周 鋒，徐天河

1. 山東科技大學(xué)測繪科學(xué)與工程學(xué)院，山東 青島 266590； 2. 山東大學(xué)空間科學(xué)研究院，山東 威海 264209

精密單點(diǎn)定位(precise point positioning，PPP)是指利用外部提供的高精度衛(wèi)星軌道和鐘差產(chǎn)品，在綜合考慮各項(xiàng)誤差精確改正的基礎(chǔ)上，采用合理的參數(shù)估計(jì)策略(如最小二乘或Kalman濾波等)，利用單臺GNSS接收機(jī)的載波相位和偽距觀測值實(shí)現(xiàn)全球高精度絕對定位(一般可達(dá)分米至毫米級)的一項(xiàng)技術(shù)[1]。PPP技術(shù)自20世紀(jì)90年代被提出并實(shí)現(xiàn)后[2-3]，經(jīng)過將近30年的快速發(fā)展，基本理論和工程實(shí)踐已日趨成熟，目前已廣泛應(yīng)用于廣域精密定位、低軌衛(wèi)星定軌、水汽反演與電離層監(jiān)測、地震與海嘯的監(jiān)測和預(yù)警、時(shí)間傳遞等領(lǐng)域[4-7]。

得益于全球分布的大地型GNSS接收機(jī)，PPP技術(shù)自問世以來，大多采用雙頻PPP模型，已有學(xué)者從模糊度固定角度詳細(xì)論述了不同雙頻PPP模型的相互關(guān)系[8]。隨著美國GPS現(xiàn)代化、我國BDS和歐盟Galileo導(dǎo)航衛(wèi)星系統(tǒng)的迅速建設(shè)，越來越多的導(dǎo)航衛(wèi)星開始播發(fā)三頻信號，三頻PPP的研究和應(yīng)用也越來越廣泛與深入[9]。基于BDS三頻觀測值，文獻(xiàn)[10—11]系統(tǒng)研究了3種BDS三頻PPP觀測模型及其定位性能，即基于B1/B2和B1/B3無電離層組合觀測值、基于單個(gè)無電離層組合觀測值及基于非差非組合觀測值的三頻PPP模型。文獻(xiàn)[12]基于GPS三頻觀測值對比分析了不同三頻PPP模型的定位性能。不同研究結(jié)果表明，三頻PPP與雙頻PPP在收斂性能和定位精度等性能指標(biāo)上基本相當(dāng)。針對城市復(fù)雜環(huán)境下(如信號遮擋、衰減和多徑頻繁發(fā)生)的智能交通、自動(dòng)駕駛等對高精度動(dòng)態(tài)定位的需求，文獻(xiàn)[13]充分利用三頻多系統(tǒng)GNSS數(shù)據(jù)，提出單歷元寬巷模糊度固定PPP方法，并與傳統(tǒng)雙頻PPP和廣域偽距增強(qiáng)精密定位方法進(jìn)行對比分析。結(jié)果表明，在干擾因素多的城市復(fù)雜環(huán)境中，單歷元寬巷模糊度固定PPP定位效果更好?？梢钥闯觯l觀測值的加入，不僅可以提升PPP模糊度固定效率，還將提升復(fù)雜場景下PPP定位的可用性及可靠性。

近年來，已有大量研究針對三頻PPP模型與定位性能進(jìn)行了廣泛的驗(yàn)證與分析，但鮮有文獻(xiàn)對三頻PPP模型間進(jìn)行系統(tǒng)性的研究與比較，而且對三頻PPP模型中GNSS偏差的產(chǎn)生機(jī)制及數(shù)學(xué)表達(dá)缺乏深入探討。從原始非差非組合觀測方程出發(fā)，在精細(xì)考慮偽距和載波相位硬件偏差的基礎(chǔ)上，本文詳細(xì)地研究了3種常用的三頻PPP函數(shù)模型的獨(dú)立參數(shù)化方法，系統(tǒng)分析了3種PPP模型的相互關(guān)系，并給出了非組合模式下兩類GNSS偏差(如接收機(jī)偽距頻間偏差和載波相位頻間衛(wèi)星鐘偏差)嚴(yán)格的數(shù)學(xué)表達(dá)形式。本文利用GPS/BDS/Galileo三頻PPP算例，分析驗(yàn)證了理論的正確性及不同模型的定位性能。

