胡劍

[摘? 要] 蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中適當(dāng)?shù)鼐幣帕艘恍八伎碱}”，這些思考題作為課程資源，為教師發(fā)展學(xué)生的智能和培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣， 提供了很好的、可利用的材料。隨著素質(zhì)教育的不斷深入，培養(yǎng)學(xué)生會(huì)思考、會(huì)學(xué)習(xí)，這些思考題起到了一定的作用。文章立足于教材中的三道思考題，尋求有效的教學(xué)策略，讓思考題“親民”，讓大多數(shù)學(xué)生跳一跳能摘到“果子”。

[關(guān)鍵詞] 覆蓋面;一般到特殊;解題策略;摘果子

蘇教版教材的練習(xí)設(shè)計(jì)有一個(gè)特點(diǎn)，會(huì)時(shí)不時(shí)給學(xué)生“加料”，在單元末尾來(lái)一道“菜”，用方框框起來(lái)，并標(biāo)有底色。學(xué)生習(xí)慣上叫這些 “方框題”為“附加題”或者“思考題”，遇到這種題目，聰明孩子摩拳擦掌躍躍欲試，一般的孩子則畏首畏尾無(wú)從落筆。2011版《小學(xué)數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)》明確要求，“人人能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展 [1]”，“人人”是就覆蓋面而言，良好的數(shù)學(xué)教育是應(yīng)該面向全體學(xué)生的，同時(shí)也要承認(rèn)學(xué)生存在差異，“不同的人”有不同的發(fā)展目標(biāo)。教材提供的思考題，既要讓全體學(xué)生得到發(fā)展，又要幫助學(xué)生建立自己的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的直覺(jué)，學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式進(jìn)行思考。

在蘇教版數(shù)學(xué)四下教材里，一共安排了三道思考題，第三單元“三位數(shù)乘兩位數(shù)”安排了一題，第六單元“運(yùn)算律”安排了兩題，這三道題都是放在該單元的最后一頁(yè)。這冊(cè)教材安排的這3題，我們需要教會(huì)學(xué)生些什么呢？

一、尋求解決問(wèn)題的方法——從一般到特殊

【例1】 蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材四下37頁(yè)：

這道題的出現(xiàn)，使得難度一下子拔高了許多，學(xué)生的錯(cuò)誤率一直居高不下。教師使出渾身解數(shù)，各種奇招，希望能把準(zhǔn)確率提高上去。題目中4、3、2、1、0五個(gè)數(shù)字中含有0，有一定的特殊性，“遇到特殊問(wèn)題，想想它的一般情形是什么;掌握了一個(gè)解個(gè)別問(wèn)題的方法，想想它能不能用來(lái)解別的更一般的問(wèn)題：這就是學(xué)數(shù)學(xué)時(shí)應(yīng)當(dāng)常常注意運(yùn)用的一種思考方法 [2]”，我們就從一般情況入手，先去掉特殊數(shù)字“0”，按下列情形逐步進(jìn)行探究：

情形一：把4、3、2、1放入□□×□□乘積最大是多少，最小是多少？

兩個(gè)數(shù)的首位應(yīng)該分別先放4和3，變成了4□×3□，接下來(lái)兩個(gè)數(shù)的第二位分別放2和1，只有兩種情況：42×31和41×32，筆算可以很容易算出，42×31=1302，41×32=1312，2放在3的后面乘積更大。還可以從算理上得到驗(yàn)證：4□×3□，不管后面怎么放，兩個(gè)數(shù)的首位都是四十幾乘三十幾得1200多一些，可以不去考慮。如果較大數(shù)2放在首位大數(shù)4的后面，那么2×3□得60多一些，而如果放在首位小數(shù)3后面，則是2×4□得80多，很明顯，較大數(shù)2放在首位較小數(shù)3后面，即41×32積會(huì)大。同理求最小，先取最小的兩個(gè)數(shù)1和2作為兩個(gè)數(shù)的首位，再取3和4，要使得積小，3放大數(shù)2后面，4放小數(shù)1后面，得14×23=322是最小。

