宋艷 杜崗

[摘 要]分析主線問題背景和數(shù)學(xué)建模教學(xué)現(xiàn)狀，闡述這兩個(gè)概念的內(nèi)涵，構(gòu)建主線問題范式與數(shù)學(xué)建?？蚣艿穆?lián)系示意圖，闡述兩者融合的特征及意義，結(jié)合教學(xué)實(shí)踐從三個(gè)方面提出以主線問題發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的實(shí)施路徑，即創(chuàng)設(shè)主線問題情境，建立模型基礎(chǔ);依托主線問題探索，經(jīng)歷建模過程;利用主線問題拓展，重視模型應(yīng)用。

[關(guān)鍵詞]主線問題;模型思想;數(shù)學(xué)建模

[中圖分類號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2021）35-0037-04

一、引言：主線問題和數(shù)學(xué)建模的提出與思考

（一）關(guān)注數(shù)學(xué)建模能力

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)這樣的現(xiàn)象：對(duì)于簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問題，學(xué)生一般很快就能找到解題思路，但對(duì)于文字較多、語言描述復(fù)雜的實(shí)際問題，就會(huì)有學(xué)生出現(xiàn)讀不懂題意、思路不清且無從下手的情況。究其原因，表面上看是學(xué)生審題能力薄弱，仔細(xì)分析，其實(shí)是學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力薄弱。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱“課標(biāo)”）提出了十個(gè)核心詞，“模型思想”是其中之一。其實(shí)，數(shù)學(xué)建模就是構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，它是提高學(xué)生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的一個(gè)重要方面。一個(gè)復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，去其外衣，取其本質(zhì)，其實(shí)就是一個(gè)簡(jiǎn)單問題或幾個(gè)簡(jiǎn)單問題的交叉呈現(xiàn)。數(shù)學(xué)問題的解決，從根本上說就是一個(gè)數(shù)學(xué)化的過程，將所要解決的問題進(jìn)行抽象，挖掘其內(nèi)在本質(zhì)，將生活中的問題數(shù)學(xué)化，建立數(shù)學(xué)模型，提煉出對(duì)應(yīng)的解題方法。學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力一般在初高中階段比較受重視，在小學(xué)階段提及和研究的并不多。其實(shí)，從小培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模能力能為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，使學(xué)生終身受益，因此教師應(yīng)在小學(xué)階段就重視培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力。

（二）轉(zhuǎn)變課堂教學(xué)方式

課標(biāo)還提出，要重視學(xué)生在學(xué)習(xí)活動(dòng)中的主體地位。數(shù)學(xué)課堂要轉(zhuǎn)變教學(xué)方式，以學(xué)生為中心，把學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性調(diào)動(dòng)起來，使學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)。主線問題教學(xué)方式就是把學(xué)生放在主體地位，實(shí)行啟發(fā)式教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)。主線問題的提出能夠產(chǎn)生各種積極的教學(xué)效果，它能為學(xué)生提供積極思考的時(shí)間，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力;能為學(xué)生提供主動(dòng)探究的空間，使學(xué)生通過動(dòng)手實(shí)踐、自主探索、合作交流等學(xué)習(xí)方式，培養(yǎng)分析和解決問題的能力;能提高學(xué)生的學(xué)習(xí)意識(shí)，有效激發(fā)學(xué)生的積累、反思、質(zhì)疑和創(chuàng)新意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

（三）依托主線問題教學(xué)

隨著課程改革的大力推進(jìn)，近年來，教師對(duì)在小學(xué)階段培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力這方面也越來越重視。教學(xué)中，如何讓學(xué)生樹立模型意識(shí)，有效探尋解決問題的方法，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力呢？結(jié)合自身的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，筆者依托主線問題教學(xué)，研究發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的實(shí)踐路徑。主要是以主線問題引領(lǐng)數(shù)學(xué)教學(xué)，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，激發(fā)學(xué)生的探究欲望，使學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模過程，啟迪數(shù)學(xué)思維，培養(yǎng)數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力，推動(dòng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)落地。

