陳 科，李硯涵

（廣州大學(xué)松田學(xué)院，廣東 廣州 510000）

1.引言

1973年，布萊克、斯科爾斯和莫頓提出了著名的Black-Scho les（Black-Scholes-Merton）期權(quán)定價(jià)模型。該模型中的參數(shù)包括標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，期權(quán)執(zhí)行價(jià)格，到期期限和標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)率，這些參數(shù)要么在市場(chǎng)中可直接觀測(cè)到，要么可以通過(guò)市場(chǎng)數(shù)據(jù)計(jì)算，這使得B-S公式在實(shí)際應(yīng)用中得到了極大的推廣，而布萊克和斯科爾斯也因此獲得了1997年的諾貝爾獎(jiǎng)。

B-S模型對(duì)期權(quán)定價(jià)有以下7個(gè)主要假設(shè)：一是股票價(jià)格服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，且均值μ、標(biāo)準(zhǔn)差σ均為常數(shù)；二是允許賣(mài)空；三是無(wú)交易成本；四是在期權(quán)的有效期內(nèi)無(wú)分紅；五是沒(méi)有無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)；六是證券交易是連續(xù)的；七是對(duì)所有到期日的期權(quán)，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r為一相同的常數(shù)。正是由于這些嚴(yán)格的假定，使得B-S模型與實(shí)際的期權(quán)市場(chǎng)會(huì)存在著系統(tǒng)性的偏差，例如真實(shí)市場(chǎng)上股票價(jià)格并非B-S模型中所描述的對(duì)數(shù)正態(tài)分布，而是呈現(xiàn)出尖峰厚尾的特征。又如BSM 模型所要求的波動(dòng)率為恒定的假設(shè)在實(shí)際的金融市場(chǎng)上并不成立，實(shí)際上是存在著波動(dòng)率微笑曲線。

針對(duì)B-S期權(quán)定價(jià)模型的不足，研究者對(duì)該模型提出了各種改進(jìn)，其中一類(lèi)改進(jìn)的方向就是不再假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)的波動(dòng)率為常數(shù)，而是對(duì)其波動(dòng)率建立動(dòng)態(tài)模型，也即隨機(jī)波動(dòng)模型（SV模型），在眾多的SV模型中，Heston模型應(yīng)存在閉形式解而優(yōu)于其它模型，這也是本文選擇Heston模型對(duì)我國(guó)期權(quán)進(jìn)行研究的原因。

關(guān)于股票價(jià)格和波動(dòng)率的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，Heston給出的模型如下：

其中，St表示t時(shí)刻股票價(jià)格；μ表示股票價(jià)格的均值；Vt表示t時(shí)刻股票價(jià)格的方差；是相關(guān)的布朗運(yùn)動(dòng)，相關(guān)系數(shù)是ρ。

Heston（1993）提出上述模型中歐式看漲期權(quán)的價(jià)格滿偏微分方程：

其中λ(St,Vt,t)被稱(chēng)為波動(dòng)率的價(jià)格，是一個(gè)不可觀測(cè)量，Heston假定λ(St,Vt,t)正比于波動(dòng)率，即

其中λ為常數(shù)。

Heston指出（4）的解具有和BS模型類(lèi)似的形式：

通過(guò)將（5）式代入（4）式，Heston解出P1和P2如下：

2.Heston模型

在上式中λ是波動(dòng)率風(fēng)險(xiǎn)的市場(chǎng)價(jià)格，由于波動(dòng)率并非實(shí)際市場(chǎng)上存在的可交易商品，故λ不易獲得。但可以通過(guò)等價(jià)鞅測(cè)度在風(fēng)險(xiǎn)中性世界消除λ。在風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度Q下，標(biāo)的資產(chǎn)的動(dòng)態(tài)方程變?yōu)椋?/p>

上式中CP為真實(shí)世界中的看漲期權(quán)價(jià)格，CQ為風(fēng)險(xiǎn)中性世界中的看漲期權(quán)價(jià)格，在其中為波動(dòng)率風(fēng)險(xiǎn)市場(chǎng)價(jià)格為0。

3.Heston模型校準(zhǔn)

Heston模型中包含多個(gè)未知參數(shù)需要進(jìn)行估計(jì)，原Heston模型中有六個(gè)待估參數(shù)κ，θ，σ，Vt，ρ，λ。通過(guò)等價(jià)鞅測(cè)度Q的轉(zhuǎn)化，在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中模型含5個(gè)參數(shù)κ*，θ*，σ，Vt，ρ。本文將在風(fēng)險(xiǎn)中性世界對(duì)模型的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，此時(shí)所需要估計(jì)的參數(shù)集合本文的估計(jì)方法是要使得模型求解的期權(quán)價(jià)格和市場(chǎng)價(jià)格的誤差最小，也即要求解如下的非線性最小二乘問(wèn)題：

對(duì)于（11）式的非線性最優(yōu)化問(wèn)題，本文將采用模擬退火算法進(jìn)行求解。

4.Heston模型實(shí)證研究：基于50ETF指數(shù)期權(quán)