情形二：把5、4、3、2、1放入□□□×□□乘積最大是多少？最小是多少？

先取5和4作兩個(gè)數(shù)的首位，再取3和2，3應(yīng)該放在小數(shù)4后面，2放在大數(shù)5的后面，得到52×43是最大的，1放大數(shù)52就是1×43=43，放小數(shù)43這邊就是1×52=52，顯然結(jié)論和前面一樣，應(yīng)該放在小數(shù)這邊積會(huì)更大些，即52×431=22412最大。積要最小，最后一個(gè)5放大數(shù)23后面，14×235=3290是最小的。

歸納總結(jié)：要想得到積最大，先選擇最大的兩個(gè)數(shù)字確定首位，再選次大的，大的跟在小的后面，小的跟在大的后面;要想得到積最小，先選擇最小的兩個(gè)數(shù)字確定首位，再選次小的，大的跟在大的后面，小的跟在小的后面。我們可以再試一些，比如1、2、4、7、9;或者4、6、7、8、9來(lái)驗(yàn)證思路的準(zhǔn)確性。為了便于記憶，編口訣“積最大，大跟小，小跟大;積最小，大跟大，小跟小”。

情形三：處理有0的特殊情況。回到教材上“思維題”，對(duì)于4、3、2、1、0，積最大沒(méi)有影響，可以照搬口訣完成前4個(gè)數(shù)字，得到41×32最大，最后一位0可以放在任意數(shù)的末尾，410×32或41×320。積最小，由于0不能作首位，先確定最小的兩位1和2作為兩個(gè)數(shù)的首位，接下來(lái)是0和3，“小跟小”，0在1的后面，3在2的后面，最后一位是4，4沒(méi)有跟誰(shuí)比，看作“大”的數(shù)， “大跟大”，更在23的后面。

積最大：41×320=13120;

積最?。?0×234=2340。

再來(lái)看看解決這個(gè)問(wèn)題的另外一種方法——“un筆順?lè)ā薄?/p>

仍然從一般情況來(lái)思考，先考慮沒(méi)有0的情況。

求最大：把a(bǔ)、b、c、d、e五個(gè)數(shù)字從大到小排列，分別擺在字母“u”的五個(gè)位置（如圖2），這五個(gè)位置的擺位是以書(shū)寫(xiě)字母“u”的筆順來(lái)定位的，乘積最大是：ad×bce。如果是數(shù)字1、2、3、4、5，用這個(gè)方法得到乘積最大的算式是：52×431=22412。

求最小：把a(bǔ)、b、c、d、e五個(gè)數(shù)字從小到大排列，分別擺在字母“n”的五個(gè)位置（如圖3），這五個(gè)位置的擺位是以書(shū)寫(xiě)字母“n”的筆順來(lái)定位的，乘積最小是：ac×bde。如果是數(shù)字1、2、3、4、5，用這個(gè)方法得到乘積最小的算式是：13×245=3185。

再考慮有0的情況：當(dāng)這個(gè)五個(gè)數(shù)字中有一個(gè)是0時(shí)，求積最大沒(méi)有問(wèn)題，本身0就是5個(gè)數(shù)字中最小的，按43210順序排，0排在最后，可以用“u”來(lái)做，很容易得到積最大的算式是41×320=13120;但求積最小時(shí)，按01234順序排，0不能排在首位，這里“0”的位置被安排在固定位置“C”位，剩下的4個(gè)數(shù)字從小到大排列在a、b、d、e的位置，得到積最小的算式10×234=2340。

這兩種方法，有兩個(gè)共同的特點(diǎn)，一是都從一般到特殊來(lái)研究，得出一般性的結(jié)論再來(lái)考慮特殊情況下需要打什么“補(bǔ)丁”，最后又回到一般情況來(lái)解決問(wèn)題，“由一般到特殊的學(xué)習(xí)路徑，且突出一般方法內(nèi)涵本質(zhì)的理解，更有利于幫助學(xué)生形成策略性知識(shí)，發(fā)展解決問(wèn)題的策略水平 [3]”;二是都有一個(gè)既定的“程式”需要學(xué)生來(lái)記憶，后者需要記住圖——“un筆順?lè)ā?，前者需要記住一句話——“口訣”，學(xué)好數(shù)學(xué)，“記功”功不可沒(méi)，各種運(yùn)算律、各種公式等等，是必須要記住的。但前者應(yīng)該更值得提倡，即使忘記了“口訣”，也可以從算理上重新求得，并且可以擴(kuò)展到三位數(shù)乘三位數(shù)，三位數(shù)乘四位數(shù)，四位數(shù)乘四位數(shù)……，都是適用的，這符合“新課標(biāo)”對(duì)第二學(xué)段倡導(dǎo)的“發(fā)展合情推理能力，能進(jìn)行有條理的思考”的目標(biāo)要求。

