鄧 銘，紀愛敏，張 磊，王 豪，趙仲航

(河海大學 機電工程學院，江蘇 常州 213022)

0 引 言

高空作業(yè)平臺是一種將人員、材料和設備等舉升到所需位置，并進行作業(yè)的大型機械裝備[1]。而隨著實際工況的不斷變化，單一的伸縮、變幅和回轉已經無法滿足施工中反應快速和操作便捷等需求，因此，需對作業(yè)平臺的運動軌跡進行規(guī)劃[2，3]。也就是要根據實際作業(yè)任務的要求，計算出預期運動軌跡，并在工作平臺沿軌跡運行過程中，對其添加速度、位移以及加速度等約束。

水平直線運動就是軌跡規(guī)劃中一種，通過對臂架伸縮運動與變幅運動進行相互約束，使臂架頂部工作平臺沿水平直線運動。實際施工時不僅要使工作平臺能準確沿直線運動,而且還要研究其運動的振動特性，使其平穩(wěn)運行以保證乘員舒適與安全[4]。

曹旭陽[5]、陳添明[6]等人對高空作業(yè)平臺直線軌跡與運動空間進行了論述分析，建立了數學模型，結合控制過程中動力元件環(huán)節(jié)和閥組特性，得出了在臂架運動過程中的理論運動曲線與實際振蕩曲線；同時，也有部分學者不考慮動力元件等影響因素，從動力學角度分別對高空作業(yè)平臺臂架在變幅運動與伸縮運動中的振動特性進行了研究工作。

PERTSCH A等[7]在分析變幅運動臂架動態(tài)響應時，保持臂長不變，變幅角變化，將全伸狀態(tài)下的臂架系統(tǒng)等效為帶有端部集中參數的變截面懸臂梁，后建立了動力學方程，利用模態(tài)疊加與傳遞矩陣求出了臂架端部的動態(tài)響應；在臂架伸縮運動方面，王亮、WANG L H等[8，9]用Galerkin方法，分析了帶有集中參數的軸向運動變長度懸臂梁的振動特性，以及對其進行的控制；杜文正[10]將伸縮臂架拆分成獨立的臂節(jié)，并考慮支撐底座的激勵作用和振動微分方程，求解了臂端的振動響應。

以上對臂架振動特性研究，都是單純針對臂架的變幅運動與伸縮運動，但卻并沒有考慮兩者的復合運動。

本文由臂架頂部做水平運動的幾何關系約束反推出臂架伸縮與變幅運動相互限制關系，將臂架等效為底部鉸接，疊加部位具有彈性支承、集中參數的變截面、變長度梁；利用Hamilton原理得出振動微分方程，以及其在不同時間下的瞬態(tài)振型參數，后擬合近似表示出不同臂長的實際振型，回代入振動微分方程，在Matlab/Simulink中進行動態(tài)仿真，得出臂架頭部的振動響應。其中，本文所述水平直線運動是復合運動的其中一種。

1 軌跡計算公式

高空作業(yè)平臺主要由下車、轉臺、變幅機構、伸縮機構、調平機構、臂架以及作業(yè)平臺組成，這些部分相互協調配合來完成各項工作。

高空作業(yè)平臺水平直線運動過程如圖1所示。

圖1 高空作業(yè)平臺水平直線運動示意圖

在作業(yè)平臺沿水平直線運動過程中，筆者根據高空作業(yè)平臺逆運算結構簡圖，通過幾何運算，將工作平臺運行軌跡逆運算至高空作業(yè)車俯仰機構和伸縮機構，得到變幅角度以及伸縮長度的運動軌跡。

水平直線運動的抽象圖如圖2所示。

圖2 水平直線運動抽象簡圖

從幾何關系可以看出，在高空作業(yè)平臺做水平直線運動過程中，臂長發(fā)生變化，平臺水平高度保持不變，即：

l(t)sin(θ*(t)-θ1)=a

(1)

(2)

式中：l(t)—臂架長度；L0—臂架初始長度；θ0—初始變幅角度；θ1—液壓缸鉸接角度；a—臂架運動高度；Lx—水平位移距離；θ*—變幅角度；α—變幅缸與臂架夾角；c—臂架鉸接點O與變幅缸鉸接點B長度；b—臂架鉸接點O與變幅缸鉸接點A長度。

兩邊對時間求導得：

(3)

式中：v—臂架水平勻速運動時最大速度，并規(guī)定水平伸出為正，水平縮回為負。

對上式求解微分方程得：

(4)

(5)

(6)

2 振動模型建立

在分析臂架振動特性時，此處將作業(yè)平臺和工作人員視為集中質量與轉動慣量，同時考慮其橫向變形的影響，將各臂節(jié)視為Euler-Bernoulli梁。

2.1 變幅缸等效剛度

在建模時，筆者考慮臂架根部與變幅液壓缸之間距離，將變幅缸等效為一連接臂架與轉臺的彈性支承。

目前應用廣泛的雙作用單出桿液壓缸如圖3所示。

圖3 雙作用液壓缸工作簡圖

參考文獻[11],可知液壓彈簧剛度為：

(7)

