秦健 戴啟猛

【摘要】本文以中考備考專題復(fù)習(xí)課《巧用相似三角形的基本圖形之“K型”》課堂教學(xué)為例，闡述四度六步教學(xué)法在初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課教學(xué)中的應(yīng)用，用“六步”策略搭建完整教學(xué)框架，用“四度”理念提升教學(xué)立意，讓學(xué)生經(jīng)歷“建?！R(shí)模→用?！a(bǔ)?！钡臄?shù)學(xué)模型學(xué)習(xí)的過程。

【關(guān)鍵詞】四度六步教學(xué)法 初中數(shù)學(xué)教學(xué) 相似三角形的基本圖形 中考專題復(fù)習(xí)

【中圖分類號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2021）41-0058-06

復(fù)習(xí)課是數(shù)學(xué)教學(xué)中一種非常重要的課型，對(duì)夯實(shí)學(xué)生的基礎(chǔ)、培養(yǎng)和提高學(xué)生運(yùn)用知識(shí)和解決問題的能力具有舉足輕重的作用。復(fù)習(xí)課又是最難上的一種課型，學(xué)生沒有了學(xué)習(xí)新知識(shí)的新鮮感，學(xué)習(xí)激情下降。在中考復(fù)習(xí)時(shí)間緊、任務(wù)重的情況下，如何在有限的時(shí)間內(nèi)充分調(diào)動(dòng)學(xué)生參與課堂學(xué)習(xí)的積極性，從舊知識(shí)中找到新發(fā)現(xiàn)，提高綜合運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力，是畢業(yè)班老師們必須深入思考和研究的問題。筆者運(yùn)用四度六步教學(xué)法，以一節(jié)《巧用相似三角形的基本圖形之“K型”》為例，對(duì)中考專題復(fù)習(xí)課教學(xué)進(jìn)行探討，以期對(duì)教學(xué)有所幫助。

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

（一）內(nèi)容

相似三角形基本圖形之“K型”圖的建模與應(yīng)用。

（二）內(nèi)容解析

本節(jié)課屬于中考專題復(fù)習(xí)課，是在已經(jīng)完成全部課程學(xué)習(xí)，并復(fù)習(xí)了《圖形的認(rèn)識(shí)與三角形》《四邊形》的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步復(fù)習(xí)相似三角形的相關(guān)知識(shí)。

復(fù)習(xí)相似三角形基本圖形之“K型”及變型，建立圖感，為在復(fù)雜的圖形中迅速識(shí)別相似三角形，從而準(zhǔn)確、快速地解決相關(guān)問題做好鋪墊，為今后解決綜合性問題打下良好的基礎(chǔ)。

基于以上分析，本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是：相似三角形的基本圖形之“K型”圖的結(jié)構(gòu)特征與應(yīng)用。

二、目標(biāo)和目標(biāo)解析

（一）目標(biāo)

1.觀察相似三角形的基本圖形之“K型”圖的結(jié)構(gòu)特征，建立圖感;

2.利用相似三角形的典型模型“K型”，通過變式探究，讓學(xué)生充分感受模型思想在幾何圖形中的運(yùn)用。

（二）目標(biāo)解析

1.目標(biāo)1的具體要求：認(rèn)識(shí)相似三角形的基本圖形之“K型”圖的結(jié)構(gòu)特征及變形，建立圖感，能從復(fù)雜的圖形中提取基本圖形，并能找出圖形中基本元素之間的關(guān)系。

2.目標(biāo)2的具體要求：以課本為本，夯實(shí)基礎(chǔ)，在完成課本習(xí)題的基礎(chǔ)上，通過變式拓展，引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)解題過程中學(xué)會(huì)舉一反三、觸類旁通。在解題過程中滲透分類、方程、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想，提高學(xué)生綜合分析問題、解決問題的能力。