1 三頻PPP觀測模型

本節(jié)給出三頻PPP的觀測模型，包括函數(shù)模型及其對應(yīng)的隨機(jī)模型。為簡單起見，利用L1、L2和L3分別表示GPS L1、L2和L5頻率，BDS B1、B2和B3頻率及Galileo E1、E5a和E5b頻率。具體見表1。

表1 GPS/BDS/Galileo衛(wèi)星系統(tǒng)及其對應(yīng)的頻率

1.1 函數(shù)模型

從非差非組合GNSS原始觀測方程出發(fā)，建立三頻PPP函數(shù)模型，并對不同模型的異同點(diǎn)進(jìn)行了細(xì)致研究。

1.1.1 原始觀測方程

一般地，非差非組合GNSS偽距和載波相位觀測方程可表示如下

(1)

對于偽距和相位硬件偏差，通常認(rèn)為偽距硬件偏差比較穩(wěn)定，一天內(nèi)變化較小[15-16]。而相位硬件偏差具有明顯的時(shí)變特性，可將相位硬件偏差分解為常數(shù)部分和時(shí)變部分[17-18]，即

(2)

為簡便起見，定義以下變量

(3)

目前GNSS精密衛(wèi)星鐘差產(chǎn)品一般是基于L1/L2雙頻(如GPS L1/L2、BDS B1/B2與Galileo E1/E5a)無電離層組合偽距和載波觀測值計(jì)算得到[19]。因此，精密衛(wèi)星鐘差包含了雙頻偽距硬件偏差與相位硬件偏差時(shí)變部分的線性組合，即

(4)

引入精密衛(wèi)星軌道和鐘差改正，將式(4)代入式(1)并線性化得

(5)

(6)

顧及式(6)，則式(5)可進(jìn)一步寫為

(7)

式中

(8)

IFCB估計(jì)一般基于經(jīng)典的無幾何距離無電離層(geometry-free and ionospheric-free，GFIF)組合觀測量計(jì)算得到[17,20]。文獻(xiàn)[21—22]論證了IFCB與衛(wèi)星有關(guān)，而與接收機(jī)無關(guān)，并給出了將GFIF組合觀測量估計(jì)的IFCB轉(zhuǎn)化為非組合觀測值下的IFCB的轉(zhuǎn)換關(guān)系，即

(9)

接著，在式(7)的基礎(chǔ)上，建立3種常用的三頻PPP函數(shù)模型。為簡便起見，用IF1213-PPP、IF123-PPP和UC123-PPP分別表示基于L1/L2和L1/L3兩個(gè)無電離層組合觀測值、基于單個(gè)無電離層組合觀測值及基于非差非組合觀測值的三頻PPP模型。首先給出三頻偽距和載波相位OMC觀測向量，即

(10)

1.1.2IF1213-PPP模型

IF1213-PPP由兩個(gè)不同的無電離層組合觀測量得到，可表達(dá)為

(11)

為使觀測方程中接收機(jī)鐘差參數(shù)保持一致，將式(11)展開并改寫為

(12)

式中

(13)

式中，Ωr,IF1213為IF1213組合下的接收機(jī)IFB。

可以得出，IF1213-PPP的待估參數(shù)向量為

(14)

1.1.3IF123-PPP模型

IF123-PPP利用三頻觀測值直接組成無電離層組合觀測量，即

(15)

式中，設(shè)計(jì)矩陣AIF123=[e1e2e3]，e1、e2和e3為線性組合系數(shù)，且滿足以下關(guān)系式

(16)

(17)

將式(15)展開，得

(18)

式中

(19)

相應(yīng)地，IF123-PPP的待估參數(shù)向量為

X=[xdtr,IF123ZrNr,IF123]

(20)