式中：βe—液壓油體積模量；A—容器的工作面積；V—密封容器的液壓油容積。

雙作用變幅液壓缸工作時，左右兩側的液壓彈簧為并聯，故總的液壓油剛度為兩側油剛度，即為：

(8)

式中：x—液壓缸活塞位移距離；L—行程；AK，AR—液壓缸左右兩側工作面積；VK，VR—液壓缸左右兩側容積；VLK，VLR—液壓缸兩側管道內油液死容積。

2.2 臂節(jié)間疊加處理

臂架作同步伸縮運動時，臂架之間的疊加距離較長，且會隨著時間變化，故在進行振動分析時，不能直接忽略。因此，筆者在忽略臂節(jié)與臂節(jié)的搭接間隙的基礎上，將疊加部分視為材料屬性與力學屬性疊加的新臂節(jié)。

具體的臂節(jié)分段如圖4所示。

圖4 臂節(jié)分段變化示意圖

本文研究的直臂式高空作業(yè)平臺擁有3節(jié)臂的臂架，令其擁有6段臂節(jié),但在臂架不停的伸縮運動中，臂架的搭接情況會發(fā)生變化，6節(jié)臂節(jié)會交替出現。

定義任一臂節(jié)b的屬性為：

(9)

式中：z—臂節(jié)b上任意一點在z軸上的距離；m，mm—組成臂節(jié)b的起始與末尾臂架；ρAi,EIi,vi,Pi(z)—臂架每節(jié)臂的線密密度、抗彎密度、速度和軸向力；ρAb，EIb，vb，Pb(z)—臂節(jié)b的線密度、抗彎密度、速度和軸向力。

2.3 臂架橫向振動模型

此處以臂架與轉臺的鉸接點為坐標原點o建立坐標軸，其中以未變形臂架的中軸線為z軸，以垂直于臂架的中軸線的方向為ω軸；以過o點平行于地面為x軸，垂直于地面為y軸。

高空作業(yè)平臺臂架抽象結構模型如圖5所示。

圖5 具有分布參數的臂架抽象模型 θ—臂架的變幅角度；ω(z,t)—臂架的中性軸撓度；α—變幅缸與臂架的夾角；K—液壓等效剛度；mc，Jc—臂架頂部的集中質量和轉動慣量

根據Hamilton原理有：

(10)

式中：T—臂架的動能；V—臂架勢能；W—作用于臂架系統(tǒng)的保守力虛功。

(11)

(12)

δW=Mδθ(t)+Fδxz(t)

(13)

將式(11～13)代入式(10)中，得到臂架變幅運動的動力學偏微分方程；結合臂架底部鉸接處邊界條件，可得臂架兩端邊界條件臂節(jié)之間幾何與力學連續(xù)性條件，具體如下式所示：

(14)

ω(0,t)=0

(15)

ω″(0,t)=0

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

式中：ωb(z,t)，δ(z-a)函數—臂架上某點到水平線的弧度和狄克雷函數；狄克雷函數—在z=a變幅缸處等效支承剛度。

3 臂架動力學求解

3.1 水平直線運動中的橫向振動特性求解

在臂頭做水平直線運動的過程中，臂架的變幅角度與伸縮長度都會發(fā)生變化，隨著臂長的不斷變化，每段臂節(jié)的頻率與振型函數都會不斷地發(fā)生變化，故無法根據式(14)直接求解臂頭的時變動態(tài)響應。

參考文獻[12]中計算方法，為求解瞬態(tài)振動特性，將運動過程在時間域內進行離散，只考慮單一時刻的靜態(tài)函數，省去與速度相關項，后在時間域內利用多項式擬合出與臂長相關函數，近似替代求解動力學方程。

同時，由于梁等連續(xù)體振動的動力學特性，如頻率與振型式僅與動力學偏微分方程以及邊界條件的齊次部分有關，故動力學方程式、邊界條件式(17,18)和連續(xù)性條件式可分別化為：

(23)

(24)

(25)

(26)

筆者運用模態(tài)疊加法進行近似求解，即假設在任一時刻，橫向振動ωb(z,t)可以由該時刻對應無數階固有振型函數φ(z)與廣義坐標q(t)的乘積和表示，即：

(27)

式中：下標i—第i階固有振型函數。

(28)

(29)

式中：w(l)—梁長為l時的固有頻率；γb(l)—臂長為l時的頻率特征值。

將式(27)代入式(23)，結合式(28，29)，則臂段b的頻率特征值為：

(30)

對式(30)進行拉氏變換與反變換：

(31)

其中：kb=Kα/EIb；Sb、Tb、Ub、Vb參考文獻[13]；H(z)=H(z+zb-1-a)H(a-zb-1)H(zb-a)。

根據傳遞函數法，將臂架的邊界條件(15,16,24,25)，臂節(jié)的連續(xù)條件(19～21，26)、代入振型函數系數式(31)，可得齊次方程組式：

(32)