三、教學(xué)問題和診斷分析

很多學(xué)生在學(xué)習(xí)相似三角形時(shí)感到吃力，看著復(fù)雜的圖形不知道哪對(duì)三角形相似，對(duì)如何證明兩個(gè)三角形相似無(wú)從下手。本節(jié)課設(shè)計(jì)復(fù)習(xí)相似三角形的基本圖形之“K”型及變形，建立圖感，使學(xué)生能在復(fù)雜的圖形中迅速識(shí)別相似的三角形，從而準(zhǔn)確、快速地解決相關(guān)問題。

面對(duì)中考，大多數(shù)學(xué)生都有膽怯心理。本節(jié)課從課本的習(xí)題出發(fā)，拓展到對(duì)中考試題的挑戰(zhàn)，讓學(xué)生在挑戰(zhàn)的過程中得到新的收獲，增強(qiáng)自信心。

基于以上分析，本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)：在復(fù)雜圖形中迅速識(shí)別或補(bǔ)全相似三角形的基本圖形之“K型”。

四、教學(xué)實(shí)錄與評(píng)析

（一）溫故——復(fù)習(xí)提問，溫故孕新

師：“得模型者得幾何”，這是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)通識(shí)。幾何圖形千變?nèi)f化，但它們都是由數(shù)學(xué)的基本圖形組成。對(duì)數(shù)學(xué)的基本圖形，我們?cè)趺催M(jìn)行研究呢？本節(jié)課就讓我們從課本上的習(xí)題開始。

【引例1】（人教版九下課本57頁(yè)第3題）根據(jù)下列圖中所給的條件，判斷圖中兩個(gè)三角形是否相似，并求出x和y的值。

師：請(qǐng)問這道題需要我們解決幾個(gè)問題？

生：需要解決三個(gè)問題：①判斷是否相似;②求x;③求y。

老師舉著大拇指表?yè)P(yáng)：“同學(xué)們審題真仔細(xì)！”然后給學(xué)生時(shí)間思考。

師：哪位同學(xué)能解決第一個(gè)問題？

生1：因?yàn)镕G⊥GH，JI⊥HI，所以∠G=∠I=90°;又因?yàn)椤?=∠2，根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，從而有△FGH ∽△JIH。

師：這位同學(xué)不但能條理清晰地證明了兩個(gè)三角形相似，還能說出了判斷相似的依據(jù)，掌聲鼓勵(lì)本節(jié)課第一位勇敢回答問題的同學(xué)。

師：如何求出x和y的值？

生2：根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，對(duì)應(yīng)邊的比相等，可以求得x=4，y=10。

【實(shí)時(shí)評(píng)析】“數(shù)學(xué)者說：‘得模型者得幾何?！m然幾何圖形千變?nèi)f化，但它們都是由數(shù)學(xué)的基本圖形組成。對(duì)數(shù)學(xué)的基本圖形，我們是怎么進(jìn)行研究呢？本節(jié)課就讓我們從課本題開始?！?開頭語(yǔ)短短幾句話，激起學(xué)生“我要學(xué)”的沖動(dòng)，理解研究幾何基本圖形的重要性。引例選自課本練習(xí)，注重夯實(shí)基礎(chǔ)，同時(shí)為孕育新知埋下伏筆。

（二）引新——?jiǎng)?chuàng)設(shè)情境，引入課題

師：同學(xué)們能如此快速解決這道題，可見同學(xué)們能結(jié)合簡(jiǎn)單圖形比較熟練地運(yùn)用相似三角形的判定方法和性質(zhì)。那如果圖形變復(fù)雜了呢？請(qǐng)看題：

【引例2】（人教版八下課本34頁(yè)第6題）如圖，在正方形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是CD上一點(diǎn)，且CF=[14]CD。求證：∠AEF=90°。

師：在八年級(jí)時(shí)，我們?cè)\(yùn)用了勾股定理和逆定理進(jìn)行證明，現(xiàn)在你能利用相似三角形的相關(guān)知識(shí)來證明嗎？

