李宏

[摘 要]教學(xué)設(shè)計(jì)作為一個系統(tǒng)，它的主要特征在于整體性.合理的整體性教學(xué)設(shè)計(jì)有助于調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，有助于學(xué)生對學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行整體把握，認(rèn)清知識本質(zhì).

[關(guān)鍵詞]整體性;教學(xué)設(shè)計(jì);冪的運(yùn)算

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2021）26-0009-03

整體性教學(xué)設(shè)計(jì)是對課堂教學(xué)系統(tǒng)化規(guī)劃而進(jìn)行的教學(xué)設(shè)計(jì).教學(xué)設(shè)計(jì)作為一個系統(tǒng)，它的主要特征在于整體性，不能因?yàn)槊恳徊糠值闹匾远鴣G棄整體系統(tǒng)的觀念.我們應(yīng)該通過教學(xué)設(shè)計(jì)創(chuàng)設(shè)一個合理的教學(xué)系統(tǒng)來促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)，并以此提高學(xué)生的邏輯思維能力.下面以“冪的運(yùn)算”為例談?wù)勅绾芜M(jìn)行整體性教學(xué)設(shè)計(jì).

一、教材解讀

“冪的運(yùn)算”是魯教版初中數(shù)學(xué)教材六年級下冊第六章《整式的乘除》的內(nèi)容，包含同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方、積的乘方、同底數(shù)冪的除法、零指數(shù)冪、負(fù)整指數(shù)冪等內(nèi)容.這部分內(nèi)容既是整式乘除的基礎(chǔ)，又是一種獨(dú)立的運(yùn)算，其知識基礎(chǔ)是“冪的意義”“有理數(shù)的乘方”“有理數(shù)的乘法運(yùn)算”等.教材從數(shù)到式、從特殊到一般、從具體到抽象的數(shù)學(xué)活動貫穿始終，為后續(xù)進(jìn)一步深入學(xué)習(xí)整式運(yùn)算提供了知識、技能和思想方法的基礎(chǔ)，積累初步探究公式、法則的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn).

二、問題分析

對于本章的教學(xué)，過去的做法是按照教材上的順序?qū)⑼讛?shù)冪的乘法、冪的乘方、積的乘方、同底數(shù)冪的除法分為4個課時開展教學(xué)，然后通過大量的習(xí)題訓(xùn)練來鞏固.這是否有利于學(xué)生對數(shù)學(xué)整體把握？是否有利于學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解？基于對學(xué)情的把握以及對數(shù)學(xué)知識內(nèi)在邏輯連貫性的考慮，可以把“冪的運(yùn)算”進(jìn)行整合，開展一個單元的教學(xué).

三、學(xué)情分析

學(xué)生為城區(qū)學(xué)校普通班學(xué)生，初一入學(xué)進(jìn)行了數(shù)學(xué)思維的訓(xùn)練.筆者平時仔細(xì)研究了人大附中和北京八中少年班的教學(xué)模式、教學(xué)案例，同時也認(rèn)真思考，針對普通城市、普通學(xué)生的情況，如何提高其數(shù)學(xué)成績以及數(shù)學(xué)能力.在數(shù)學(xué)教學(xué)中注意對章節(jié)的整體架構(gòu)，讓數(shù)學(xué)知識如何更高效地傳遞給學(xué)生，使學(xué)生樂意學(xué)數(shù)學(xué)，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性.在給上一屆學(xué)生授課的過程中，就運(yùn)用了這種方法，教學(xué)效果良好.教師不要以為初一學(xué)生就接受不了這樣的數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練，事實(shí)證明他們是可以的.

四、教學(xué)目標(biāo)

（1）通過演算、歸納并證明冪的運(yùn)算性質(zhì)（同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方、積的乘方、同底數(shù)冪的除法），讓學(xué)生在此過程中感受從特殊到一般、從一般到特殊的數(shù)學(xué)思想方法.

（2）通過乘除互逆，體會同底數(shù)冪除法與乘法的關(guān)聯(lián)，以及零指數(shù)冪、負(fù)整指數(shù)冪作為特例來理解.

（3）運(yùn)用冪的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行簡單的運(yùn)算，掌握運(yùn)算背后的算理.

（4）著重激發(fā)、訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力、邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

五、教學(xué)重難點(diǎn)

（1）重點(diǎn)：冪的運(yùn)算性質(zhì)的探究、證明與簡單應(yīng)用.

（2）難點(diǎn)：冪的六種運(yùn)算性質(zhì)的證明及應(yīng)用.