式中：B，C，D參考文獻[14]；Pb—臂節(jié)b振型。

(33)

在伸縮過程中，臂節(jié)組合與長度發(fā)生變化，各臂節(jié)頻率特征值γN(l)不斷變化。將式中頻率特征值代入式中，使得齊次方程組的系數矩陣僅含一個未知量l，可得臂架在伸縮過程中的任意長度l、階數i、臂節(jié)b的頻率特征值γb,i(l)，代入式(31,32)，可得臂節(jié)b的任意階振型基函數φb,i(z,l)；

最后，通過模態(tài)疊加法就可得出臂架近似振型函數。

3.2 水平直線運動中的橫向振動響應求解

根據Galerkin法，筆者假設在任一時刻橫向振動ωb(z,t)可由該時刻所對應臂架的固有振型函數線性疊加，即:

(34)

將式代入動力學微分方程，結合邊界條件(15～18)與連續(xù)性條件(19～22)，經化簡可得：

(35)

將上式兩側同乘以φb,j(z,l)，并在[0,l]上積分，可得t時刻臂架系統(tǒng)的質量矩陣M、阻尼矩陣C、剛度矩陣K和載荷向量F：

(36)

(37)

Kαφb,i(z,l)φb,j(z,l)h(zb-1,z,zb)+

(38)

(39)

在模態(tài)疊加中，三階以后影響較小，考慮計算的效率與結果的準確性，故此處采用Galerkin截斷法選取前兩階模態(tài)進行計算，即：

(40)

(41)

(42)

(43)

(44)

4 具體算例

此處以某一24 m三節(jié)直臂伸縮式高空作業(yè)車為例，分析其在水平直線運動中臂架頭部的動態(tài)響應。

其液壓系統(tǒng)參數如表1所示。

表1 液壓系統(tǒng)參數

臂架具體參數如表2所示。

表2 臂架參數

當作業(yè)平臺水平向右運動時，設定臂架初始長度為11.77 m，初始角度為60°，工作高度為10.2 m，臂架的變幅角度為34.82°，長度為17.67 m。

運動過程中，臂架伸縮長度與變幅角度變化圖如圖6所示。

圖6 臂架伸縮長度與變幅角度變化圖

圖6中，變幅角度不斷減小伸縮長度不斷增加；同時，隨著臂架伸縮長度的不斷變化，臂段的長度與組合產生變化。

各臂段具體長度如圖7所示。

圖7 各臂節(jié)長度變化圖

在臂架伸縮過程中，筆者選取隨時間變化的臂長點l，根據式(31,32)計算所得頻率特征值與振型函數系數，分別使用多項式對其進行擬合。

其中，頻率特征值擬合曲線如圖8所示。

圖8 頻率特征值擬合曲線

考慮準確性與計算效率，此處筆者采用三階多項式擬合頻率特征值。前兩階頻率特征值γ6(l)隨臂長l的增加不斷減小。振型函數系數γ6(z5,l)、γ6′(z5,l)、γ6″(z5,l)、γ6?(z5,l)，采用五階多項式進行擬合。其中，一階振型函數大于二階振型；且隨著長度增加，振型函數系數也在不斷增加，但增長速度變慢。

臂架一階具體的振型函數擬合曲線如圖9所示。

圖9 一階振型函數系數擬合曲線

臂架二階具體的振型函數擬合曲線如圖10所示。

圖10 二階振型函數系數擬合曲線

在式(38)求解t時刻載荷向量系數時，筆者將水平直線運動過程中的變幅角度θ(t)用三次多項式進行擬合，可得出關于臂長l的函數；求解出在t時刻對應臂長為l的動力學方程矩陣系數(35～37)，代入式(40)，可得出狀態(tài)空間方程；在Matlab/Simulink環(huán)境下進行仿真模擬，可得出臂頭動態(tài)響應。

其中，隨著臂架水平直線運動距離Lx的增加，臂架頭部振動頻率降低，振幅變大，并在17 s左右達到最大幅值。

臂架水平直線運動中臂架頭部的振動位移響應如圖11所示。

圖11 臂頭部振動響應曲線

5 結束語

針對高空作業(yè)平臺直線軌跡運動中的振動問題，筆者分析了平臺沿水平直線運動時，臂架伸縮運動與變幅運動相互關系。

考慮臂架實際搭接與實際支承情況，筆者將臂架等效為底部鉸接且具有彈性支承，疊加部位為具有集中參數的變截面、變長度梁；基于Hamilton原理建立了臂架在運動過程中的動力學方程，結合模態(tài)疊加法，在時域上離散，求解了在不同長度下的瞬態(tài)振型函數；通過擬合近似等效臂架實際振型，然后利用Galerkin截斷法得出了廣義坐標下的狀態(tài)空間方程，在Matlab/Simulink環(huán)境下得出了臂架在水平直線運動過程中頭部的振動響應。

該研究工作可為高空作業(yè)平臺臂架在直線軌跡運動中的振動控制提供理論參考。