二、尋求練習(xí)的層次性——從最基礎(chǔ)出發(fā)

【例2】 蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)四下教材67頁(yè)：

在第六單元“運(yùn)算律”的最后，安排了這樣兩道簡(jiǎn)算題，無(wú)形中把乘法分配律的運(yùn)用提高了許多。這個(gè)單元有三個(gè)運(yùn)算律，乘法分配律是重點(diǎn)，也是一個(gè)難點(diǎn)，學(xué)生需要會(huì)運(yùn)用乘法分配律來(lái)進(jìn)行簡(jiǎn)算，教材給出的配套鞏固練習(xí)，都是基于乘法分配律的“模型”來(lái)設(shè)計(jì)的，（a+b）×c=a×c+b×c這個(gè)“模型”是學(xué)生必須要掌握的，這是利用運(yùn)算律解決其他較難題目的基本保證，“學(xué)生學(xué)習(xí)能力不同，導(dǎo)致對(duì)知識(shí)的理解、應(yīng)用能力也有所不同，所以，課堂練習(xí)的設(shè)計(jì)要有層次、有變化、有發(fā)展，適合班級(jí)每個(gè)學(xué)生的要求 [4]”，從而整體提高每個(gè)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。

第一層次練習(xí)，基本題，保證全體學(xué)生“吃得飽”：

68×35+68×65;36×42+42×64;75×25+25×25。

這類習(xí)題要求人人都掌握，直接套用乘法分配律“模型”，找到相對(duì)應(yīng)的a、b、c位置進(jìn)行解答。68×35+68×65=68×（35+65）;36×42+42×64=42×（36+64）;75×25+25×25=25×（75+25）。

第二層次練習(xí)，變形題，絕大多數(shù)學(xué)生“吃得好”：

45×99+45;45×101;63×99。

這類習(xí)題需要對(duì)題目進(jìn)行簡(jiǎn)單的“加工”，制造出乘法分配律的“模型”，變成第一層次類型的題。45×99+45=45×99+45×1;45×101=45×（100+1）;63×99=63×（100-1）。

第三層次練習(xí)，較難題，學(xué)有余力的學(xué)生“夠得著”：

75×280+750×72;66×27+33×46。

這類習(xí)題需要借助“積不變的規(guī)律”對(duì)原題進(jìn)行變換，改造出乘法分配律的“模型”：75×280+750×72，把75擴(kuò)大10倍，280縮小10倍得到算式750×28+750×72;66×27+33×46，把66縮小2倍，27擴(kuò)大2倍得到算式33×54+33×46。課本中的例2屬于這一類，360是36的10倍，999是111的9倍，相信大家會(huì)做了。

第四層次練習(xí)，競(jìng)賽題，少數(shù)學(xué)生可以頂頂腳跟去“摸一摸”：

280×234+1110×576+6540×28。

這類習(xí)題是多種知識(shí)的相互滲透，要從表面上雜亂無(wú)章的數(shù)來(lái)構(gòu)造出乘法分配律的模型。很顯然，因數(shù)28和280是一個(gè)突破口，先把280×234+6540×28改造成28×2340+6540×28，得到28×（2340+6540）=28×8880，這題就變成28×8880+1110×576，發(fā)現(xiàn)8880是1110的8倍，利用“積不變的規(guī)律”再構(gòu)造成28×8880+8880×72，再次變成了基本題。

