曾 榮
習(xí)題是課堂教學(xué)內(nèi)容的鞏固與深化,應(yīng)當(dāng)為學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)提供助力。優(yōu)質(zhì)的數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué),有利于幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì),感悟數(shù)學(xué)的基本思想,積累數(shù)學(xué)思維的經(jīng)驗(yàn),提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。研究習(xí)題是高中數(shù)學(xué)教師的基本教學(xué)任務(wù),也是他們的必備素養(yǎng)與能力。筆者認(rèn)為,教師研究習(xí)題,不能局限于會(huì)解、能講,而應(yīng)該依托優(yōu)秀的試題,追求更高境界——多思精解、探求規(guī)律、探尋題根、有效遷移。教師研題的基本模式如圖1所示。本文結(jié)合江蘇省南通市2020年高三第一次模擬考試第17 題談?wù)劷處熝蓄}的四重境界。
圖1 研題模式
教師研題的基礎(chǔ)是解題,用合適的方法、廣闊的思維進(jìn)行解題,要善于進(jìn)行一題多解、多題一解、解法提煉。一道優(yōu)秀的試題往往講究解法的多樣性和不同解法效率的差異性,這種差異性體現(xiàn)出解題人思維品質(zhì)和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的差
【比較反思】以上幾種方法是解析幾何中的常見解法,但不同解法的效率有明顯差異。在同一數(shù)學(xué)情境中,不同的運(yùn)算思路、運(yùn)算程序的設(shè)定,體現(xiàn)了一定的規(guī)劃設(shè)計(jì)能力。對(duì)于具體的數(shù)學(xué)運(yùn)算,我們要善于結(jié)合運(yùn)算情境,深刻理解運(yùn)算對(duì)象的特征,挖掘其內(nèi)涵。只有以數(shù)學(xué)思維為基礎(chǔ)進(jìn)行規(guī)劃設(shè)計(jì),運(yùn)算能力的提升才能得到有效的落實(shí)。
多思精解,深入比較不同解法的效益差異,可以幫助師生優(yōu)化解題路徑,提升學(xué)科素養(yǎng)。同時(shí),我們應(yīng)該依托試題,探求其內(nèi)在規(guī)律,理解試題內(nèi)在的本質(zhì)屬性。在深入研究多種解法的基礎(chǔ)上,我們應(yīng)進(jìn)一步思考,問題背后的知識(shí)本質(zhì)是怎樣的?解題方法蘊(yùn)含著怎樣的通性通法、數(shù)學(xué)思想?是否存在更一般的規(guī)律?為什么會(huì)有這樣的規(guī)律?對(duì)題1,我們進(jìn)行如下思考:
【思考1】題1依托矩形這一背景,研究了與橢圓有關(guān)的問題。第①問是給定了兩個(gè)特殊的分點(diǎn),研究了對(duì)應(yīng)的直線的交點(diǎn)在橢圓上。如果不是中點(diǎn),而是三等分點(diǎn)、四等分點(diǎn),……,n等分點(diǎn)呢?有沒有更一般的結(jié)論呢?
對(duì)于一道試題,教師若能多思精解、由特殊到一般、把握本質(zhì)屬性、研透內(nèi)在規(guī)律,已屬不易。然而,優(yōu)秀的教師往往不止于此,他們會(huì)研究問題出處,探尋題根,并深刻挖掘基于題根的命題思路。這種基于“問題從哪里來(lái)?怎么演變過來(lái)的?命題者的命題思路和方法是怎樣的?”的思考,力求站在命題者的視角審視問題,求本歸真,更有利于提升師生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)。本題題根如下——
題2(蘇教版高中數(shù)學(xué)選修2-1 P38 第14題):把矩形的各邊n 等分,如圖6 連結(jié)直線,判斷對(duì)應(yīng)直線的交點(diǎn)是否在一個(gè)橢圓上?