1.1.4UC123-PPP模型

UC123-PPP在不同頻率觀測值之間不作線性組合，而是直接利用原始偽距和載波觀測值，即

(21)

式中，設(shè)計(jì)矩陣AUC123=diag(1,1,1)。其中，diag(·)表示對角陣。

結(jié)合式(7)和式(8)，將式(21)進(jìn)一步展開為

(22)

相應(yīng)地，UC123-PPP的待估參數(shù)向量為

(23)

1.1.5 三頻PPP模型間的聯(lián)系

在觀測方程層面，IF1213-PPP、IF123-PPP和UC123-PPP都是基于三頻原始觀測值的線性組合形成，設(shè)計(jì)矩陣(或線性組合系數(shù)陣)分別對應(yīng)AIF1213、AIF123和AUC123。不同的是，前兩者需對不同頻率觀測值進(jìn)行線性組合以消除電離層延遲影響，而UC123-PPP在不同頻率觀測值之間無須做線性組合。

在待估參數(shù)層面，3個(gè)模型對應(yīng)相同的位置參數(shù)和對流層濕延遲參數(shù)，而估計(jì)的載波相位模糊度各不相同；不同于IF123-PPP，IF1213-PPP和UC123-PPP估計(jì)相同的接收機(jī)鐘差參數(shù)。此外，IF1213-PPP和UC123-PPP需分別估計(jì)一個(gè)接收機(jī)偽距IFB參數(shù)，且兩者存在下述轉(zhuǎn)換關(guān)系

Ωr,IF1213=β12DCBr,12-β13DCBr,13≡β13·Ωr,3

(24)

1.2 隨機(jī)模型

假設(shè)不同頻率觀測值之間相互獨(dú)立，且不同頻率偽距或載波相位觀測值噪聲相同，即滿足σP1=σP2=σP3=σP和σL1=σL2=σL3=σL。非組合三頻觀測值對應(yīng)的方差-協(xié)方差陣ΣUC可以表示為

(25)

式中，σP|L=a/sin(E)，其中a為觀測值噪聲，對于載波觀測值，一般經(jīng)驗(yàn)地取為0.003 m；而對于偽距觀測值，一般取0.3 m；E為衛(wèi)星高度角。

根據(jù)誤差傳播定律，IF1213-PPP、IF123-PPP和UC123-PPP對應(yīng)的方差-協(xié)方差陣為

(26)

式中，ΣIF1213、ΣIF123和ΣUC123分別為IF1213-PPP、IF123-PPP和UC123-PPP模型的觀測值方差-協(xié)方差陣。

2 試驗(yàn)結(jié)果分析

2.1 數(shù)據(jù)介紹及處理策略

為驗(yàn)證GPS/BDS/Galileo三頻PPP定位性能，選取均勻分布的25個(gè)MGEX測站于2019年7月的觀測數(shù)據(jù)(采樣間隔為30 s)進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，測站地理分布見圖1，測站所處經(jīng)緯度、配備的接收機(jī)類型和天線類型信息見表2。可以看出，所選測站的接收機(jī)類型有4種，分別是SEPT POLARX5、JAVAD TRE_3 DELTA、TRIMBLE ALLOY和TRIMBLE NETR9，其中配備TRIMBLE NETR9和SEPT POLARX5接收機(jī)的測站占比分別為56%和32%。此外，所選測站均具備跟蹤GPS/BDS/Galileo三頻信號的能力且滿足每個(gè)歷元跟蹤到每個(gè)衛(wèi)星系統(tǒng)的衛(wèi)星數(shù)均大于或等于4顆。表3給出了可以播發(fā)三頻觀測值的GPS、BDS和Galileo衛(wèi)星情況，其中包括部分GPS衛(wèi)星(12顆)以及全部的BDS(15顆)和Galileo衛(wèi)星(24顆)。

圖1 選取的25個(gè)MGEX測站分布Fig.1 Geographical distribution of the selected 25 MGEX tracking stations