二、闡述：主線問題和數(shù)學(xué)建模的內(nèi)涵與價(jià)值

（一）主線問題和數(shù)學(xué)建模的內(nèi)涵

1.主線問題的概念

主線問題是依據(jù)學(xué)生認(rèn)知水平，針對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容核心進(jìn)行發(fā)問，直指數(shù)學(xué)本質(zhì)、凝聚教學(xué)重難點(diǎn)、引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行自主學(xué)習(xí)、探究學(xué)習(xí)和合作學(xué)習(xí)的主要問題。它是課堂的“課眼”，是文本的“文眼”，是引領(lǐng)課堂的重要問題、核心問題和關(guān)鍵問題。主線問題教學(xué)是為了不教而問，它能夠強(qiáng)調(diào)課堂教學(xué)的主要內(nèi)容，厘清課堂教學(xué)的邏輯結(jié)構(gòu)，便于教學(xué)目標(biāo)的有效達(dá)成。主線問題可以充分發(fā)揮學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性，使學(xué)生的思維更具開放性。

2.數(shù)學(xué)建模的詮釋

課標(biāo)指出，模型思想的建立是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。數(shù)學(xué)模型是用數(shù)學(xué)語言概括地或近似地描述現(xiàn)實(shí)世界事物的特征、數(shù)量關(guān)系和空間形式的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)建模就是建立數(shù)學(xué)模型的過程，包括對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行提煉、抽象、簡(jiǎn)化，以及確立、求解、驗(yàn)證、解釋、應(yīng)用和拓展數(shù)學(xué)模型的過程。

（二）主線問題和數(shù)學(xué)建模的聯(lián)系

以主線問題發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力主要是指在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中設(shè)計(jì)課堂主線問題，通過主線問題的提出與解決，激發(fā)學(xué)生的探究欲望，結(jié)合師生、生生的互動(dòng)學(xué)習(xí)，讓學(xué)生在經(jīng)歷提煉、抽象、簡(jiǎn)化、驗(yàn)證、應(yīng)用和拓展等活動(dòng)過程中，培養(yǎng)自主學(xué)習(xí)的意識(shí)，發(fā)展數(shù)學(xué)建模能力。

主線問題教學(xué)的一般范式為“問題引領(lǐng)，凸顯目標(biāo)—?jiǎng)邮謱?shí)踐，自主探究—交流展示，完善認(rèn)知—鞏固練習(xí)，拓展應(yīng)用—課堂總結(jié)，知識(shí)提升”。數(shù)學(xué)建模過程為“分析問題—提煉數(shù)學(xué)信息—建立模型—求解模型—驗(yàn)證模型—應(yīng)用模型”。在課堂教學(xué)中，筆者嘗試將兩者進(jìn)行融合，使兩者相互聯(lián)系、相互影響。具體過程與聯(lián)系如圖1所示：

從圖中可以看出，主線問題引領(lǐng)教學(xué)，使學(xué)生在實(shí)際情境中發(fā)現(xiàn)并提出問題;主線問題啟發(fā)學(xué)生主動(dòng)探索，讓學(xué)生在活動(dòng)的過程中抽象并建立數(shù)學(xué)模型;主線問題鼓勵(lì)學(xué)生交流展示，幫助學(xué)生求解驗(yàn)證模型;主線問題重視鞏固提升，讓學(xué)生應(yīng)用拓展模型。主線問題教學(xué)與數(shù)學(xué)建模雖是獨(dú)立存在的兩個(gè)過程，但彼此之間又緊密聯(lián)系，相互影響、相互促進(jìn)。這既可以提高學(xué)生的自主學(xué)習(xí)意識(shí)，又能夠發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力。

（三）主線問題和數(shù)學(xué)建模的價(jià)值

1.主線問題具有引領(lǐng)性，幫助學(xué)生建立建模基礎(chǔ)

課標(biāo)指出，要增強(qiáng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力。主線問題具有引領(lǐng)性，主要表現(xiàn)在能夠促使學(xué)生對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行提煉、抽象和簡(jiǎn)化。通過創(chuàng)設(shè)良好的學(xué)習(xí)情境提出主線問題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引領(lǐng)學(xué)生由生活走向數(shù)學(xué)，在閱讀理解的過程中提煉出數(shù)學(xué)元素，在多元條件中抽離出數(shù)學(xué)問題，從而培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力，這是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的基礎(chǔ)。