生：由題目條件得到[ABBC]=[BEFC]=[21]，且∠ B=∠C=90°，根據(jù)兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似，得到△ABE∽△ECF，從而有∠BAE=∠CEF，易證∠AEF=90°。

師：同學(xué)們，請(qǐng)大家回過頭來看一看剛才的兩道引例中，雖然所給的已知條件和求證的問題不同，但兩者之間卻有本質(zhì)的相同點(diǎn)，誰(shuí)發(fā)現(xiàn)了？

生：（略）。

師：說明你很善于發(fā)現(xiàn)和總結(jié)。兩道題的相同點(diǎn)就是解決問題的關(guān)鍵都是證明兩個(gè)三角形相似。如果老師將圖形中與相似三角形無(wú)關(guān)的線隱去，那么又有什么驚人的發(fā)現(xiàn)呢？?jī)蓚€(gè)圖形形似什么？

生：它們“長(zhǎng)”得像字母“K”。

師：對(duì)。本節(jié)課我們將一起來研究相似三角形的基本圖形之“K型”。（教師轉(zhuǎn)身板書課題：巧用相似三角形的基本圖形之“K型”。）

【實(shí)時(shí)評(píng)析】將課本題目的圖形進(jìn)行“改良”，留下相似的兩個(gè)三角形，把多余的圖形隱去，得到相似的“K型”圖，讓學(xué)生體驗(yàn)一次簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)建模過程。相似“K型”圖的建模過程淺顯易懂，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，教師的巧妙設(shè)問和追問，體現(xiàn)了課堂應(yīng)有的溫度和梯度。

（三）探究——合作探究，活動(dòng)領(lǐng)悟

師： 為了方便敘述，我們把圖1（∠1+∠2=90°）稱為“直K型”，圖2（∠1=∠2）稱為“斜K型”。觀察圖1和圖2，請(qǐng)同學(xué)們回頭再認(rèn)真觀察一下這兩個(gè)基本圖形，它們有什么共同的特征？又能得到哪些共同的結(jié)論？?jī)烧咧g又有什么不同呢？

生1：都有∠A=∠B=90°。

生2：兩個(gè)三角形都在線段AB的同側(cè)。

生3：∠1+∠2=90°或∠1=∠2。

生4：我能分別證明兩個(gè)三角形相似。

生5：由兩個(gè)三角形相似，可以推導(dǎo)出對(duì)應(yīng)邊的比相等，對(duì)應(yīng)角相等。

師：同學(xué)們觀察仔細(xì)又全面，所發(fā)現(xiàn)的恰好是相似“K型”圖的關(guān)鍵特征，太厲害啦。

師：請(qǐng)同學(xué)們分別寫出兩個(gè)“K型”圖中相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比和相等的角。（請(qǐng)兩位學(xué)生板演）

圖1中，△APC ∽△BDP，[APBD]=[ACBP]=[CPPD]，∠A=∠B，∠C=∠2，∠1=∠D;

圖2中，△APC ∽△BPD，[APBP]=[ACBD]=[CPDP]，∠A=∠B，∠1=∠2，∠C=∠D。

師：兩位同學(xué)書寫正確，最值得肯定的是他們都注意將對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)寫在對(duì)應(yīng)的位置上。

師（再次強(qiáng)調(diào)）：“直K型”與“斜K型”對(duì)應(yīng)邊的不同，書寫時(shí)要注意兩者的區(qū)別。

【實(shí)時(shí)評(píng)析】數(shù)學(xué)家華羅庚先生說：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形離數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事休?！崩蠋熗ㄟ^開放性的問題，引導(dǎo)學(xué)生從“數(shù)”“形”兩方面觀察并認(rèn)識(shí)相似“K型”圖的形狀特征及存在的數(shù)量關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想。從“形”認(rèn)識(shí)，觀察圖象發(fā)現(xiàn)“K型”圖的關(guān)鍵特征，從而可證明兩個(gè)三角形相似;從“數(shù)”認(rèn)識(shí)，明白相似“K型”圖的作用，由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例和對(duì)應(yīng)角相等，可求解有關(guān)邊和角。