表2 所選MGEX測站基本信息

表3 具備三頻信號播發(fā)能力的GPS/BDS/Galileo衛(wèi)星情況

當(dāng)坐標(biāo)的東(E)、北(N)、垂向(U)3個(gè)方向定位偏差均小于1 dm時(shí)，認(rèn)為濾波收斂，選取濾波解穩(wěn)定后(本文選定濾波開始2 h后)的定位偏差用于統(tǒng)計(jì)定位精度[25]。利用箱線圖來描述定位精度的分布情況，其中上、下邊緣線分別表示95%和5%分位數(shù)，矩形盒的上、下兩端線分別表示75%和25%分位數(shù)，矩形盒內(nèi)部線表示中位數(shù)，即50%分位數(shù)[26]。

2.2 靜態(tài)PPP

算例給出5種GPS/BDS/Galileo靜態(tài)PPP模型定位情況，選取了雙頻無電離層組合模型IF12-PPP與雙頻非組合模型UC12-PPP作為對比。圖2為測站KAT1和KIRI在年積日(day of year，DOY)182的靜態(tài)定位誤差曲線圖?？梢钥闯觯谑諗侩A段IF123-PPP表現(xiàn)相對其他模型稍差一些，這主要是由于具有三頻觀測值的GPS衛(wèi)星較少(僅有12顆)，而IF123-PPP模型對三頻觀測值完整性的要求更為苛刻，導(dǎo)致其參與數(shù)據(jù)解算的GPS觀測值數(shù)量相比其他模型下降明顯。以KAT1測站為例，IF123-PPP、IF1213-PPP和UC123-PPP解算用到的GPS平均衛(wèi)星數(shù)分別為4.2、10.4和10.4。待濾波解充分收斂后，5種PPP模型定位誤差曲線基本重合。

圖2 5種模型GPS/BDS/Galileo靜態(tài)PPP定位誤差(年積日182，2019)Fig.2 Positioning errors derived from five GPS/BDS/Galileo static PPP solutions on DOY 182, 2019

圖3給出了所選25個(gè)測站一個(gè)月不同PPP模型靜態(tài)定位模式下定位精度分布箱線圖，表4列出了其定位精度的中位數(shù)統(tǒng)計(jì)。從圖中可以看出，相比雙頻PPP，三頻觀測值的加入對GPS/BDS/Galileo PPP定位精度提升不明顯，三頻PPP定位性能與雙頻PPP基本相當(dāng)。從表4可得，5種靜態(tài)PPP模型收斂后的水平方向精度優(yōu)于1.0 cm，高程方向優(yōu)于1.5 cm。

圖3 5種模型GPS/BDS/Galileo靜態(tài)PPP定位精度分布Fig.3 Distribution of positioning accuracy among five GPS/BDS/Galileo PPP models in static mode

表4 5種模型GPS/BDS/Galileo靜態(tài)PPP靜態(tài)定位精度統(tǒng)計(jì)

由式(24)可以得出，IF1213-PPP和UC123-PPP估計(jì)的接收機(jī)IFB的轉(zhuǎn)換系數(shù)為β13，對應(yīng)GPS為-1.261、BDS為-1.944、Galileo為-1.422。圖4給出了DOY 182不同測站IF1213-PPP和UC123-PPP估計(jì)的接收機(jī)IFB間轉(zhuǎn)換系數(shù)。從估計(jì)的IFB得到的轉(zhuǎn)換系數(shù)與參考值的吻合程度來看，Galileo最好，BDS次之，而GPS最差，這是因?yàn)镚PS三頻觀測值衛(wèi)星為MEO衛(wèi)星，每個(gè)測站實(shí)際觀測到的三頻GPS衛(wèi)星相對BDS和Galileo要少。仍以DOY 182 KAT1測站為例，可觀測到的具有三頻觀測值的GPS、BDS和Galileo平均衛(wèi)星數(shù)分別為4.2、10.7和7.3，其中BDS大部分為GEO和IGSO衛(wèi)星。此外，接收機(jī)IFB與偽距觀測值有關(guān)，相比GPS和BDS，Galileo的偽距觀測值質(zhì)量更好[27]。

