周鳳芹

(山東協(xié)和學(xué)院 基礎(chǔ)部，濟(jì)南 250109)

第一換元積分法也稱(chēng)湊微分法，它是微分公式的反向應(yīng)用，要求學(xué)生熟練掌握微分公式。換元的目的是回歸到基本積分公式，以起到對(duì)積分公式的鞏固作用。不定積分和定積分的積分方法本質(zhì)相同，不定積分計(jì)算方法的學(xué)習(xí)會(huì)直接影響定積分的學(xué)習(xí)，同時(shí)也會(huì)影響多元函數(shù)微積分的學(xué)習(xí)效果。積分的換元積分法包括第一換元積分法和第二換元積分法，其本質(zhì)都是針對(duì)復(fù)合函數(shù)的積分。直接積分法是利用積分基本公式和線(xiàn)性性質(zhì)來(lái)計(jì)算積分的方法。積分基本公式是從微分基本公式轉(zhuǎn)化來(lái)的，線(xiàn)性性質(zhì)則對(duì)應(yīng)著微分運(yùn)算的代數(shù)和、數(shù)乘。與微分計(jì)算相比，積分的計(jì)算更具有靈活性，直接積分法可以解決一些簡(jiǎn)單的不定積分問(wèn)題。積分的第一換元積分法是基本公式的延伸，對(duì)應(yīng)微分學(xué)中的復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，但其形式變化多樣，掌握積分的第一換元積分法本質(zhì)是初學(xué)者的難點(diǎn)。

1 不定積分第一換元積分法本質(zhì)

同濟(jì)大學(xué)第七版教材中對(duì)第一換元積分定理的描述：

2 不定積分第一換元積分法引例

現(xiàn)有教材中的引例多數(shù)是對(duì)cos3x和e-3x的積分，即對(duì)比積分基本公式把dx進(jìn)行變換，套進(jìn)公式。此過(guò)程對(duì)湊微分法的本質(zhì)理解比較生硬，對(duì)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較差的學(xué)生來(lái)說(shuō)，接受度較低。于是，選擇了一個(gè)學(xué)生可以結(jié)合基本積分公式和積分性質(zhì)更容易計(jì)算的例子，學(xué)生可通過(guò)參與計(jì)算鞏固第一節(jié)的知識(shí)，形成計(jì)算積分的技能，再把結(jié)果和公式對(duì)比，形成結(jié)論，使學(xué)生能夠理解抽象的第一換元積分法概念，更容易接受換元法的應(yīng)用過(guò)程，形成牢固的計(jì)算思路。

=cos2sinx+sin2cosx+C

=sin(x+2)+C

3 第一換元積分法的計(jì)算思路總結(jié)

圖1 不定積分第一換元積分法的關(guān)鍵點(diǎn)Fig.1 Key points of the first integration by substitution of indefinite integral

至此，不定積分第一換元積分法的概念已形成，使用的基本思路和關(guān)鍵點(diǎn)也凸顯出來(lái)。不定積分第一換元積分法的應(yīng)用可以總結(jié)為四個(gè)字：設(shè)、求、代、換，具體為假設(shè)中間變量u=φ(x)，求出x=φ-1(u)和dx，代入積分并求解，用x=φ-1(u)代換u得出最后結(jié)論。