（四）變式——師生互動(dòng)，變式深化

師：在大家的共同努力下，同學(xué)們對(duì)相似的“K型”圖的形狀特征和存在的數(shù)量關(guān)系都有了充分的認(rèn)識(shí)，下面考考大家能不能靈活運(yùn)用。

【變式一】（2015·永州）如圖，已知AB⊥BD，CD⊥BD。若AB=9，CD=4，BD=12，請(qǐng)問在BD上是否存在P點(diǎn)，使以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與△PCD相似？若存在，求BP的長(zhǎng);若不存在，請(qǐng)說明理由。

生：根據(jù)兩個(gè)“K型”圖的結(jié)構(gòu)特征，分類討論。第一種情況為當(dāng)∠APB=∠CPD時(shí)，第二種情況為當(dāng)∠APB+∠CPD=90°時(shí)。

師：能想到分類討論，說明你對(duì)“K型”圖有特別深刻的認(rèn)識(shí)。請(qǐng)同學(xué)們動(dòng)筆計(jì)算，求BP的長(zhǎng)。

師生互動(dòng)：學(xué)生在本子上書寫答題過程，老師投影學(xué)生作品，學(xué)生相互評(píng)析優(yōu)點(diǎn)與不足。

教師適時(shí)小結(jié)：角已知，可定圖，角未知，思分類。

【實(shí)時(shí)評(píng)析】從引例到變式一，逐步推進(jìn)學(xué)生對(duì)基本圖形的認(rèn)識(shí)和理解，從熟練到靈活運(yùn)用，滿足了不同層次學(xué)生的需求。強(qiáng)調(diào)知識(shí)的次第重復(fù)，螺旋上升，使學(xué)生思維能力得以逐步提升。在師生活動(dòng)中，老師的恰時(shí)點(diǎn)撥、恰點(diǎn)歸納、恰當(dāng)鼓勵(lì)，使學(xué)生思維漸入佳境。

師：把題目的“已知AB⊥BD，CD⊥BD”改為“已知∠B=∠D=∠APC”，還能求出BP的長(zhǎng)嗎？

【變式二】如圖，已知∠B=∠D=∠APC。若AB=9，CD=4，BD=12，請(qǐng)問在BD上是否存在P點(diǎn)，使以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與△PCD相似？若存在，求BP的長(zhǎng);若不存在，請(qǐng)說明理由。

師生活動(dòng)：老師演示動(dòng)態(tài)圖，學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)，隨著角度的變化，圖形可分為三類，即當(dāng)∠B分別為直角、銳角、鈍角時(shí)的三種情況。

生1：我發(fā)現(xiàn)，三種情況證明相似的方法是相同的。

生2：我也發(fā)現(xiàn)，三種情況下分別計(jì)算BP的長(zhǎng)，答案是相同的。

師（追問）：這三個(gè)圖形有什么共性？

生1：有3個(gè)角相等。

生2：這3個(gè)相等的角頂點(diǎn)都在一條線上。

生3：這3個(gè)角都在直線的同側(cè)。

師：越來越佩服同學(xué)們，你們不但能想到分類討論，還能發(fā)現(xiàn)變化圖形中的共性，這樣的發(fā)現(xiàn)太有價(jià)值了，這三個(gè)圖形我們稱之為相似的“一線三等角型”。你們的發(fā)現(xiàn)，恰是相似“一線三等角型”的關(guān)鍵特征，太棒啦。

