng)性概括，不能將所學(xué)數(shù)學(xué)對(duì)象與其他相關(guān)數(shù)學(xué)對(duì)象建立聯(lián)系。對(duì)此，筆者以為，應(yīng)以學(xué)生原有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)為起點(diǎn)，聚焦數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性，讓學(xué)生親身經(jīng)歷多層次的數(shù)學(xué)活動(dòng)，從而不斷加深對(duì)概念的理解。下面，結(jié)合《正比例的意義》一課教學(xué)，談?wù)劰P者的實(shí)踐與思考。

一、教學(xué)實(shí)踐

（一）教材解讀與學(xué)情分析

“正比例的意義”是蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級(jí)下冊(cè)第六單元第1課時(shí)的內(nèi)容，主要是讓學(xué)生結(jié)合實(shí)際情境認(rèn)識(shí)成正比例的量。例1（內(nèi)容見下頁圖1）的教學(xué)意圖分為兩個(gè)層次：首先，通過表格，引導(dǎo)學(xué)生感知具體情境中時(shí)間和路程變化而行駛的速度不變，初步體會(huì)正比例中的變與不變;其次，讓學(xué)生計(jì)算幾組相對(duì)應(yīng)的路程和時(shí)間的比值，再次明確速度不變實(shí)際上就是相對(duì)應(yīng)的路程和時(shí)間的比值不變。

認(rèn)識(shí)“正比例的意義”是學(xué)生從固定的量到變化的量的一次認(rèn)知飛躍。學(xué)生對(duì)相關(guān)聯(lián)的量有自己的理解，對(duì)常見的數(shù)量關(guān)系式（如路程、時(shí)間、速度）也有清晰的了解，但一般停留在解決問題的層面。而學(xué)習(xí)正比例概念要求學(xué)生從運(yùn)動(dòng)和變化的角度去理解數(shù)量之間的關(guān)系，通過觀察、分析兩種數(shù)量之間的變化規(guī)律，達(dá)成對(duì)兩個(gè)變量關(guān)系的理解。像這樣從靜態(tài)思考過渡到動(dòng)態(tài)分析乃至抽象概括的過程，對(duì)學(xué)生來說，無疑是陌生的。所以，本節(jié)課學(xué)習(xí)對(duì)于首次接觸函數(shù)思想的學(xué)生而言，難度頗大。

（二）教學(xué)過程與說明

1.提煉“兩種量之間的關(guān)系”。

（教師出示表1-表5，學(xué)生根據(jù)已知信息填寫相關(guān)數(shù)據(jù)。當(dāng)學(xué)生填到表5時(shí)，教室里開始出現(xiàn)嘈雜聲。）

師你們有什么疑問嗎？

生表5填不出來。

師為什么沒法填呢？

生一個(gè)人的身高和成績(jī)根本就沒有關(guān)系。雖然我們知道其中一個(gè)量，但因?yàn)樗鼈冎g沒有數(shù)量關(guān)系，所以我們無法算出另一個(gè)量是多少。

師有道理！兩種量之間如果沒有數(shù)量關(guān)系，我們就無法從一種量的變化判斷出另一種量的變化。前四個(gè)表格，你們都填好了嗎？

（全班核對(duì)數(shù)據(jù)。）

師為什么這四張表中所填的數(shù)據(jù)可以確定呢？

生因?yàn)檫@幾張表中出現(xiàn)的兩種量是存在數(shù)量關(guān)系的。

生在計(jì)算的時(shí)候，我還發(fā)現(xiàn)，每個(gè)表格中都隱藏著一個(gè)不變量，只要通過隱藏的不變量和其中一個(gè)已知的數(shù)量就可以算出另一個(gè)量是多少。

師發(fā)現(xiàn)了隱藏的寶藏，真厲害！那我們就具體來看一看這四張表，每張表中隱藏的不變量是什么？表格中的兩種量又有什么樣的數(shù)量關(guān)系呢？先自己思考，再和你的組員交流。