2.主線問題具有探究性，啟發(fā)學(xué)生建立模型結(jié)構(gòu)

建構(gòu)主義理論的核心是以學(xué)生為中心，強(qiáng)調(diào)學(xué)生對(duì)知識(shí)的主動(dòng)探索、主動(dòng)發(fā)現(xiàn)和對(duì)所學(xué)知識(shí)意義的主動(dòng)建構(gòu)。主線問題具有探究性，教師會(huì)向教學(xué)內(nèi)容的核心進(jìn)行發(fā)問，直指數(shù)學(xué)本質(zhì)，突出教學(xué)重難點(diǎn)，促使學(xué)生主動(dòng)探究。學(xué)生通過觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、計(jì)算、推理等活動(dòng)，對(duì)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行確立、求解和驗(yàn)證，建立數(shù)學(xué)模型。

3.主線問題具有開放性，促進(jìn)學(xué)生進(jìn)行模型應(yīng)用

數(shù)學(xué)家弗賴登塔爾指出，數(shù)學(xué)來源于現(xiàn)實(shí)，也必須扎根于現(xiàn)實(shí)，并且應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要目的是讓學(xué)生運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)去解決生活中的問題。主線問題具有開放性，學(xué)生在歸納總結(jié)數(shù)學(xué)問題的基礎(chǔ)上，將解決問題的方法和思路進(jìn)行拓展，運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解釋生活中的現(xiàn)象，對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行再認(rèn)識(shí)。學(xué)生在反思的過程中，對(duì)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行解釋、應(yīng)用和提升，體會(huì)數(shù)學(xué)模型的價(jià)值，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。

三、探索：主線問題和建模能力的實(shí)踐與路徑

（一）創(chuàng)設(shè)主線問題情境，建立模型基礎(chǔ)

1.聯(lián)系生活素材提出主線問題，豐富數(shù)學(xué)模型表象

課標(biāo)指出，呈現(xiàn)的素材應(yīng)貼近學(xué)生現(xiàn)實(shí)。創(chuàng)設(shè)主線問題現(xiàn)實(shí)情境，讓學(xué)生經(jīng)歷從現(xiàn)實(shí)生活情境中抽象出數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的過程，豐富模型表象。著名特級(jí)教師黃愛華在“認(rèn)識(shí)圓”一課中就充分利用了生活中的素材。課堂上，黃老師出示一張下水道井蓋的圖片，并提出以下問題：

主線問題1：下水道的井蓋為什么是圓的？

主線問題2：為什么井蓋不管怎么放都掉不下去？

主線問題3：為什么車輪是圓的，不是方的？

“下水道的井蓋為什么是圓的？”這個(gè)問題引發(fā)了學(xué)生的一系列思考。學(xué)生根據(jù)黃老師的引領(lǐng)性問題展開想象，帶著好奇心和疑問自然地進(jìn)入課堂，試著把生活語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，在思考的過程中初步感受圓的特征，建立圓的模型基礎(chǔ)。而后，黃老師提出“為什么井蓋不管怎么放都掉不下去？”“車輪為什么是圓的，不是方的？”主線問題，帶領(lǐng)學(xué)生思考與探索圓的本質(zhì)特征，并揭示直徑的概念。學(xué)生依據(jù)自己的經(jīng)驗(yàn)展開研究，體會(huì)到數(shù)學(xué)模型從生活中來又用于生活，使教學(xué)走向深入。

2.選擇典型素材提出主線問題，深入理解數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)模型的建立就是要讓學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界的聯(lián)系。課堂上提供的素材要與需要建立的數(shù)學(xué)模型保持高度一致，這樣才有利于學(xué)生進(jìn)行觀察、比較、抽象和概括等活動(dòng)。以著名特級(jí)教師吳正憲老師的“乘法分配律”教學(xué)為例，吳老師先后呈現(xiàn)三幅情境圖（如圖2、圖3、圖4），提出以下主線問題：