師適時(shí)小結(jié)：從直“K型”→“一線三等角型”，角度變了，圖形變了，但相似的關(guān)系和解題之通法不變。

【實(shí)時(shí)評(píng)析】此環(huán)節(jié)充分體現(xiàn)了教師的教學(xué)智慧，巧用“變”中的“不變”性，拓展學(xué)生思維，培養(yǎng)學(xué)生歸納概括的能力。數(shù)學(xué)問題雖然是千變?nèi)f化的，但數(shù)學(xué)思想方法是不變的。老師改變題目的已知條件，由直“K型”變成了“一線三等角型”，讓學(xué)生通過證明和計(jì)算發(fā)現(xiàn)，角度變了，圖形變了，但相似的關(guān)系和解題之通法不變。這讓學(xué)生對(duì)“K型”圖有了更深刻的認(rèn)識(shí)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)課堂應(yīng)有的思維深度。

（五）嘗試——嘗試練習(xí)，鞏固提高

請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)自己所在組別對(duì)應(yīng)獨(dú)立完成下面四道題中的一道題，解完題后便審讀并思考其他三道題。（教師巡堂指導(dǎo)，選出有代表性的學(xué)生解題過程，待大多數(shù)同學(xué)都對(duì)四道有所思考后再反饋講評(píng)。）

【題1】在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課中，數(shù)學(xué)秦老師帶領(lǐng)學(xué)生用下面的方法測(cè)量學(xué)校教學(xué)樓AB的高度。在一塊平面鏡上做一個(gè)標(biāo)記，并將鏡子放在距離教學(xué)大樓底端A點(diǎn)15米的地面E處，小君同學(xué)來回移動(dòng)，直至看到教學(xué)樓頂端B在鏡子中的像與鏡子上的標(biāo)記重合。此時(shí)測(cè)得小君與鏡子的距離CE=1.8米，小君的眼睛距地面高度DC=1.6米。請(qǐng)你計(jì)算教學(xué)樓的高度AB是? ?米。

分析：由題意得，∠AEB=∠CED，∠ABE=∠CDE=90°

∴△ABE∽△CDE

∴[ABCD]=[AECE]

即[AB1.6]=[151.8]

∴AB=[403]

【題2】如圖△ABC的頂點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別是（0，4）和（3，0），并且∠ACB=90°，∠B=30°，則頂點(diǎn)B的坐標(biāo)是? ? ?。

分析：仿照相似“K型”圖，過點(diǎn)B作BH⊥x軸于點(diǎn)H。

易證：△AOC∽△CHB

∴[AOCH]=[OCBH]=[ACBC]，[4CH]=[3BH]=[13]

又∵∠B=30°

∴[ACBC]=[13]

解得CH=[43]，BH=[33]

【題3】（2019·重慶）如圖，AB為半圓O的直徑，AD、BC分別切⊙O于A、B兩點(diǎn)，CD切⊙O于點(diǎn)E，AD與CD相交于D，BC與CD相交于C，已知AD=3，BC=[163]，則四邊形ABCD的周長(zhǎng)為? ? 。

分析：仿照相似“K型”圖，

連接CO、DO <P：＼廣西教育＼2021-11A＼圖片＼a4.tif> ∠5=90° <P：＼廣西教育＼2021-11A＼圖片＼a4.tif>△AOD ∽△BCO <P：＼廣西教育＼2021-11A＼圖片＼a4.tif>[ADOB]=[AOBC]

設(shè)⊙O半徑為r，[3r]=[r163]，解得r=4（r>0）

∴四邊形ABCD的周長(zhǎng)：3+3+4+4+[163]+[163]=[743]

【題4】（2015·南寧）在平面直角坐標(biāo)系中，已知A、B是拋物線y=ax2（a>0）上兩個(gè)不同的點(diǎn)，其中A在第二象限，B在第一象限。

（1）如圖3所示，當(dāng)直線AB與x軸平行，∠AOB=90°，且AB=2時(shí)，求此拋物線的解析式和A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)的乘積。