（學(xué)生思考后匯報(bào)。）

生表1中的不變量是總?cè)藬?shù)48人，組數(shù)乘每組人數(shù)就能得到總?cè)藬?shù)。

（教師課件出示：組數(shù)×每組人數(shù)=總?cè)藬?shù)。）

生表2中的不變量是年齡差5歲，哥哥的年齡減妹妹的年齡就能得到年齡差。

（教師課件出示：哥哥的年齡-妹妹的年齡=年齡差。）

生表3中的不變量是客車的速度，路程除以時(shí)間就能得到客車的速度。

（教師課件出示：路程÷時(shí)間=速度。）

生表4中的不變量是總米數(shù)，用去的米數(shù)加剩下的米數(shù)就能得到總米數(shù)。

（教師課件出示：用去的米數(shù)+剩下的米數(shù)=總米數(shù)。）

師通過分析我們發(fā)現(xiàn)，兩種量可能不存在數(shù)量關(guān)系，也可能存在數(shù)量關(guān)系。我們還發(fā)現(xiàn)，前四個(gè)表格中，不僅兩種量存在數(shù)量關(guān)系，還有一個(gè)隱藏的不變量。這個(gè)不變量的數(shù)值始終是固定的，我們可以說這個(gè)量是一定的。

[說明：學(xué)習(xí)是主客體的相互作用，是學(xué)生內(nèi)在經(jīng)驗(yàn)的改造和重組。學(xué)生之前對(duì)兩種量的理解一般僅停留在解決問題的層面，而學(xué)習(xí)正比例概念要求學(xué)生從運(yùn)動(dòng)和變化的角度去理解數(shù)量之間的關(guān)系。因此，本環(huán)節(jié)從學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，先讓學(xué)生通過解決具體的問題，發(fā)現(xiàn)兩種量可能存在數(shù)量關(guān)系，也可能不存在數(shù)量關(guān)系，幫助學(xué)生將研究?jī)煞N量的關(guān)系從解決問題的層面逐步過渡到研究關(guān)系本身的層面。]

2.揭示“相關(guān)聯(lián)”。

師（課件出示填好的四張表格和相應(yīng)的關(guān)系式）我們?cè)賮碛^察這四張表格，看看每張表格中的兩種量分別是怎樣變化的？先想一想，再和你的同桌交流。

（學(xué)生觀察后匯報(bào)。）

生我發(fā)現(xiàn)，每張表格中的兩種量都在不停地變化。

生我發(fā)現(xiàn)，表1和表4中都是一種量在增加，另一種量在減少;表2和表3中的兩種量都是在同增同減。

師這四張表格中，兩種量的變化情況可能是同增同減，也可能是一種量在增加，另一種量在減少。它們變化的方向是不一樣的，那它們有什么相同的地方嗎？

生每張表中的兩種量都是存在數(shù)量關(guān)系的，而且都是變化的。

師像這樣存在數(shù)量關(guān)系的兩種量，一種量的變化會(huì)影響到另一種量，使其也發(fā)生變化。我們就可以把這兩種量稱為“相關(guān)聯(lián)的量”。（出示表6—表10）觀察這五張表格，每張表中的兩種量是不是相關(guān)聯(lián)的量？

生長(zhǎng)×寬=面積。面積一定，長(zhǎng)的變化會(huì)帶來寬的變化，所以長(zhǎng)和寬是兩種相關(guān)聯(lián)的量。

師你是怎么知道面積是一定的？

生我用表格中的數(shù)據(jù)算的。我發(fā)現(xiàn)，24×1，12×2，10×2.4，8×3，6×4都等于24。

生我是從表6標(biāo)題中的信息“面積是24平方厘米的長(zhǎng)方形”知道的。

師看來找不變的量，可以通過計(jì)算，也可以通過分析條件。

生年齡和身高不存在數(shù)量關(guān)系。一般人到了一定的年齡后身高就不會(huì)變化了，所以年齡和身高不是兩種相關(guān)聯(lián)的量。

生總價(jià)÷數(shù)量=單價(jià)。單價(jià)一定，買的數(shù)量越多，總價(jià)就會(huì)越高，所以總價(jià)和數(shù)量是兩種相關(guān)聯(lián)的量。