4.1 數(shù)據(jù)處理

本文采用上證50ETF指數(shù)歐式看漲期權(quán)在2020年10月27日的數(shù)據(jù)（數(shù)據(jù)來(lái)源：聚寬量化交易平臺(tái)），樣本包含了到期日為2020年11月25日和2020年12月23日的期權(quán)，其中2020年11月25日到期期權(quán)執(zhí)行價(jià)格包含2.95、3、3.1、3.2、3.3、3.4、3.5、3.6、3.7、3.8共10個(gè)點(diǎn)位，2020年12月23日到期期權(quán)執(zhí)行價(jià)格包含2.55、2.6、2.65、2.7、2.75、2.8、2.85、2.9、2.95、3、3.1、3.2、3.3、3.4、3.5、3.6、3.7、3.8、3.9 共 19 個(gè)點(diǎn)位，本文共選取了29個(gè)期權(quán)樣本數(shù)據(jù)。本文研究期間各大銀行存款年利率為1.5%，但市場(chǎng)上存在的各種無(wú)風(fēng)險(xiǎn)理財(cái)產(chǎn)品的年利率都在2%以上，所以本文選取無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為2%。本文對(duì)各支期權(quán)選取的買(mǎi)價(jià)bid和賣(mài)價(jià)ask，分別為該期權(quán)在2020年10月27日這一天的tick級(jí)bid和ask數(shù)據(jù)的平均，而期權(quán)價(jià)格則取為bid和ask的平均值。為了數(shù)據(jù)的一致性，表的資產(chǎn)50ETF的價(jià)格也取為其在當(dāng)天tick級(jí)數(shù)據(jù)的平均值，該平均值為3.344。

4.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

給定初始值 [κ*，θ*，σ，ρ，Vt]=[0.0462，0.999，0.248，0，0.0897]，在此初始取值下目標(biāo)函數(shù)S(Ω)的取值為58.992。

通過(guò)模擬退火算法，迭代搜索目標(biāo)函數(shù)S(Ω)的最小值，得到優(yōu)化之后的解為

[κ*，θ*，σ，ρ，Vt]=[0.1389，0.3021，0.2027，0.5068，0.0404]

在這一組參數(shù)取值之下，目標(biāo)函數(shù)S(Ω)的取值為1.5797.迭代優(yōu)化的過(guò)程由下圖所示：

圖1 模擬退火算法參數(shù)優(yōu)化過(guò)程

4.3 模型外推檢驗(yàn)

為了驗(yàn)證該模型的有效性，在參數(shù) [κ*，θ*，σ，ρ，Vt]=[0.1389，0.3021，0.2027，0.5068，0.0404]下將該模型應(yīng)用于2020年10月28日這一天的定價(jià)，該天標(biāo)的資產(chǎn)50ETF的tick級(jí)數(shù)據(jù)平均值經(jīng)計(jì)算取值為3.3545元，仍然選取上文所提到的29支期權(quán)，經(jīng)模型計(jì)算并與實(shí)際的市場(chǎng)數(shù)據(jù)進(jìn)行比較。結(jié)果如表1：

表1 檢驗(yàn)結(jié)果

從上表可以看出除了個(gè)別期權(quán)之外，大多數(shù)期權(quán)的模型計(jì)算價(jià)格與實(shí)際的買(mǎi)價(jià)和賣(mài)價(jià)都很接近，另外重新計(jì)算了目標(biāo)函數(shù)的值，S(Ω)此時(shí)的取值為1.3504，這也反映出該模型用優(yōu)化后的參數(shù)所計(jì)算出來(lái)的值與實(shí)際值的吻合度較高。

5.結(jié)語(yǔ)

本文運(yùn)用Heston模型對(duì)我國(guó)期權(quán)市場(chǎng)ETF50期權(quán)進(jìn)行了研究，在Heston模型中包含5個(gè)位置參數(shù)：均值回復(fù)速度κ，長(zhǎng)期方差θ，波動(dòng)率方差σ，相關(guān)系數(shù)ρ，初始方差V，本文通過(guò)設(shè)置目標(biāo)函數(shù)S(Ω)，然后以迭代尋憂的方式求得了該模型的最優(yōu)參數(shù)，最優(yōu)在該參數(shù)下對(duì)第二天的期權(quán)價(jià)格進(jìn)行計(jì)算并與實(shí)際價(jià)格進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)在這一組參數(shù)下模型值與實(shí)際值吻合程度較好。

在求解模型中設(shè)置的目標(biāo)函數(shù)S(Ω)是其參數(shù)的多元非線性函數(shù)，并且存在很多局部極小值，因而參數(shù)優(yōu)化過(guò)程受到初始設(shè)置的很大影響，很有可能會(huì)收斂到局部極小值。如何利用人工智能進(jìn)行全局最優(yōu)化，將是進(jìn)一步研究的方向。