雷勇

摘要：網(wǎng)絡(luò)的普及改變了人們的生活、工作和學(xué)習(xí)方式，“互聯(lián)網(wǎng)+教育”以及人工智能技術(shù)對(duì)教育教學(xué)產(chǎn)生了更大影響，刷新了教師的教學(xué)理念和教學(xué)方式，改變了學(xué)生的學(xué)習(xí)觀念和思維方式。就初中數(shù)學(xué)學(xué)科來講，其邏輯性、抽象性、嚴(yán)謹(jǐn)性等特點(diǎn)決定了其教學(xué)方式與其他學(xué)科的差異。結(jié)合學(xué)科特點(diǎn)選擇合適的教學(xué)軟件，可以大大提高教學(xué)效率，有效培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)? 教學(xué)軟件? 學(xué)科素養(yǎng)

數(shù)學(xué)學(xué)科的邏輯性、抽象性、嚴(yán)謹(jǐn)性等特點(diǎn)決定了其教學(xué)方式與其他學(xué)科的差異。調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在教學(xué)中使用PPT的教師人數(shù)占99%，這表明初中教師使用計(jì)算機(jī)教學(xué)并沒有從學(xué)科特點(diǎn)考慮，也是諸如CAI、幾何畫板、超級(jí)幾何畫板、GeoGebra、Mathmatica等軟件在常規(guī)課里使用“低頻”的原因之一。本文基于自己的實(shí)際教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，談?wù)剟?dòng)態(tài)幾何教學(xué)軟件GeoGebra在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用。

一、GeoGebra簡(jiǎn)介

GeoGebra是一款結(jié)合了“幾何”“代數(shù)”與“微積分”的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件，由美國(guó)佛羅里達(dá)州亞特蘭大學(xué)數(shù)學(xué)教授Markus Hohenwarter所設(shè)計(jì)。一方面，GeoGebra是一個(gè)動(dòng)態(tài)的幾何軟件，可以在上面畫點(diǎn)、向量、線段、直線、多邊形、圓錐曲線甚至是函數(shù)，事后還可以改變它們的屬性。另一方面，也可以直接輸入方程和點(diǎn)坐標(biāo)。所以，GeoGebra也有處理變數(shù)的功能，這些變數(shù)可以是數(shù)字、角度、向量或點(diǎn)坐標(biāo);也可以對(duì)函數(shù)作微分與積分，找出方程的根或計(jì)算函數(shù)的極大極小值。GeoGebra是一款為小學(xué)到大學(xué)的數(shù)學(xué)教學(xué)而設(shè)計(jì)的開源（open source）動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件，類似幾何畫板，完全免費(fèi)，是跨平臺(tái)的數(shù)學(xué)建模軟件，目前支持67國(guó)語言，支持Windows、Mac、Android和IOC（iPad）等多種系統(tǒng)，在美國(guó)和歐洲獲得多項(xiàng)教育類軟件獎(jiǎng)項(xiàng)，運(yùn)用此軟件可以建立數(shù)學(xué)模型，進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，從而為“試驗(yàn)-猜想-證明-應(yīng)用”的科學(xué)探索提供有效的建模工具。它的功能非常強(qiáng)大，其在統(tǒng)計(jì)方面的應(yīng)用和異常強(qiáng)大的中文命令是幾何畫板所不具備的，無損網(wǎng)頁輸出和高清圖片輸出也超越了幾何畫板。

二、GeoGebra基本操作界面

GeoGebra的操作使用很多地方與幾何畫板有相似之處，該軟件工作界面可以分為菜單欄、工具欄、功能區(qū)、指令輸入框等，如圖：

（1）菜單欄與其他軟件界面樣式相同，增強(qiáng)了軟件的熟悉感。

（2）GeoGebra的工具欄與幾何畫板的有很多相似之處，但更為直觀，一些常規(guī)的幾何圖形操作，可以一目了然地從工具欄選擇相應(yīng)的工具進(jìn)行。

（3）GeoGebra的功能區(qū)最能體現(xiàn)該軟件強(qiáng)大的教與學(xué)性能，展示了數(shù)學(xué)對(duì)象的代數(shù)屬性和圖像屬性（2D，3D），還可以與表格等關(guān)聯(lián)使用。