主線問題1：一共有多少朵花？一共是多少平方米？

主線問題2：一共要鋪多少平方米的瓷磚？

主線問題3：這座大橋全長多少米？

這里的三個(gè)素材都具有典型性，這些情境結(jié)構(gòu)與乘法分配律的表達(dá)形式高度一致。學(xué)生可以在解決實(shí)際問題的過程中感受到乘法分配律的存在，積累建立乘法分配律這一模型的直觀形象材料。

3.利用有趣素材提出主線問題，滲透數(shù)學(xué)模型思想

教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)選擇適合兒童年齡特點(diǎn)且有趣的素材，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使他們?cè)谟腥さ那榫持懈形驍?shù)學(xué)模型。

以“簡(jiǎn)單周期”一課的教學(xué)為例。

教師出示故事：從前有座山，山里有座廟，廟里有個(gè)老和尚，老和尚對(duì)小和尚說從前有座山，山里有座廟，廟里有個(gè)老和尚，老和尚對(duì)小和尚說……

師生齊讀這個(gè)故事后，教師提出主線問題1：你們的聲音為什么越來越小了？

生：這個(gè)故事有幾句話不斷重復(fù)出現(xiàn)，講不完。

教師相機(jī)引出周期問題，揭示課題。

教師出示兒歌：一二三四五，上山打老虎，老虎不在家，我們就捉它。

教師出示游戲規(guī)則：8個(gè)學(xué)生做游戲，全班一起邊唱兒歌邊數(shù)，誰輪到“它”字就被淘汰，進(jìn)行三輪。

教師提出主線問題2：猜一猜，下一個(gè)淘汰的是誰？

學(xué)生在一輪輪游戲中認(rèn)識(shí)到周期數(shù)量逐漸減少，并通過口頭計(jì)算，猜測(cè)哪位同學(xué)被淘汰，再用數(shù)的方法來驗(yàn)證。

兒歌是學(xué)生喜歡的素材，教師提供學(xué)生感興趣的素材有助于提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解。學(xué)生在唱兒歌和做游戲的過程中感受周期現(xiàn)象，加深對(duì)周期問題計(jì)算方法的理解，感悟模型思想，體會(huì)建模過程。

（二）依托主線問題探索，經(jīng)歷建模過程

教師在進(jìn)行教學(xué)時(shí)，對(duì)于書本中的某些原理、定律、公式，不能只讓學(xué)生記住，還要讓學(xué)生明白它們是怎么得來的。啟發(fā)學(xué)生分析和解決數(shù)學(xué)問題，讓學(xué)生依托主線問題經(jīng)歷探索的過程，數(shù)學(xué)模型才得以有效建立。主線問題教學(xué)需要給學(xué)生提供足夠的時(shí)間和空間，讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、計(jì)算、推理、驗(yàn)證等過程。接下來以蘇教版教材六年級(jí)下冊(cè)P28～29的“解決問題的策略”教學(xué)為例進(jìn)行探討。

1.主線問題引領(lǐng)學(xué)生理解題意，抓住建模起點(diǎn)

培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，首先要提高學(xué)生的閱讀理解能力和數(shù)學(xué)能力。主線問題的提出能夠引導(dǎo)學(xué)生準(zhǔn)確理解題意，有效提取題目中的關(guān)鍵數(shù)學(xué)信息和把握這些數(shù)學(xué)信息之間的聯(lián)系。這是學(xué)生解決實(shí)際問題的基礎(chǔ)，也是數(shù)學(xué)建模的起點(diǎn)。

教師出示問題：全班42人去公園劃船，租10只船正好坐滿。每只大船坐5人，每只小船坐3人。各租了幾只大船和小船？

教師提出主線問題1：仔細(xì)讀題，你能找到哪些數(shù)學(xué)信息？大船和小船的數(shù)量需要滿足哪些條件？

解決問題的前提是理解題意。教師讓學(xué)生從題目中尋找數(shù)學(xué)信息，并提出“大船和小船的數(shù)量滿足哪些條件？”這一主線問題，促使學(xué)生深入思考，初步感知關(guān)鍵信息之間的聯(lián)系，為建立數(shù)學(xué)模型奠定基礎(chǔ)。