上面四個(gè)層次的練習(xí)，不管是哪一層次，最后都要回到本源上來(lái)，這個(gè)本源就是教學(xué)大綱要求的“基礎(chǔ)知識(shí)”和“基本技能”，乘法分配律在初中階段是一個(gè)尋求公因數(shù)的過(guò)程，同時(shí)也是一個(gè)合并同類項(xiàng)的過(guò)程，在小學(xué)階段，是建立乘法分配律模型（a+b）×c=a×c+b×c的過(guò)程，是尋找或構(gòu)造相同數(shù)“c”的過(guò)程，遵循認(rèn)知規(guī)律，在思考的過(guò)程中，要引導(dǎo)學(xué)生用一雙“慧眼”去捕捉算式中各個(gè)因數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，做出適當(dāng)變換，轉(zhuǎn)化成基本題。

三、尋求解題的高效性——從“整體”來(lái)思考

【例3】 蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)四下教材71頁(yè)：

這是一道行程問(wèn)題里的“相遇問(wèn)題”。行程問(wèn)題的一個(gè)最基本數(shù)量關(guān)系是：速度×?xí)r間=路程，擴(kuò)展到相遇問(wèn)題，這個(gè)關(guān)系式變?yōu)椤八俣群汀料嘤鰰r(shí)間=相遇路程”。已知條件中“速度和”可以求到，相遇時(shí)間也有，現(xiàn)在“合”在一起來(lái)整體思考，（65+70）×5=675米，求得的是什么呢？當(dāng)然是相遇路程，這個(gè)相遇路程是橋長(zhǎng)嗎？這個(gè)時(shí)候就要分開(kāi)來(lái)考慮了?？梢耘浜暇€段圖來(lái)分析（如圖6）：

圖中可以看出，從出發(fā)到第二次相遇，小華走了一個(gè)橋長(zhǎng)多一些，小明也走了一個(gè)全程多一些，各自的多一些，合起來(lái)也是一個(gè)橋長(zhǎng)，兩個(gè)人一共走了3個(gè)橋長(zhǎng)。通過(guò)前面的“先整體來(lái)思考，再分開(kāi)來(lái)思考”，發(fā)現(xiàn)“速度和×相遇時(shí)間”原來(lái)就是3個(gè)全程，問(wèn)題得到解決：（65+70）×5÷3=225米。

我們可以繼續(xù)深究：如果兩個(gè)人經(jīng)過(guò)5分鐘是第三次相遇，結(jié)果又是怎么樣呢？先整體思考，“速度和×?xí)r間”先求得兩人行的總路程，這個(gè)思路是沒(méi)錯(cuò)的，需要思考的是一共行了幾個(gè)全程（橋長(zhǎng)），分開(kāi)來(lái)分析各自行的過(guò)程，不難發(fā)現(xiàn)小華行了2個(gè)全程多一點(diǎn)，小明也行了2個(gè)全程多一點(diǎn)，一共行了5個(gè)全程。（65+70）×5÷5=135米。第四次相遇呢？第五次相遇呢？都可以按照這個(gè)方法來(lái)解決問(wèn)題。

可以把下面一題引導(dǎo)學(xué)生來(lái)“跳一跳”，看看能不能“摸得著”：

植樹(shù)節(jié)到來(lái)，甲、乙、丙三個(gè)小隊(duì)去植樹(shù)，都領(lǐng)了同樣多的樹(shù)苗。這批樹(shù)苗甲隊(duì)植完需要10小時(shí)，乙隊(duì)植完要12小時(shí)，丙隊(duì)植完要15小時(shí)。同時(shí)開(kāi)工的時(shí)候丙小隊(duì)的樹(shù)苗給另外班級(jí)了，丙隊(duì)決定幫甲、乙兩隊(duì)一起完成，丙隊(duì)開(kāi)始幫甲隊(duì)一起，中途又轉(zhuǎn)向幫乙隊(duì)，最后這兩批樹(shù)苗同時(shí)植完。問(wèn)丙小隊(duì)幫了甲小隊(duì)幾小時(shí)？

先“合”，整體來(lái)思考，把甲乙兩隊(duì)的工作總量都看作單位“1”，總工作量就是“2”了，由于這些樹(shù)苗是三個(gè)小隊(duì)共同完成的，同時(shí)開(kāi)始，同時(shí)結(jié)束。先不考慮中間狀態(tài)，根據(jù)“工作總量÷工作效率=工作時(shí)間”可以求出這些樹(shù)苗一共需要幾小時(shí)植完。