【題根分析】本題依托矩形這個(gè)載體,通過等分的方式產(chǎn)生了有限個(gè)點(diǎn)。等分的實(shí)質(zhì)是“成比例”,通過“成比例”可以將“有限”轉(zhuǎn)化為“無(wú)限”,由此進(jìn)一步通過對(duì)應(yīng)直線相交的方式產(chǎn)生的無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)。研究這些點(diǎn)的特征,實(shí)質(zhì)上是研究動(dòng)點(diǎn)的軌跡問題。
【命題思路】在高考、??贾腥绻苯涌疾檐壽E問題,那么對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)要求高、難度大。為了讓問題能更加適合于考查學(xué)生,命題者通過“特殊化”和“逆向思考”的方式改變了問題的呈現(xiàn)方式,使試題源于教材,但不拘泥于教材。
(1)特殊化:在題1 第①問中,命題者將分點(diǎn)特殊化,取其中一個(gè)特殊的分點(diǎn)進(jìn)行研究。因?yàn)橹蝗×艘粋€(gè)點(diǎn),就不再是對(duì)軌跡問題的研究了。命題者結(jié)合具體數(shù)據(jù),給出特殊的橢圓,將求橢圓軌跡問題轉(zhuǎn)化為求在特定橢圓上的特殊點(diǎn)。這樣,動(dòng)態(tài)問題轉(zhuǎn)化為靜態(tài)問題,大幅度降低了難度,適合用于考查學(xué)生。
(2)逆向思考:滿足某一特征的點(diǎn)在曲線上,曲線上的點(diǎn)都滿足某一特征,這是解析幾何研究的兩個(gè)主要問題。題1 第①問研究的目標(biāo)是點(diǎn)在曲線上。命題者在命制第②問時(shí),通過逆向思考,告知曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),進(jìn)而研究相關(guān)點(diǎn)的幾何特征。在這個(gè)“動(dòng)”的情境中,可以通過不同的引參方案,考查學(xué)生的思維能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)。
教師研題不僅僅是為了提升自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng),更重要的是為了開發(fā)試題蘊(yùn)含的教學(xué)價(jià)值,幫助學(xué)生提高數(shù)學(xué)解題能力,加深對(duì)數(shù)學(xué)的理解。教師將自己解題、探規(guī)、尋根的經(jīng)歷轉(zhuǎn)化為一種探究活動(dòng),可以幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)對(duì)問題的再發(fā)現(xiàn)、再解決。同時(shí),在教學(xué)中,教師還要善于有效遷移,對(duì)試題進(jìn)行改編、變式、拓展,舉一反三,讓學(xué)生在遷移、深化中體悟數(shù)學(xué)的本質(zhì)和數(shù)學(xué)的系統(tǒng)性、結(jié)構(gòu)性,感悟數(shù)學(xué)的統(tǒng)一之美、變化之美。
遷移1(蘇教版高中數(shù)學(xué)選修2-1 P48第16題):如圖7,在矩形ABB'A'中,把邊AB分成n等份。在邊B'B 的延長(zhǎng)線上,以BB'的n 分之一為單位連續(xù)取點(diǎn)。過邊AB 上各個(gè)分點(diǎn)和A'作直線,過B'B 延長(zhǎng)線上的對(duì)應(yīng)分點(diǎn)和點(diǎn)A 作直線,這兩條直線的交點(diǎn)為P,P在什么曲線上運(yùn)動(dòng)?
(圖7)
遷移2(蘇教版高中數(shù)學(xué)選修2-1 P54 第13 題):(閱讀題)在工程中,畫拱寬為2a,拱高為h的拋物線,常用下面的畫法:
(1)作矩形ABCD,使AB=2a,DA=h;
(2)分別取CD,AB的中點(diǎn)O,H,把線段DA,OD,HA各n等分;
(3)如圖8 連線得到各交點(diǎn),將交點(diǎn)連成光滑曲線,就得到拋物線的一半;
(4)用同樣方法畫出另一半。
你能說(shuō)明上述畫法的正確性嗎?
對(duì)于以上問題,我們要在外在形式、結(jié)構(gòu)的一致性的基礎(chǔ)上,深刻認(rèn)識(shí)本質(zhì)的一致性。
【思考1】你能研透上述題2、遷移1、遷移2的本質(zhì)一致性嗎?(橢圓、雙曲線、拋物線統(tǒng)稱為圓錐曲線。圓錐曲線在定義的方式、知識(shí)的結(jié)構(gòu)、研究的方法等方面具有一致性。設(shè)計(jì)這樣的問題,意在引領(lǐng)學(xué)生舉一反三,由表及里,深刻認(rèn)識(shí)圓錐曲線的本質(zhì)。)
(圖8)
【思考2】你能參考題1的改編方式,將遷移1、遷移2 改編成形如題1 的考題嗎?(在深刻認(rèn)識(shí)問題本質(zhì)的同時(shí),教師也要學(xué)會(huì)“再創(chuàng)造”,借鑒優(yōu)秀試題的命制方式,“再創(chuàng)造”出更多的優(yōu)秀試題,讓學(xué)生有機(jī)會(huì)再練、再悟、再提高。)
數(shù)學(xué)家波利亞曾指出:“解題是人類最富有特征的一種智力活動(dòng)?!弊鳛閿?shù)學(xué)教育工作者,我們不能僅僅滿足于一般意義上的解題,我們要善于深度研題。通過“多思精解—探求規(guī)律—探尋題根—有效遷移”的路徑,使得研題活動(dòng)助力教師的專業(yè)成長(zhǎng),助力智慧課堂的有效達(dá)成,也助力促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的不斷提升。