六、教學(xué)過程

（一）創(chuàng)設(shè)問題情境導(dǎo)入

師：我們現(xiàn)在研究的數(shù)學(xué)主要有哪些內(nèi)容？（代數(shù)和幾何）

師2：前一章圖形研究告一段落，今天我們再次進(jìn)入代數(shù)領(lǐng)域的學(xué)習(xí).代數(shù)的學(xué)習(xí)離不開最基本的內(nèi)容，那就是——（運(yùn)算）

師：54是什么運(yùn)算？它的意義及各部分的名稱是什么？5n（n為正整數(shù)）呢？an（n為正整數(shù)）呢？乘方的意義是什么？（復(fù)習(xí)）

設(shè)計(jì)意圖：建構(gòu)“冪的運(yùn)算”，來自內(nèi)部，簡單純粹.從數(shù)學(xué)兩大領(lǐng)域引出運(yùn)算與冪，體現(xiàn)了教師的整體教學(xué)觀.從舉例到猜想、從數(shù)字到字母，從學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，通過回顧乘方運(yùn)算，引出同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方、積的乘方、同底數(shù)冪的除法等課題.

（二）性質(zhì)探究

猜想1：[anam=an+m]（m、n都是正整數(shù)）.能否運(yùn)用乘方意義驗(yàn)證？

舉例：略.

猜想：[am·an=am+n]（教師引導(dǎo)補(bǔ)充：m、n為正整數(shù)）.

驗(yàn)證：

[am·an= ][（a·a·…·a）m個·（a·a·…·a）n個]（乘方的意義）

[=a·a·…·a（m+n）個]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（乘法的運(yùn)算律）

[=am+n]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （乘方的意義）

性質(zhì)：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.

鞏固練習(xí)：

計(jì)算：（1）[c·c11];（2）[（-b）3×（-b）2];（3）[-b2·b3].

問題：在探究同底數(shù)冪的乘法法則的過程中，我們經(jīng)歷了怎樣的過程？其中蘊(yùn)含了怎樣的數(shù)學(xué)思想方法？（舉例—猜想—驗(yàn)證，從特殊到一般）

猜想2：[（am）n=amn].

問題：你能用類似的方法來探究另外幾個冪的運(yùn)算的規(guī)律嗎？

（學(xué)生先獨(dú)立研究，再小組交流，最后小組代表進(jìn)行展示.）

猜想：[（am）n=amn]·（m、n為正整數(shù)）.

驗(yàn)證：

[（am）n=am·am·am·…·amn個]? （乘方的意義）

[=am+m+m+…+mn個]? ? ? ? （同底數(shù)冪的乘法法則）

[=amn]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（乘法的定義）

性質(zhì)：冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘.

[（a）mn=]？（m，n為正整數(shù)） 只有這一種可能嗎？

[（a）mn=（an）m]也可以[（a）mn=（am）n].

鞏固練習(xí)：

計(jì)算：（1）[-（a2）5];（2）[5·（y2）2n;（3）（x3）4·x2].

猜想3：[（ab）n=anbn] （n為正整數(shù)）.

驗(yàn)證：

[（ab）n=（ab）·（ab）·（ab）·（ab）·（ab）n個]? （乘方的意義）

[=（a·a·a·a）n個·（b·b·b·b）n個]? ? ? ?（乘法的運(yùn)算律）

[=anbn]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （乘方的意義）

性質(zhì)：積的乘方等于每個因式的乘方的積.

推廣：[am·an·ak]（m、n、k都是正整數(shù)）等于多少？

鞏固練習(xí)：

計(jì)算：（1）[x3·x5+（x2）4+（-2x4）2];（2）[（-3n）3];（3） [（y2z3）3].

注意：

（1）底數(shù)必須是乘積的形式，要看清有幾個因式.

（2）底數(shù)含“-”時，應(yīng)將其視為“-1”，作為一個因式，防止漏乘.

設(shè)計(jì)意圖：通過適當(dāng)練習(xí)，深化理解.建構(gòu)完整的內(nèi)容框架后，再逐一探究、展示.作為單元教學(xué)中的第一課時，將數(shù)學(xué)知識進(jìn)行統(tǒng)籌，系統(tǒng)思維，這正是基于整體教學(xué)的需要.以乘方的意義貫穿始終，埋下整章知識的邏輯主線.力求改變規(guī)則教學(xué)中只注重掌握結(jié)果再熟練運(yùn)算的做法，更多關(guān)注了規(guī)則的發(fā)生、發(fā)展以及思想方法的滲透，關(guān)注數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)化，步步有據(jù).從特殊到一般、從一般到特殊、分類、類比轉(zhuǎn)化等多種思想方法的滲透旨在提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

（三）練習(xí)反饋

1.計(jì)算，結(jié)果用冪的形式表示.

（1）[（2x+1）2·（2x+1）5];

（2）[（a-b）5·（a-b）2];（3）[a4·a6+a5·a5].

2.計(jì)算.

（1）[（m-n）·（m-n）2·（m-n）5];

（2）[an·an+1+a2n·a]（n是正整數(shù)）.

設(shè)計(jì)意圖：簡單應(yīng)用，回歸性質(zhì)，明白算理.一要能準(zhǔn)確分辨運(yùn)算的類型（是什么），二要能說出具體運(yùn)算的過程（怎么算），三要明白其中的道理（為什么）.