（4）GeoGebra與幾何畫板的最大區(qū)別于之處在于其指令的操作使用突出了數(shù)學(xué)學(xué)科的語言特點(diǎn)，更體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科與計(jì)算機(jī)語言的關(guān)聯(lián)性，通過指令操作數(shù)學(xué)對(duì)象可以讓數(shù)學(xué)思維“看得見”。

三、GeoGebra在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

（1）利用GeoGebra設(shè)計(jì)隨機(jī)點(diǎn)名系統(tǒng)，在需要向?qū)W生提問時(shí)，通過該系統(tǒng)能有效克服教師對(duì)學(xué)生的一些錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)，同時(shí)也使學(xué)生對(duì)教師的提問不帶“感情”色彩而樂于準(zhǔn)備和回答。這個(gè)點(diǎn)名系統(tǒng)利用GeoGebra做很簡(jiǎn)單（用Word文檔做也可以），只要把班級(jí)學(xué)生名單直接復(fù)制導(dǎo)入新建列表，再做一個(gè)按鈕——腳本為“更新作圖”，如果加上統(tǒng)計(jì)功能設(shè)計(jì)就更好了。

（2）七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)中的“幾何圖形的認(rèn)識(shí)”，使用GeoGebra演示，可以利用軟件的動(dòng)態(tài)支持、互動(dòng)性的特點(diǎn)讓學(xué)生更直觀地感知幾何圖形的點(diǎn)、線、面、體及其彼此間的關(guān)系，有利于學(xué)生構(gòu)建幾何圖形的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，還可以通過改變點(diǎn)的點(diǎn)徑樣式讓學(xué)生抽象出點(diǎn)的相關(guān)概念。

通過觀察“點(diǎn)動(dòng)成線”的動(dòng)態(tài)演示，學(xué)生知道線是由無數(shù)個(gè)點(diǎn)組成的。在演示中還可以預(yù)先設(shè)計(jì)曲線中的點(diǎn)。維特羅克提出的學(xué)習(xí)生成模型指出：學(xué)習(xí)過程不是從感覺經(jīng)驗(yàn)本身開始，而是從感覺經(jīng)驗(yàn)的選擇性注意開始的。教學(xué)設(shè)計(jì)中，應(yīng)關(guān)注學(xué)生的“選擇性注意”的認(rèn)知心理，避免產(chǎn)生雜亂現(xiàn)象干擾重要信息。例如，控制平面圖形的旋轉(zhuǎn)，得到相應(yīng)的“體”。演示過程中要充分運(yùn)用視覺的敏感性，研究刺激的特征，如：性質(zhì)、數(shù)量、空間分布、與主體的關(guān)系等，這些是影響選擇性注意的主要因素。就刺激的物理特征而言，有差異的刺激，如形狀、大小、強(qiáng)度、顏色、位置等，能夠喚醒學(xué)生的選擇性注意。這一點(diǎn)充分體現(xiàn)出GeoGebra在數(shù)學(xué)教與學(xué)中優(yōu)于PPT的特點(diǎn)。

（3）利用GeoGebra來幫助學(xué)生理解統(tǒng)計(jì)里“隨機(jī)事件”的“隨機(jī)”“頻率”“概率”含義。

拋擲一枚硬幣的模擬實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)：

說明：通過搖號(hào)來統(tǒng)計(jì)正面和反面出現(xiàn)的頻率來估計(jì)概率，讓學(xué)生知道頻率與概率的聯(lián)系和區(qū)別。如要做到硬幣的逼真，只要將硬幣的正面和反面的圖片輸入即可。

人機(jī)互動(dòng)的過程實(shí)際是一個(gè)反饋過程，學(xué)習(xí)者可以根據(jù)自己的意圖來操作實(shí)驗(yàn)，運(yùn)用計(jì)算機(jī)“隨機(jī)函數(shù)”模擬真實(shí)隨機(jī)性，可以更有效地完成實(shí)驗(yàn)，操作簡(jiǎn)便，易于觀察，從而有利于得出結(jié)論。