圖4 不同測站IF1213-PPP和UC123-PPP估計(jì)的接收機(jī)IFB間轉(zhuǎn)換系數(shù)(DOY 182，2019)Fig.4 Conversion coefficients of receiver IFBs derived from IF1213-PPP and UC123-PPP for different stations (DOY 182，2019)

2.3 動(dòng)態(tài)PPP

算例給出5種GPS/BDS/Galileo動(dòng)態(tài)PPP模型定位情況。圖5為測站KAT1和KIRI在DOY 182的動(dòng)態(tài)定位誤差曲線圖。與靜態(tài)PPP相比，IF123-PPP動(dòng)態(tài)定位誤差與其他PPP模型差異較明顯，可見動(dòng)態(tài)PPP對可觀測衛(wèi)星數(shù)的變化更敏感。因此，對于三頻PPP定位，若有GPS觀測值加入時(shí)，不建議采用IF123-PPP模型。整體來看，除了IF123-PPP，其他4種PPP模型定位誤差吻合較好。從圖6和表5可以看出，三頻IF1213-PPP、UC123-PPP與雙頻IF12-PPP、UC12-PPP的定位精度基本相當(dāng)，而IF123-PPP定位精度稍差，整體上，5種動(dòng)態(tài)PPP模型收斂后的水平精度優(yōu)于2.0 cm，高程精度優(yōu)于5.0 cm。

表5 不同GPS/BDS/Galileo PPP模型動(dòng)態(tài)定位精度

此外，為了測試不同PPP模型的解算效率，圖7表示DOY 182不同測站不同PPP模型的解算時(shí)間(計(jì)算機(jī)為八核Intel Core i7-8550U處理器，CPU主頻1.8 GHz)。很明顯，基于非組合觀測值的PPP模型具有更多的觀測值與待估參數(shù)，因此其計(jì)算時(shí)間明顯大于無電離層組合PPP模型。

3 結(jié) 論

本文對三頻PPP模型中出現(xiàn)的偏差項(xiàng)(如接收機(jī)IFB、載波相位IFCB等)進(jìn)行了較為詳細(xì)的分析和描述。在充分考慮偽距和載波相位硬件延遲的基礎(chǔ)上，從公式推導(dǎo)的角度，詳細(xì)討論了3種三頻PPP模型的獨(dú)立參數(shù)化方法，并從觀測方程和參數(shù)估計(jì)角度，論述了不同三頻PPP模型的相互關(guān)系。試驗(yàn)分析了3種PPP模型的靜態(tài)、動(dòng)態(tài)定位精度，得出以下結(jié)論。

(1) 由于當(dāng)前GPS衛(wèi)星僅有12顆可播發(fā)三頻信號，因此有GPS觀測值參與的三頻PPP解算，不建議采用IF123-PPP模型。

圖5 5種模型GPS/BDS/Galileo動(dòng)態(tài)PPP定位誤差(年積日182，2019)Fig.5 Positioning errors derived from five GPS/BDS/Galileo kinematic PPP solutions on DOY 182, 2019

圖6 5種模型GPS/BDS/Galileo動(dòng)態(tài)PPP定位精度分布圖Fig.6 Distribution of positioning accuracy among five GPS/BDS/Galileo PPP models in kinematic mode

圖7 不同PPP模型數(shù)據(jù)解算耗時(shí)對比(DOY 182，2019)Fig.7 Computation time for different PPP processing (DOY 182，2019)

(2) 不考慮IF123-PPP模型，待濾波收斂后，雙頻、三頻非組合PPP與相應(yīng)的無電離層組合PPP定位精度基本相當(dāng)。相比雙頻PPP，三頻觀測值的加入對PPP定位性能的提升不明顯，三頻PPP與雙頻PPP的定位精度基本相當(dāng)。

(3) GPS/BDS/Galileo三頻PPP，在靜態(tài)定位模式下，收斂后水平方向精度優(yōu)于1.0 cm，高程方向優(yōu)于1.5 cm；而在動(dòng)態(tài)定位模式下，收斂后水平精度優(yōu)于2.0 cm，高程方向優(yōu)于5.0 cm。