（四）層層遞進(jìn)

師：研究了乘法，你覺得后面我們還會研究什么內(nèi)容？對于同底數(shù)冪的除法是不是也有規(guī)律和法則呢？如何研究？

同底數(shù)冪的除法法則的推導(dǎo).

當(dāng)[a≠0]，m、n是正整數(shù)，且[m>n]時，

[am÷an=aman=a·a·…·a（? ? ? ? ? ）個aa·a·…·a（? ? ? ? ? ）個a=a·a·…·a（? ? ? ? ? ）個a·a·a·…·an個aa·a·…·an個a=a? ? ? ? ? ?].

歸納法則：

同底數(shù)冪的除法：

.

特例：

1.零指數(shù)冪

（1）符號語言：[a0 = 1 （a≠0）];

（2）文字語言：任何不等于0 的數(shù)的0次冪等于1.

2.負(fù)整數(shù)指數(shù)冪

（1）符號語言：[a-n? = 1an]（[a≠0]，n是正整數(shù)）;

（2）文字語言：任何不等于0的數(shù)的[-n]（n是正整數(shù)）次冪，等于這個數(shù)的n次冪的倒數(shù).

師：運(yùn)用今天學(xué)過的知識，你會證明嗎？

（五）拓展

1.（1）[23÷24]等于幾？

（2）能利用同底數(shù)冪除法的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算嗎？

（3）[am÷an=am-n]中對于m、n的要求是[m>n]，我們有必要對此做出修改嗎？怎么改？同底數(shù)冪的除法和乘法什么關(guān)系？

2.下面的計(jì)算是否正確？如有錯誤，請改正.

（1）[a8÷a4=a2];

（2）[t10÷t9=t];

（3）[m5÷m=m5];

（4）[（-z）6÷（-z）2=-z4].

3.計(jì)算 [（3-π）0+（-0.2）-2] = .

4.若[（x-2）0]有意義，則x .

（六）課堂小結(jié)

師：同底數(shù)冪的乘法、除法、積的乘方、冪的乘方等法則的正用、逆用以及其他復(fù)雜運(yùn)算，都是我們學(xué)習(xí)的內(nèi)容，萬變不離不宗，只要同學(xué)們善于思考、積極思考，就一定能領(lǐng)悟數(shù)學(xué)真諦，體會學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的快樂.通過本節(jié)課，我們把冪的這幾種運(yùn)算整合在一起，高屋建瓴，使大家對冪有一個整體的認(rèn)知.隨后的幾節(jié)課，我們將通過對具體的習(xí)題的練習(xí)，進(jìn)一步加深理解.

設(shè)計(jì)意圖：從知識、思想、方法等角度回顧并延伸所學(xué)，并賦予同本節(jié)課相關(guān)的解釋，升華了數(shù)學(xué)思想，有層次、有深度，體現(xiàn)了課堂的完整性.

（七）板書設(shè)計(jì)

<F：＼茂恒＼雜志社＼中學(xué)教學(xué)參考第9期（中旬）＼s8-24.tif>

（八）課后反思

通過本節(jié)課的建構(gòu)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).本節(jié)課著重訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力、邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.隨后的幾節(jié)課，將通過對具體的習(xí)題的練習(xí)，進(jìn)一步加深學(xué)生對相關(guān)知識的理解，逐步使學(xué)生會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界、表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界.

這樣的數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練，不可能一次就使得學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力、抽象能力突飛猛進(jìn)，但是在長期的過程中堅(jiān)持這種訓(xùn)練，學(xué)生必有長足的進(jìn)步.

長期以來，教學(xué)中教師整體思維、邏輯思維等匱乏，以及碎片化教學(xué)使得課堂教學(xué)事倍功半.整體性教學(xué)設(shè)計(jì)可以讓學(xué)生先見森林，再見樹木，最后又見森林.數(shù)學(xué)教學(xué)的價值在于發(fā)現(xiàn)學(xué)生的思維，在這個過程中，需要教師的引領(lǐng)和激發(fā)，學(xué)生有發(fā)現(xiàn)問題的快樂，進(jìn)而進(jìn)一步促進(jìn)其自主學(xué)習(xí)，這樣，教育的目的就達(dá)到了.

進(jìn)行整體性的教學(xué)設(shè)計(jì)需要符合學(xué)科特點(diǎn)，符合基于學(xué)科素養(yǎng)的教學(xué)要求.因此，教師要仔細(xì)推敲并進(jìn)行剖析，找到教學(xué)設(shè)計(jì)的關(guān)鍵點(diǎn).謹(jǐn)以此文拋磚引玉，期望得到各位同仁指正.

[? ?參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ?]

[1]? 劉永鳳.國際“核心素養(yǎng)”研究的最新進(jìn)展及啟示[J].全球教育展望，2017（2）：31-41+98.

[2]? 卜以樓.“再探冪的運(yùn)算”教學(xué)設(shè)計(jì)[J].江蘇教育，2017（11）：29-32.

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）