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重視研究過程 探索數(shù)之規(guī)律

2021-02-04 07:45譚又英
湖北教育·教育教學(xué) 2021年1期
關(guān)鍵詞:項數(shù)公比通項

譚又英

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的一門科學(xué)。本文以高中數(shù)學(xué)人教A版《必修五》第二章《數(shù)列》教學(xué)為例,探討如何更好地探索數(shù)的規(guī)律。

一、用數(shù)學(xué)眼光看問題,抽象數(shù)之“一般性”

數(shù)學(xué)的眼光就是要把現(xiàn)實世界中與數(shù)學(xué)有關(guān)的東西抽象到數(shù)學(xué)內(nèi)部,需要忽略事物一些表面的、特殊的、非本質(zhì)的性質(zhì),通過細(xì)致地觀察,尋求規(guī)律,將其共性剝離出來,形成概念、判斷、推理等思維形式。

例如:已知數(shù)列[an]的前幾項,寫出下面數(shù)列的通項公式。

(1)[34],[23],[712],[12]...

(2)0.3,0.33,0.333,0.3333...

出示題目后,教師說:“由數(shù)列的前幾項寫通項公式,關(guān)鍵是要找出每一項與其項數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系,這就需要大家仔細(xì)觀察,從數(shù)的結(jié)構(gòu)、形式、變化趨勢等方面將共同規(guī)律抽象出來。”一名學(xué)生說:“(1)中前兩個數(shù)的分子和分母都減少‘1,但是第三、第四項不是這個規(guī)律。”另一名學(xué)生說:“整個分?jǐn)?shù)值是越來越小的,如果將第四項寫成[612],那就是在第三項的基礎(chǔ)上分子減少‘1,我認(rèn)為可以將四個數(shù)通分之后再作比較?!?/p>

教師將學(xué)生提出的思路板書如下:

項數(shù)[n]:1????? 2?????? 3????? 4

↓???? ↓????? ↓???? ↓

項[an]: [912]??? [812]???? [712]??? [612]

板書后,學(xué)生馬上發(fā)現(xiàn)規(guī)律:每一項的分子與對應(yīng)項數(shù)之和為10,通項公式為[an]=[10-n12]。

接著,教師出示第二道例題:某地區(qū)為防洪抗旱大面積植樹造林, 如下圖, 在區(qū)域[(x,y)x≥0,y≥0]內(nèi)植樹,第1棵樹在點[A1](0,1),第2棵樹在點[B1](1,1),第3棵樹在點[C1](1,0),第4棵樹在點[C2](2,0),按照圖中箭頭方向,每隔一個單位長度種一棵樹,第2020棵樹所在的點的坐標(biāo)是???????? 。

在完成等差數(shù)列的前[n]項和的學(xué)習(xí)之后,教師提出上面的問題讓學(xué)生解決。一部分學(xué)生很快計算出正確結(jié)果,還有部分學(xué)生完全沒有頭緒。教師請已經(jīng)完成的學(xué)生講解自己的思路,一名學(xué)生說:“按照樹的種植位置的規(guī)律,可以放在一個個“正方形”中來考慮,第一個正方形上有三棵樹,第二個正方形上有5棵樹,第三個正方形上有7棵樹……以此類推,根據(jù)等差數(shù)列前[n]項和公式,找出和最靠近2020的[n]值,確定這棵樹的位置,然后寫坐標(biāo)。”教師肯定了該學(xué)生的觀點:“根據(jù)樹的種植位置找規(guī)律,很容易結(jié)合等差數(shù)列進(jìn)行求解,我們一起嘗試計算。”

第1個正方形? 第2個正方形? 第3個正方形? 第[n]個正方形

↓??????? ↓??????? ↓????????? ↓

3棵樹??????? 5棵樹?????? 7棵樹??????? 2[n]+1棵樹

前[n]個正方形共種植樹的棵數(shù)為3+5+7+……+([2n]+1)=[n(3+2n+1)2]=[n(n+2)],而44×46=2024,可知前44個正方形共種植樹木2024棵。由種植方向得出第2024棵樹在[y]軸上,其點的坐標(biāo)為(0,44),往回數(shù)四個點,即第2020棵樹的坐標(biāo)為(4,44)。

教師繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生思考:“根據(jù)前面的探究我們發(fā)現(xiàn),樹在種植排列時很有規(guī)律,我們要寫出某棵樹所在點的坐標(biāo),往往會借助坐標(biāo)軸上的點變動得到。大家觀察落在坐標(biāo)軸上‘樹的棵數(shù)與其所在點的坐標(biāo)關(guān)系,能否發(fā)現(xiàn)什么?”學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)這樣的規(guī)律:第4、16、36棵樹在[x]軸上,它們的坐標(biāo)分別為(2,0),(4,0),(6,0);第1、9、25棵樹在[y]軸上,坐標(biāo)分別為(0,1),(0,3),(0,5)。由[452=2025]類推可知,第2025棵樹在[y]軸上,其坐標(biāo)為(0,45),往回數(shù)五個點,即第2020棵樹的坐標(biāo)為(4,44)。