2.主線問題引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)探索，抽象模型結(jié)構(gòu)

主線問題教學(xué)需要培養(yǎng)學(xué)生的主動(dòng)探索的能力，讓學(xué)生成為真正的探索者。豐富的活動(dòng)可以幫助學(xué)生深入理解知識(shí)，優(yōu)化知識(shí)結(jié)構(gòu)，提高抽象和概括能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模能力。

教師提出主線問題2：你打算怎樣解決這個(gè)問題？說說你的想法。

生1：畫圖分析。（如圖5）

生2：列表分析。（如表1）

生3：用假設(shè)法分析。（如表2）

師：選擇寫一寫、畫一畫、算一算其中一種方法解答。

學(xué)生之前已經(jīng)學(xué)過畫圖、列表、列舉、轉(zhuǎn)化、假設(shè)、替換等多種解決問題的策略。教師提出主線問題“你打算怎樣解決這個(gè)問題？”，讓學(xué)生通過動(dòng)手實(shí)踐、自主探索和合作交流等活動(dòng)分析、解決問題。學(xué)生給出多樣的解決問題策略，在自主探索的過程中初步感悟“假設(shè)—驗(yàn)證—調(diào)整”的思考步驟，經(jīng)歷建模過程。

3.主線問題驅(qū)動(dòng)學(xué)生交流完善，求解驗(yàn)證結(jié)果

主線問題的提出可以驅(qū)動(dòng)學(xué)生交流反思，經(jīng)歷求解驗(yàn)證模型結(jié)果的過程，完善數(shù)學(xué)模型。

教師提出主線問題3：用畫圖、列舉、假設(shè)等策略解決這個(gè)問題時(shí)，有什么相同的地方？

生4：我是先假設(shè)，再計(jì)算驗(yàn)證，然后不斷調(diào)整，直到得出答案。

生5：我是先假設(shè)，然后列算式得出答案的。（如圖6和圖7）

在學(xué)生得到正確答案之后，教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思，回顧解決問題的思路，梳理策略的應(yīng)用過程。學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)到無論運(yùn)用哪種策略都要經(jīng)歷“先假設(shè)（或猜想），再驗(yàn)證和調(diào)整”這一過程。另外，教學(xué)中，也有學(xué)生在探索的過程中總結(jié)出列式的方法，比如假設(shè)都租大船或都租小船，找出總?cè)藬?shù)的差與大小船限乘的人數(shù)差的聯(lián)系，從而求出大小船只數(shù)。而這正是解決“雞兔同籠”實(shí)際問題方法的提煉，學(xué)生在不斷嘗試、計(jì)算、驗(yàn)證等過程中建立數(shù)學(xué)模型。

（三）利用主線問題拓展，重視模型應(yīng)用

在學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型之后提出拓展性主線問題，可以引導(dǎo)學(xué)生利用模型解決實(shí)際問題，幫助學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)模型的價(jià)值，并在解釋和應(yīng)用數(shù)學(xué)模型的過程中，發(fā)展學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界、用數(shù)學(xué)的思維解決問題的能力，發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)。

1.設(shè)置鞏固性主線問題，加強(qiáng)數(shù)學(xué)模型運(yùn)用

學(xué)生在建立數(shù)學(xué)模型后，可以從一個(gè)問題的解決，概括總結(jié)出一類問題的解決方法，以加強(qiáng)數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用。教學(xué)中設(shè)置鞏固性主線問題，充分發(fā)揮學(xué)生的理解力和想象力，通過列舉幫助學(xué)生強(qiáng)化理解數(shù)學(xué)模型，感受數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用價(jià)值。

例如，在認(rèn)識(shí)方程后，可以給學(xué)生出示一個(gè)方程，如[5x=20]，然后提出主線問題：“這個(gè)方程可以表示什么？”學(xué)生結(jié)合自己的生活經(jīng)驗(yàn)，尋找可以與這個(gè)方程相匹配的事例進(jìn)行闡述，這既能讓數(shù)學(xué)模型與生活實(shí)際聯(lián)系起來，又可以強(qiáng)化經(jīng)歷方程建模的全過程，使學(xué)生的思維由算術(shù)思維不斷向代數(shù)思維過渡，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，強(qiáng)化數(shù)學(xué)模型應(yīng)用能力。