（2）如圖4所示，在（1）所求得的拋物線上，當(dāng)直線AB與x軸不平行，∠AOB仍為90°時(shí)，A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)的乘積是否為常數(shù)？如果是，請(qǐng)給予證明;如果不是，請(qǐng)說明理由。

師：請(qǐng)同學(xué)們思考，觀察以上題目中的圖形及解法，談?wù)勥\(yùn)用相似三角形的基本圖形“K型”，你有什么解題思路？

生1：對(duì)照基本圖形，缺什么就補(bǔ)什么。

生2： 我們要善于發(fā)現(xiàn)隱含著的“K型”圖。

師（適時(shí)小結(jié)）：遇局部，添輔助，仿模補(bǔ)全。

【實(shí)時(shí)評(píng)析】俗話說：“事非經(jīng)過不知難?！比绻f“溫故”“引新”“探究”“變式”等四個(gè)環(huán)節(jié)都有教師“扶”的因素，那么“嘗試”環(huán)節(jié)就是讓學(xué)生自主學(xué)習(xí)和嘗試學(xué)習(xí)。主體不參與，學(xué)習(xí)就不可能發(fā)生。初中數(shù)學(xué)課，強(qiáng)調(diào)嘗試和鞏固，這不僅符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，而且是提升教學(xué)質(zhì)量的重要方法。當(dāng)學(xué)生遇到圖形中沒有相似的基本圖形，卻有基本圖形的部分特征時(shí)，能悟出需要添加輔助線，構(gòu)造相似三角形，這便是學(xué)生思維能力“質(zhì)”的飛躍，培養(yǎng)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型意識(shí)就落到了實(shí)處。教師講評(píng)時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生歸納此類問題添加輔助線的基本思想就是缺什么補(bǔ)什么，把未知轉(zhuǎn)化為已知，強(qiáng)化轉(zhuǎn)化思想。學(xué)生通過獨(dú)立思考和自主嘗試，在融合了平面直角坐標(biāo)系、四邊形、圓、函數(shù)等復(fù)雜幾何圖形中，探索發(fā)現(xiàn)“隱藏”著的基本圖形，并能仿照基本圖形“補(bǔ)全”，適時(shí)歸納解決問題的基本方法及思維模式，使得課堂不僅有深度，而且有寬度。

（六）提升——適時(shí)小結(jié)，興趣延伸

師：本節(jié)課我們一起探究學(xué)習(xí)了相似的基本圖形之“K型”，請(qǐng)談?wù)勎覀兘?jīng)歷了一個(gè)怎樣的學(xué)習(xí)過程？

生1：從課本題到中考題。

生2：從“K型”到“一線三等角型”。

生3：從簡(jiǎn)單圖形到復(fù)雜圖形。

生4：從完整的“K型”到殘缺的“K型”。

師：同學(xué)們能從不同方向去思考，總結(jié)很精彩。我們還經(jīng)歷了一次數(shù)學(xué)幾何模型的學(xué)習(xí)過程，即“建?！R(shí)模→用?！a(bǔ)模”的過程，如表1所示（見下頁(yè)），今后我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)幾何模型常常會(huì)經(jīng)歷這樣的過程。

師：相似三角形的基本圖形，除了“K型”，還有“A型”“X型”“手拉手”型等（見下頁(yè)），同學(xué)們可以采用類似本節(jié)課的學(xué)習(xí)方法來研究其他的基本圖形。

【實(shí)時(shí)評(píng)析】小結(jié)歸納分為兩個(gè)部分，一是貫穿整個(gè)學(xué)習(xí)過程的知識(shí)內(nèi)容和圖像模型，幫助學(xué)生把握本課知識(shí)，培養(yǎng)自我歸納概括能力，形成知識(shí)系統(tǒng);二是總結(jié)數(shù)學(xué)模型的基本研究方法和數(shù)學(xué)思維模式，為后續(xù)類似內(nèi)容的學(xué)習(xí)搭建橋梁。