師這里的單價(jià)一定，你們又是怎么知道的？

生我們可以用表中的數(shù)據(jù)計(jì)算得知，也可以從條件“一種彩帶”得知：既然是同一種彩帶，那它的單價(jià)肯定是不變的。

生圓的周長(zhǎng)÷圓周率=直徑。圓的周長(zhǎng)在變化，但圓周率一直都沒有變化，它們不是兩種量都在變化，所以圓的周長(zhǎng)和圓周率不是兩種相關(guān)聯(lián)的量。

生質(zhì)量÷數(shù)量=每袋的質(zhì)量。數(shù)量在變化，質(zhì)量也隨著它在變化，兩種量都在變化，所以質(zhì)量和數(shù)量是兩種相關(guān)聯(lián)的量。

[說明：這里，引導(dǎo)學(xué)生變換觀察角度，從研究?jī)煞N量的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)變?yōu)樘綄煞N量的變化規(guī)律，由發(fā)現(xiàn)“不同”到尋找“相同”。在學(xué)生對(duì)每張表中兩種數(shù)量的變化規(guī)律進(jìn)行了充分觀察和表達(dá)后，教師歸納小結(jié)，揭示出“兩種相關(guān)聯(lián)的量”的本質(zhì)意義。后續(xù)出示的五張表格，是讓學(xué)生在具體情境中，從多個(gè)角度進(jìn)一步理解“相關(guān)聯(lián)的量”，理解兩種量在“存在數(shù)量關(guān)系”的前提下，還必須都是“變化的量”。]

3.總結(jié)“正比例的意義”。

師（課件出示表6、表8、表10及相應(yīng)的關(guān)系式）如果讓你對(duì)這三張表進(jìn)行分類，你打算怎么分？說說你的想法。

生我打算分兩類：表6為一類，表8和表10為一類。因?yàn)楸?中的兩種量是乘的關(guān)系，積一定;而表8和表10中的兩種量是除的關(guān)系，商或比值一定。

生我也是這樣分類的。我發(fā)現(xiàn)，表6中兩種量的變化是一增一減，而表8和表10中兩種量的變化是同增同減。

師你們都同意把表8和表10分為一類嗎？為什么？

生因?yàn)槊繌埍碇械膬煞N量都是同增同減。

生因?yàn)槊繌埍碇猩舷聝蓚€(gè)對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)的比值都是相等的。

生因?yàn)槊繌埍碇械膬煞N量都是除的關(guān)系，而且商一定。

師像這樣的兩種相關(guān)聯(lián)的量，它們的商或比值總是一定的，我們就說這兩種量成正比例關(guān)系，（板書：成正比例關(guān)系）這兩種量也是成正比例的量。（出示圖2）先來看一道題：往同一個(gè)圓柱形杯子中倒水，水的體積和高度成正比例嗎？

生水的體積和高度是兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的量。因?yàn)槭恰巴粋€(gè)杯子”，所以底面積是一定的，底面積=體積÷高，所以水的體積和高成正比例關(guān)系。

師你真善于思考！通過“同一個(gè)圓柱形杯子”這個(gè)條件就快速找到了不變量——底面積。

生我直接看圖，因?yàn)閳D上是一條直線，所以這兩種量的比值一定是不變的。

師他說如果圖上是一條直線，兩種量的比值就是不變的，到底對(duì)不對(duì)呢？我們可以怎么辦？

生用計(jì)算的方法來驗(yàn)證。

（學(xué)生驗(yàn)證后發(fā)現(xiàn)，水的體積與高度的比值都是25。）

師這也就說明剛才那位同學(xué)的推斷是正確的，而且我們又獲得了一種方法——通過圖像直接判斷。再來看第二道題——

（教師出示題目：正方形的周長(zhǎng)和邊長(zhǎng)成正比例嗎？）

生成正比例關(guān)系。

師都沒有具體的數(shù)據(jù)，你是怎么知道它們的比值是一定的？

生我是根據(jù)周長(zhǎng)計(jì)算公式推導(dǎo)發(fā)現(xiàn)的。邊長(zhǎng)×4=周長(zhǎng)，反過來，周長(zhǎng)÷邊長(zhǎng)=4，比值是一定的，所以周長(zhǎng)和邊長(zhǎng)成正比例。

