宋 娜，夏正德

中北大學(xué) 理學(xué)院，太原 030051

文獻(xiàn)[1]推廣了偽概周期函數(shù)，介紹了加權(quán)偽概周期函數(shù)及其相關(guān)性質(zhì)．許多的工作都是圍繞著微分方程的加權(quán)偽概周期解展開的[2-9]．文獻(xiàn)[10]給出了雙加權(quán)偽概周期函數(shù)的概念，進(jìn)一步推廣了偽概周期函數(shù)．隨著脈沖微分方程的發(fā)展，概周期理論得到進(jìn)一步的發(fā)展，分段偽概周期函數(shù)、分段加權(quán)偽概周期函數(shù)與分段雙加權(quán)偽概周期函數(shù)相繼被提出[11-13]．關(guān)于微分方程，數(shù)學(xué)工作者做了許多的工作[14-24]．本文的工作是對(duì)分段雙加權(quán)偽概周期函數(shù)[25]研究的延續(xù)，主要介紹了分段雙加權(quán)偽概周期函數(shù)的復(fù)合定理，以及雙加權(quán)偽概周期函數(shù)與雙加權(quán)偽概周期序列之間的關(guān)系．

1 分段雙加權(quán)偽概周期函數(shù)

加權(quán)函數(shù)具有如文獻(xiàn)[2]中定義的加權(quán)函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，在此將不再贅述．對(duì)于ρ，υ∈U∞，S>0，f∈PCT(R，X)，定義

定理1令f∈PPAPT(Ω，X，ρ，υ)且h∈PPAPT(Ω，ρ，υ)．假設(shè)下面的條件成立：

(H2)f(t，·)對(duì)?t∈R在每個(gè)有界子集Ω上是一致連續(xù)的，即對(duì)?ε>0和有界集K?Ω，存在δ>0，使得當(dāng)x，y∈K且‖x-y‖<δ時(shí)，‖f(t，x)-f(t，y)‖<ε對(duì)?t∈R成立；

(H3)f(R，K)={f(t，x)：t∈R，x∈K}對(duì)每個(gè)有界子集K∈Ω是有界的．

若R(h)?K，那么f(t，h(t))∈PPAPT(X，ρ，υ)．

證因?yàn)閒∈PPAPT(Ω，X，ρ，υ)，h∈PPAPT(Ω，ρ，υ)，所以f=fap+fe且h=hap+he．則函數(shù)f(·，h(·))可以做如下的分解：

由于R(hap)在X上是相對(duì)緊的，則?t∈R，fap(t，·)在R(hap)上是一致連續(xù)的．由文獻(xiàn)[11]的定理3.1，容易看出fap(·，hap(·))∈APT(R，X)．下面證明

令K∈Ω是有界的，使得R(h)，R(hap)?K．由條件(H3)，存在M>0使得

‖f(·，h(·))-f(·，hap(·))‖≤M?t∈R

同時(shí)，由條件(H2)，對(duì)于ε>0，存在δ>0，使得當(dāng)x，y∈K且‖x-y‖<δ時(shí)，有

其中

M(S，δ，he)={t∈[-S，S]： ‖he(t)‖≥δ}

又因?yàn)?/p>

‖h(t)-hap(t)‖=‖he(t)‖<δt∈QS/M(S，δ，he)

所以

由平移不變性可得，對(duì)S>S0，有

因?yàn)閒=fap+fe，且當(dāng)t∈R時(shí)，fap(t，·)在R(hap)上是一致連續(xù)的．那么由條件(H2)可知，fe(t，x)=f(t，x)-fap(t，x)關(guān)于t在x∈R(hap)上是一致連續(xù)的．即對(duì)于ε>0，存在δ>0，使得當(dāng)x，y∈R(hap)且‖x-y‖<δ時(shí)，有

‖fe(t，x)-fe(t，y)‖<εt∈R

因此對(duì)于S>S0，有

2 雙加權(quán)偽概周期序列

那么序列{x(n)}被稱為σ，?-PAP0序列，我們用PAP0S(X，σ，?)來標(biāo)記．

類似于文獻(xiàn)[12]中引理2.1的證明，可以得到下面的引理：

引理1令σ，?∈Vs∞．如果

定義

那么

類似于文獻(xiàn)[12]中引理2.6和定理2.5的證明，容易得到下面的兩個(gè)引理：

(H4) {Ii(u)：n∈Z，u∈K}在每個(gè)子集K?Ω上是有界的；

(H5) 當(dāng)i∈Z時(shí)，Ii(u)在u∈Ω處一致連續(xù)．

那么

Ii(u(ti))=P1(i)+P2(i)i∈Z

注意到{u(ti)}和uap(ti)是有界的．令K?Ω是有界的，使得u(ti)，uap(ti)?K，i∈Z．由條件(H5)，對(duì)?ε>0，存在δ1>0使得

由于K1是相對(duì)緊的，則存在x1，…，xm∈K1使得對(duì)每個(gè)i，有

‖uap(ti)-xk‖<δ1≤k≤m

此外，對(duì)于S>0，有

因此