【作業(yè)】

（一）必做題

1.如圖，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C是線段BD的中點(diǎn)，且AC⊥CE，ED=1，BD=4，那么AB=? ? 。

2.一天，小林蹲在地上，通過地面上的一塊平面鏡（即點(diǎn)C），恰好能看到前方小樹（即DE）的樹梢（即點(diǎn)E），此時(shí)他測(cè)得鏡子（點(diǎn)C）的俯角為45°，然后她直接抬頭觀察樹梢，測(cè)得樹梢（點(diǎn)E）的仰角為30°，如圖中所示，假設(shè)AB⊥BD、ED⊥BD，小林蹲在地上時(shí)眼部到地面的距離（即AB）為0.7米，回答下列問題：

（1）填空：∠BAC= 度，∠BCA= 度，BC= 米，∠DCE= 度;

（2）在（1）的基礎(chǔ)上求樹高DE。

（結(jié)果保留0.1米，[2]≈1.4，[3]≈1.7）

（二）選做題

3.如圖，Rt△OAB的頂點(diǎn)O與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，∠AOB=90°，AO=[2]BO，當(dāng)A點(diǎn)在反比例函數(shù)[y]=[1x]（x>0）的圖象上移動(dòng)時(shí)，B點(diǎn)坐標(biāo)滿足的反比例函數(shù)解析式為? ? ? ?。

4.如圖，拋物線y=-[14]x2+x+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，0）。

（1）求此拋物線的解析式;

（2）若點(diǎn)D是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥x軸于E，連接CD，以O(shè)E為直徑作⊙M，試求當(dāng)CD與⊙M相切時(shí)D點(diǎn)的坐標(biāo)。

【板書設(shè)計(jì)】

五、課后總評(píng)

這是一節(jié)初中數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)課，老師靈活運(yùn)用四度六步教學(xué)法，教學(xué)設(shè)計(jì)精心獨(dú)特，教學(xué)過程自然流暢，課內(nèi)師生、生生有序互動(dòng)，學(xué)生學(xué)得意猶未盡，真正實(shí)現(xiàn)了由“學(xué)會(huì)”到“會(huì)學(xué)”的轉(zhuǎn)變。

一是“六步”教學(xué)框架巧妙設(shè)計(jì)。在“六步”教學(xué)策略的引導(dǎo)下，老師搭建了一個(gè)完整的教學(xué)框架，讓學(xué)生經(jīng)歷“建?！R(shí)?！媚！a(bǔ)?！睌?shù)學(xué)模型的學(xué)習(xí)過程。

“溫故”：復(fù)習(xí)相似三角形的基本圖形，利用學(xué)生熟悉的課本練習(xí)題，“預(yù)熱”情緒，引發(fā)思考，孕育新知。

“引新”：增加圖形復(fù)雜性，再將圖形“改良”，得到相似的“K型”圖，讓學(xué)生體驗(yàn)一次簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)建模過程。這符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。

“探究”：老師通過開放性的問題，引導(dǎo)學(xué)生從“數(shù)”“形”兩方面觀察并認(rèn)識(shí)相似“K型”圖的形狀特征及存在的數(shù)量關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想。

“變式”：“變式一”讓學(xué)生學(xué)會(huì)分類討論，“變式二”從直角三角形變?yōu)槠胀ㄈ切?，在具有共同結(jié)構(gòu)特征的情況下，使學(xué)生歸納、總結(jié)得到共同結(jié)論。兩個(gè)變式讓學(xué)生對(duì)基本圖形有了更深刻的認(rèn)識(shí)。

“嘗試”：進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生用模意識(shí)，在復(fù)雜圖形中發(fā)現(xiàn)“隱藏”著的基本圖形，對(duì)學(xué)生在熟練、靈活運(yùn)用基本圖形解決問題的能力提出更高要求。