（教師出示題目：正方形的面積和邊長(zhǎng)成正比例嗎？）

生根據(jù)正方形的面積計(jì)算公式“面積=邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)”，可以得到“面積÷邊長(zhǎng)=邊長(zhǎng)”，比值不一定，所以面積和邊長(zhǎng)不成正比例關(guān)系。

[說明：學(xué)習(xí)的核心要素就是思維的參與，真正的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)該讓學(xué)生充分體驗(yàn)和感受數(shù)學(xué)概念的形成過程。本環(huán)節(jié)中的分類過程引導(dǎo)學(xué)生細(xì)致研讀表格，著眼于變與不變、同與不同，在不同層次、不同角度的比較中，深刻體會(huì)正比例概念的本質(zhì)意義。本環(huán)節(jié)中的練習(xí)與之前的表格呈現(xiàn)方式不同，既有圖像呈現(xiàn)，又有文字呈現(xiàn)。這樣設(shè)計(jì)的目的是通過多種表征方式，讓學(xué)生對(duì)正比例的意義產(chǎn)生深刻的體驗(yàn)和認(rèn)識(shí);同時(shí)，圖像的呈現(xiàn)也為下一課時(shí)的學(xué)習(xí)做鋪墊。]

4.建模深化理解。

師生活中還有哪些成正比例的量？你能舉例說一說嗎？

生長(zhǎng)不變時(shí)，長(zhǎng)方形的面積和寬成正比例關(guān)系。

生工作效率不變時(shí)，工作總量和工作時(shí)間成正比例關(guān)系。

……

師像這樣的正比例關(guān)系說得完嗎？

生說不完。

師你能用簡(jiǎn)單的方法表示出來嗎？

生被除數(shù)÷除數(shù)=商（一定），被除數(shù)和除數(shù)成正比例關(guān)系。

生a÷b=c（一定）（a、b、c不等于0），a和b成正比例關(guān)系。

生☆÷△=□（一定）（☆、△、□不等于0），☆和△成正比例關(guān)系。

師雖然同學(xué)們的表示方法不同，但它們都有什么相同的地方？

生兩種量是相關(guān)聯(lián)的量，要具備相除關(guān)系，并且商或比值必須是一定的。

師在數(shù)學(xué)上，我們一般用字母表示，通常用字母x和y分別表示兩種相關(guān)聯(lián)的量，用k表示它們的比值，那么正比例關(guān)系可以用怎樣的式子來表示呢？請(qǐng)你試著寫一寫。

（學(xué)生嘗試寫表達(dá)式。）

師同學(xué)們的方法都很正確，真棒！相除關(guān)系也可以寫成分?jǐn)?shù)形式，所以通常我們寫成這樣的形式。

教師板書：yx=k（一定）。

[說明：在具體的活動(dòng)中經(jīng)歷了由淺入深、由表及里的研究過程后，學(xué)生已經(jīng)對(duì)正比例的意義積累了大量的感性認(rèn)識(shí)和經(jīng)驗(yàn)。本環(huán)節(jié)，學(xué)生用符號(hào)等方式抽象出正比例的意義也就水到渠成了。學(xué)生對(duì)正比例意義的表征方式是多樣的，不管是文字的、字母的，還是符號(hào)的，都是從他們心里自然生長(zhǎng)出來的。通過這樣的學(xué)習(xí)過程，學(xué)生實(shí)現(xiàn)了正比例意義數(shù)學(xué)模型的自主建構(gòu)。]

二、教學(xué)思考

教學(xué)數(shù)學(xué)概念，不能停留在知識(shí)的記憶和技能的訓(xùn)練上，而應(yīng)聚焦數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性，指向知識(shí)、學(xué)生能力和思維的生長(zhǎng)。

（一）從本質(zhì)出發(fā)，指向知識(shí)的生長(zhǎng)

奧蘇伯爾說過：“影響學(xué)習(xí)的唯一重要的因素，就是學(xué)習(xí)者已經(jīng)知道了什么。”教學(xué)時(shí)，我們需要研究學(xué)生已經(jīng)具備的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)與將要學(xué)習(xí)的新內(nèi)容之間存在著哪些聯(lián)系，以及如何幫助學(xué)生溝通舊知與新知的聯(lián)系。