二、用數(shù)學(xué)思維想問題,推理數(shù)之“嚴(yán)謹(jǐn)性”

“邏輯推理”是得到數(shù)學(xué)結(jié)論、構(gòu)建數(shù)學(xué)體系的重要方法,是數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的基本保證。教學(xué)中,教師引導(dǎo)學(xué)生從概念、公理、定理出發(fā),通過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐茖?dǎo),方可獲得正確的結(jié)論。

例如:已知數(shù)列[an]的前[n]項和為[Sn],若[a1]=1,[an+1]=[13Sn],求[an]。這是數(shù)列中的高頻考點,考查[Sn]與[an]的關(guān)系,[an=S1,n=1Sn-Sn-1],[n≥2]。學(xué)生對這一類題目的解法很熟悉,可以順利解答。

當(dāng)[n=1]時,[a2=13a1=13]

當(dāng)[n≥2]時,由[an+1=13Snan=13Sn-1]作差可得[an+1]-[an]=[13an],即[an+1]=[43an]。

而看到[an+1]=[43an]時,學(xué)生就顧不上多想了,立即判定[an]是以[43]為公比的等比數(shù)列,然后求出其通項公式。這樣不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕Y(jié)論會得出錯誤答案,解題中學(xué)生忽略了非常重要的一點,[Sn]與[an]的關(guān)系在運(yùn)用時原本就是分類處理,所以[an+1]=[43an]的關(guān)系只能適用于[n≥2]時,還需要補(bǔ)充考慮[n=1]時,[a2]與[a1]的關(guān)系。由[a2=13a1=13]可知,數(shù)列[an]的第二項與第一項并不滿足比值為[43],由等比數(shù)列的定義,就不能下結(jié)論說[an]是以[43]為公比的等比數(shù)列。接上述過程,正確規(guī)范的后部分解答應(yīng)該是這樣的:

當(dāng)[n≥2]時,[an+1]=[43an];且[a2=13a1=13]不滿足上式;故[n≥2]時,[an=13·43n-2];

綜上[an=1,n=113·43n-2,n≥2。]

三、用數(shù)學(xué)語言答問題,建模數(shù)之“廣泛性”

數(shù)學(xué)的語言就是模型,在構(gòu)建模型的過程中,往往需要從錯綜復(fù)雜的現(xiàn)實背景中抽象出本質(zhì)的關(guān)系,并用數(shù)學(xué)符號和數(shù)學(xué)語言表達(dá)。

對于第一道例題中(2)的數(shù)字,學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)它們的規(guī)律——依次在小數(shù)點后多添加一個“3”。但是,如何通過一個式子正確表達(dá)第[n]項[an]與項數(shù)[n]之間的對應(yīng)關(guān)系,寫出數(shù)列的通項公式呢?教師可以適時引導(dǎo)學(xué)生對問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化,逐層遞進(jìn),讓他們親身經(jīng)歷探究過程,體驗解決問題的成就感。

轉(zhuǎn)化一(小數(shù)化整):3,33,333,3333...

轉(zhuǎn)化二(簡化倍數(shù)):1,11,111,1111...

轉(zhuǎn)化三(體現(xiàn)位數(shù)變化):1,10,100,1000...

轉(zhuǎn)化四(相關(guān)數(shù)的表示):9,99,999,9999...

在整個探究過程中,無論是整數(shù)還是小數(shù),依次添加一個數(shù)字的變化本質(zhì)是“數(shù)位的變化”,只要掌握了“轉(zhuǎn)化三”中數(shù)列通項公式的寫法,再進(jìn)行倍數(shù)及和差等運(yùn)算,這一類題目就迎刃而解。由1=[100]、10=[101]、100=[102]、1000=[103]可知“轉(zhuǎn)化三”中數(shù)列的通項公式為[an]=[10n-1]。于是可得:

轉(zhuǎn)化四:[an]=[10n-1]

轉(zhuǎn)化二:[an]=[19(][10n-1])

轉(zhuǎn)化一:[an]=[39(][10n-1])

所以,數(shù)列0.3,0.33,0.333,0.3333……的通項公式為[an]=[39(][1-][10-n])。

(作者單位:洪湖市文泉中學(xué))

責(zé)任編輯? 張敏

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