“提升”：以小見大，本節(jié)課所運(yùn)用的探究相似“K型”圖的方法和思維方式，還適用于相似的“A型”“X型”“手拉手型”等其他圖型。

二是“四度”教學(xué)理念融合其中。這是一節(jié)有溫度的課。在教學(xué)中，老師親切的態(tài)度，有效的提問，適當(dāng)?shù)募?lì)評(píng)價(jià)，都充分體現(xiàn)了課堂應(yīng)有的溫度。

這是一節(jié)有梯度的課。本節(jié)課從課本題到中考題，從“K型”到“一線三等角型”，從簡(jiǎn)單圖形到復(fù)雜圖形，從完整的“K型”到殘缺的“K型”，從只需做一條輔助線到需要作兩條輔助線，教學(xué)各環(huán)節(jié)都充分體現(xiàn)了有“梯度”的教學(xué)，實(shí)踐“人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的開展”的教育理念。

這是一節(jié)有深度的課。在一節(jié)數(shù)學(xué)課中，尤其是在復(fù)習(xí)課中數(shù)學(xué)思想方法的滲透是十分必要的，否則就成了習(xí)題課，就題解題，只能收獲解題技巧，但這樣的課是沒有深度的。秦老師在本節(jié)課中融合了類比、分類、方程、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想，引導(dǎo)學(xué)生去運(yùn)用模型，深化模型，把模型用熟用透，抓住其中不變的本質(zhì)解決變化的問題。這些數(shù)學(xué)思想方法不是表面化的記憶方式提出，而是在學(xué)生練習(xí)變式、類比歸納、思考整合的過程中可以體驗(yàn)到，真正體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法的感悟和滲透。

這還是一節(jié)有寬度的課。本節(jié)課尤其注重聯(lián)系、知識(shí)融合和能力遷移。在“變式”環(huán)節(jié)，老師引導(dǎo)學(xué)生探究“變”與“不變”之間的關(guān)系，共同歸納出“不變”的本質(zhì);在“提升”環(huán)節(jié)里，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)無(wú)論“K型”“A型”或“X型”，都是相似三角形，利用相似三角形的性質(zhì)解決實(shí)際問題。這樣的復(fù)習(xí)課設(shè)計(jì)，把課本知識(shí)教“活”，把解題方法教“活”，讓學(xué)生能舉一反三、觸類旁通。

【參考文獻(xiàn)】

[1]戴啟猛.基于初中數(shù)學(xué)“四度六步”教學(xué)法的理論基礎(chǔ)與實(shí)踐架構(gòu)[J].中小學(xué)課堂教學(xué)研究，2020（3）.

[2]戴啟猛.追求有寬度的課堂[J].中小學(xué)課堂教學(xué)研究，2021（2）.

[3]戴啟猛.追求有深度的課堂[J].中小學(xué)課堂教學(xué)研究，2020（11）.

【作者簡(jiǎn)介】秦 健，南寧市天桃實(shí)驗(yàn)學(xué)校高級(jí)教師，廣西教研院兼職教研員，廣西“園丁工程”、廣西“名師深藍(lán)工程”培養(yǎng)對(duì)象，南寧市學(xué)科帶頭人，廣西特級(jí)教師;戴啟猛，南寧市教育科學(xué)研究所所長(zhǎng)，中小學(xué)正高級(jí)教師，廣西特級(jí)教師，廣西師范大學(xué)教育學(xué)部特聘研究員，廣西“八桂教育家搖籃工程”培養(yǎng)對(duì)象，廣西基礎(chǔ)教育數(shù)學(xué)教學(xué)指導(dǎo)專業(yè)委員會(huì)主任委員，教育部基礎(chǔ)教育數(shù)學(xué)教學(xué)指導(dǎo)專業(yè)委員會(huì)委員，初中數(shù)學(xué)“四度六步”教學(xué)法創(chuàng)始人。

（責(zé)編 李 唐）