對(duì)學(xué)生來說，“正比例的意義”這一學(xué)習(xí)內(nèi)容，從表面上看，是全新的知識(shí)，但聚焦到知識(shí)的本質(zhì)上，自然會(huì)發(fā)現(xiàn)，正比例的意義研究的其實(shí)就是兩種變量之間的關(guān)系，它需要數(shù)量關(guān)系式作為支撐。而對(duì)研究?jī)煞N量之間的數(shù)量關(guān)系，學(xué)生是有基礎(chǔ)的——只是原來研究的是靜止?fàn)顟B(tài)的兩種量之間的關(guān)系，現(xiàn)在要研究的是動(dòng)態(tài)的兩種量之間的關(guān)系。因此，筆者找準(zhǔn)這一知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)，根據(jù)學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)，建立前后知識(shí)的聯(lián)系，展開立足學(xué)生“最近發(fā)展區(qū)”的教學(xué)。

（二）沿本質(zhì)思考，指向能力的生長(zhǎng)

抽象、推理、模型是數(shù)學(xué)的基本思想，是數(shù)學(xué)學(xué)科的關(guān)鍵能力。在教學(xué)中，教師除了需要關(guān)注學(xué)生知識(shí)的掌握程度外，更要重視教會(huì)學(xué)生怎樣找到知識(shí)的本質(zhì)，怎樣發(fā)現(xiàn)知識(shí)與知識(shí)之間的聯(lián)系，“知其因，明其法”。

《正比例的意義》一課教學(xué)中，筆者通過豐富的學(xué)習(xí)素材，讓學(xué)生在各類不同層次的情境中，親身經(jīng)歷觀察分析、分類比較、抽象概括、建立模型等數(shù)學(xué)活動(dòng)。學(xué)生在把感性經(jīng)驗(yàn)上升為理性經(jīng)驗(yàn)的過程中，初步感悟到數(shù)學(xué)抽象的過程與方法，發(fā)展了數(shù)學(xué)思考，體驗(yàn)了符號(hào)化的思想，提升了數(shù)學(xué)抽象和建模的能力;在由具象到抽象的過程中，深度理解了正比例的意義，實(shí)現(xiàn)了用圖表、文字、符號(hào)表征概念的綜合化學(xué)習(xí)。

（三）促本質(zhì)延伸，指向思維的生長(zhǎng)

鄭毓信教授提出：“我們應(yīng)將數(shù)學(xué)知識(shí)和技能的教學(xué)看成思維教學(xué)最重要的途徑，我們還應(yīng)努力做好思維分析在知識(shí)和技能教學(xué)中的滲透、指導(dǎo)和促進(jìn)。我們?cè)诮虒W(xué)中不應(yīng)該過分強(qiáng)調(diào)各種具體的數(shù)學(xué)解題策略和數(shù)學(xué)思維方法，而應(yīng)更加重視一般思維策略和思想方法?！鳖惐染褪且环N重要的數(shù)學(xué)思維。

《正比例的意義》一課教學(xué)中，筆者多次引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比：首先，通過豐富的素材讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩種量可能存在的兩種不同情況;然后，繼續(xù)通過不同的素材讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到兩種相關(guān)聯(lián)的量之間也存在著不同的關(guān)系，正比例關(guān)系只是其中的一種情況。這樣的學(xué)習(xí)，不僅培養(yǎng)了學(xué)生的全局觀念，也幫助學(xué)生對(duì)兩種量的關(guān)系建立了結(jié)構(gòu)性的認(rèn)識(shí)。

此外，教師還要培養(yǎng)學(xué)生反思和再認(rèn)識(shí)的意識(shí)和能力，在教學(xué)中，努力創(chuàng)造一些新的、適合學(xué)生長(zhǎng)線思考的教學(xué)形式，幫助學(xué)生通過數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)獲得數(shù)學(xué)思維的生長(zhǎng)。

參考文獻(xiàn)：

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[3] 王凌.豐富學(xué)習(xí)素材，促進(jìn)深層參與——“教學(xué)失誤及其改進(jìn)”系列研究之九[J].教育研究與評(píng)論（課堂觀察），2018（5）.