（4）動(dòng)點(diǎn)問題、折痕問題等試題的探究。

例如，在矩形ABCD中，AB=6，BC=10，把點(diǎn)A通過折疊到邊BC上，折痕為EF，則EF最大值為???? 。

解決這題需要學(xué)生通過猜想、歸納、試算、比較等方法，而通過GeoGebra則能更直觀地驗(yàn)證學(xué)生的猜想。為此我利用GeoGebra進(jìn)行了相關(guān)動(dòng)態(tài)演示，如圖13：

通過上面的演示，學(xué)生可以觀察到點(diǎn)A在運(yùn)動(dòng)過程中相關(guān)數(shù)據(jù)的變化：由大到小，接著又由小變大。學(xué)生從而歸納出長(zhǎng)度變化規(guī)律，進(jìn)而進(jìn)行猜想，更有利于解決計(jì)算問題，培養(yǎng)了用辯證、聯(lián)系的觀點(diǎn)看問題的意識(shí)，提高思辨力。

計(jì)算方法如下：

由題意可知，當(dāng)E點(diǎn)與D點(diǎn)重合時(shí)，EF的值最大，

設(shè)AF=A′F=x，BF=6-x

根據(jù)勾股定理可得：CA′=8，則BA′=2

所以（6-x）2+22=x2

解得x=103，所以EF=10 103。

（5）利用GeoGebra來研究動(dòng)態(tài)問題的函數(shù)圖像刻畫

例如上題，可以把AE的值作為一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)，以EF的值作為該點(diǎn)的縱坐標(biāo)，利用追蹤就可以知道EF變化情況，如下圖（注：紅色為EF隨AF變化的函數(shù)圖，這明顯不是二次函數(shù)圖像）：

我們甚至還可以由函數(shù)變化圖知道此問題中EF還有一個(gè)最小值，在時(shí)間充足的情況下可以讓學(xué)生研究怎樣求出最小值。

（6）按照范希爾的思維水平制定教學(xué)模式：信息——定向引導(dǎo)——顯性化——自由探索——整合，通過小組合作交流，然后小組代表操作。在操作之前學(xué)生應(yīng)掌握基本的軟件操作知識(shí)，避免受“非思維水平因素”影響操作。學(xué)生操作可能出現(xiàn)不同結(jié)果，讓學(xué)生自己利用GeoGebra作圖，在做中學(xué)到幾何知識(shí)。

例如：作一個(gè)圓與一條已知直線相切。（如圖13）

作兩個(gè)圓與這條直線相切，并且這兩個(gè)圓也相切。（如圖14）

（7）利用GeoGebra設(shè)計(jì)出隨機(jī)出題情景，增強(qiáng)課堂效率。

例如：有理數(shù)加法運(yùn)算隨機(jī)出題。（ 如圖15）

四、反思及展望

（1）上課之前要做好準(zhǔn)備，注意人機(jī)互動(dòng)，預(yù)設(shè)好必要的操作流程。

（2）要綜合考慮課型、環(huán)境、學(xué)生的情況，提高使用效果。

（3）要與PPT或flash等軟件結(jié)合使用，增強(qiáng)實(shí)效。

（4）要與同事合作交流、資源共享，共同提高教學(xué)水平。

（5）要認(rèn)識(shí)到任何工具、技術(shù)的作用都只是輔助教學(xué)。

無論從新的教育教學(xué)理念還是新的教育教學(xué)技術(shù)手段來說，農(nóng)村學(xué)校都相對(duì)落后，這也就是說農(nóng)村學(xué)校將在利用相關(guān)工具上有更大的作為。智慧教學(xué)，任重道遠(yuǎn)。

參考文獻(xiàn)：

[1]M.W.艾森克，M.T.基恩.認(rèn)知心理學(xué)（第5版）[M].張明，等，譯.上海：華東師范大學(xué)出版社，2020.

[2]萬維鋼（同人于野）.萬萬沒想到：用理工科思維理解世界[M].北京：電子工業(yè)出版社，2015.

[3]吳華，何曉頔.范希爾理論下動(dòng)態(tài)幾何技術(shù)應(yīng)用于祖暅原理的教學(xué)研究[J].遼寧教育，2013.

責(zé)任編輯：黃大燦