列式：2÷++=8（小時(shí)）。

再“分”，思考丙先幫甲幾小時(shí)。這道題就變成：甲、丙共同植一批樹(shù)苗，如果甲隊(duì)單獨(dú)植需要10小時(shí)，丙隊(duì)單獨(dú)植需要15小時(shí)。丙隊(duì)因?yàn)橐鸵谊?duì)而離開(kāi)了，結(jié)果8小時(shí)植完了這批樹(shù)苗，問(wèn)丙做了幾小時(shí)后離開(kāi)。甲8小時(shí)一直在做，做了×8，剩下的是丙幫甲做的，幫了幾小時(shí)？

列式：1-×8÷=3（小時(shí)）。

先合再分，圓滿地解決了這個(gè)問(wèn)題。這里的“整體思維”起著至關(guān)重要的作用。解決問(wèn)題本無(wú)定法，追求高效是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的王道。

現(xiàn)今，對(duì)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的評(píng)價(jià)一般是7∶2∶1來(lái)分配的，基礎(chǔ)知識(shí)（基本題）占70%，是教材例題的復(fù)制，這是立身之本，學(xué)生必須要掌握;20%是基礎(chǔ)知識(shí)的延伸（中檔題），大部分學(xué)生能夠得分;而最后一成是比較難的，屬于教材里的“思考題”行列，學(xué)生“差異化”的表現(xiàn)就集中在這里。我們教師所做的，就是要把這些思考題變得“親民”些，讓大多數(shù)學(xué)生能體驗(yàn)到成功的喜悅。于是，從前面分析整冊(cè)教材安排的三道“思考題”之后，有了以下三點(diǎn)思考：

思考一：“跳一跳”怎么跳。抓基礎(chǔ)是王道。我們一直鼓勵(lì)學(xué)生要有“探險(xiǎn)”的精神，遇到難題要勇敢地去嘗試，但如果根基不牢，注定會(huì)碰得頭破血流。在例1中對(duì)求最大乘積與最小乘積中，表面上是只要去記住“口訣”，實(shí)際上“口訣”的背后是三位數(shù)乘兩位數(shù)的算理作支撐;例2中首先要對(duì)乘法分配律的“模型”熟悉，左邊到右邊、右邊到左邊的靈活切換，還有“數(shù)的分與合”“積不變的規(guī)律”應(yīng)用其中;例3中“速度、路程、時(shí)間”到“速度和、相遇路程、相遇時(shí)間”的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)變等。

思考二：“摘果子”怎么摘?！肮印焙芴?，摘之有“道”，怎么樣能采摘到，就要看你能否找到有效的解題策略。例1中兩種方法都很好，你是記“口訣”還是記“字母”，選擇適合自己的;例2中乘法分配律你能到達(dá)哪一層次，沒(méi)關(guān)系，一步一步來(lái)，從最基礎(chǔ)的開(kāi)始，總會(huì)找到突破口，公式（a+b）×c=a×c+b×c的那個(gè)“c”位一定在某個(gè)地方等你;例3中學(xué)會(huì)“整體”看世界，忽視繁雜的中間環(huán)節(jié)，前面豁然開(kāi)朗。

思考三：“助攻”怎么助。練習(xí)設(shè)計(jì)很重要。可以設(shè)計(jì)多解題，來(lái)訓(xùn)練學(xué)生思維的變通性;可以設(shè)計(jì)多變題（或多問(wèn)題），訓(xùn)練學(xué)生思維的多向性;可以設(shè)計(jì)開(kāi)放式習(xí)題，訓(xùn)練學(xué)生思維的廣闊性;可以設(shè)計(jì)層次性練習(xí)，訓(xùn)練學(xué)生思維的有序性。當(dāng)然，我們教師在“教學(xué)思考題時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)比較、思考、討論等方式，努力尋找解決問(wèn)題的突破口和解題思路，使大多數(shù)學(xué)生都能體會(huì)到解決問(wèn)題的樂(lè)趣，從而促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)與發(fā)展 [5]”。

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