2.引出拓展性主線問題，促進(jìn)數(shù)學(xué)模型推廣

提出拓展性主線問題，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)已經(jīng)抽象出的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行變式，通過分析不同情況之間的聯(lián)系，加深對(duì)數(shù)學(xué)模型概念的認(rèn)知，形成網(wǎng)狀知識(shí)結(jié)構(gòu)，豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)數(shù)學(xué)模型推廣。

例如，“速度×?xí)r間=路程”是小學(xué)階段的一個(gè)基本模型。學(xué)生在經(jīng)歷抽象、概括等活動(dòng)得到數(shù)學(xué)模型后，通過改變實(shí)際問題推出“路程[÷]速度=時(shí)間”“路程[÷時(shí)間]=速度”兩個(gè)數(shù)量關(guān)系式，這是數(shù)學(xué)模型的拓展。同時(shí)，還可以用得到的數(shù)學(xué)模型解釋生活中的一些現(xiàn)象。在練習(xí)中，可以提出拓展性主線問題：“打雷時(shí)，為什么人們總是先看到閃電，后聽到雷聲呢？”當(dāng)學(xué)生回答“因?yàn)楣獾膫鞑ニ俣缺嚷曇舻目臁焙螅處熆梢皂槃?shì)解釋：“就像賽跑一樣，同樣的路程，速度快的人先跑到終點(diǎn)。因此，我們一般先看到閃電，后聽到雷聲?！睂W(xué)生在變式練習(xí)以及拓展應(yīng)用中進(jìn)一步感受建立數(shù)學(xué)模型的重要性，進(jìn)而推廣數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用。

3.提出反思性主線問題，體會(huì)數(shù)學(xué)模型價(jià)值

數(shù)學(xué)模型是從現(xiàn)實(shí)原型中抽象出來的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，在形成具體的數(shù)學(xué)模型后，教師要提出反思性主線問題，使學(xué)生學(xué)會(huì)舉一反三、觸類旁通，形成一個(gè)整體的認(rèn)知，為未來學(xué)習(xí)相關(guān)知識(shí)做好鋪墊，創(chuàng)造出數(shù)學(xué)建模的更高境界。

例如，前面提到的“雞兔同籠”問題，它的數(shù)學(xué)模型可以延伸到初中的二元一次方程。教學(xué)中，教師向?qū)W生介紹教材中的“你知道嗎”，使學(xué)生了解“雞兔同籠”問題是我國古代的數(shù)學(xué)名題。教師隨后提出反思性主線問題：“‘雞兔同籠’問題為什么有如此大的魅力？”經(jīng)過討論，學(xué)生加深了對(duì)“雞兔同籠”問題的認(rèn)識(shí)，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到“雞兔同籠”問題不是憑空想象的，生活中確實(shí)有很多這樣的問題。如汽車和自行車輪子數(shù)的問題、乒乓球單打和雙打人數(shù)的問題、儲(chǔ)錢罐里1角硬幣和5角硬幣數(shù)量的問題、籃球運(yùn)動(dòng)員投中3分球和2分球數(shù)量的問題……學(xué)生在提出這些問題的過程中舉一反三，進(jìn)一步經(jīng)歷抽象的過程，為今后學(xué)習(xí)二元一次方程積累了經(jīng)驗(yàn)，提高了數(shù)學(xué)建模能力。

總之，依托主線問題發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力不是一朝一夕能夠達(dá)成的，它是一個(gè)循序漸進(jìn)的過程，需要教師在平時(shí)的課堂教學(xué)中一點(diǎn)一滴地滲透。教師可以有目的地深入研究教材，把握教學(xué)內(nèi)容核心;有組織地引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷建模過程，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性;有意識(shí)地拓展學(xué)習(xí)內(nèi)容，注重?cái)?shù)學(xué)模型的應(yīng)用。

（責(zé)編 吳美玲）