陳思宇，譚儒龍，郭曉東，闞 磊

（1．重慶理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，重慶 400054；2．陸裝駐重慶地區(qū)第六軍代室，重慶 400042）

剛度激勵(lì)是齒輪動(dòng)態(tài)激勵(lì)的主要來(lái)源之一，是由齒輪傳動(dòng)過(guò)程中隨時(shí)間周期變化的嚙合剛度即時(shí)變嚙合剛度所產(chǎn)生的［1－2］，確定齒輪的嚙合剛度一直都是齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)研究的熱點(diǎn)，對(duì)此國(guó)內(nèi)外已有大量學(xué)者進(jìn)行研究，并取得了不少成果。在已發(fā)表的文獻(xiàn)中，齒輪嚙合剛度的計(jì)算多采用材料力學(xué)法和有限元法，其中材料力學(xué)法是應(yīng)用最早且是最快速的求解方法［3］。

在基于材料力學(xué)的嚙合剛度計(jì)算研究中，日本學(xué)者通過(guò)對(duì)輪齒齒形的大幅簡(jiǎn)化，提出了能夠?qū)崿F(xiàn)嚙合剛度快速計(jì)算的石川公式，但由于該計(jì)算模型未考慮輪齒基體變形對(duì)嚙合剛度的影響，計(jì)算精度不夠理想［4］。李亞鵬等［5］在石川公式的基礎(chǔ)上對(duì)其進(jìn)行改進(jìn)，將輪齒基體的變形量考慮在內(nèi)提出了新的嚙合剛度計(jì)算方法。Weber［6］根據(jù)利用能量積分導(dǎo)出包含輪齒彎曲、剪切與壓縮的綜合變形計(jì)算方法。Cornell［7］在Weber的研究基礎(chǔ)上，進(jìn)一步提出了包含齒根圓角以及輪齒基礎(chǔ)彈性變形的數(shù)值積分法。YANG等［8］基于勢(shì)能原理，提出了齒輪嚙合剛度計(jì)算模型，WU等［9］和TIAN［10］在該模型的基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究了包含剪切變形的影響。陳再剛等［11］基于剛度與輪齒誤差相互作用的思想，提出了更加符合實(shí)際的時(shí)變齒側(cè)間隙嚙合剛度計(jì)算模型。貴新成等［12］采用修正的齒面赫茲接觸剛度計(jì)算方法，基于勢(shì)能法建立了單輪齒對(duì)嚙合綜合剛度模型。CHEN Zaigang等［13］通過(guò)考慮齒形變形、齒接觸變形、圓角－基礎(chǔ)變形、齒輪體結(jié)構(gòu)耦合效應(yīng)以及齒形偏差等各種變形，提出了一種綜合的、通用的解析齒輪嚙合模型。

與材料力學(xué)理論模型相比，有限元模型可以模擬復(fù)雜的幾何形狀、邊界條件及工況，能夠獲得更加接近實(shí)際的變形及詳細(xì)的應(yīng)力分布情況［11］。WANG J等［14］采用有限元法分析了不同載荷對(duì)漸開(kāi)線(xiàn)直齒圓柱齒輪嚙合剛度的影響。唐進(jìn)元等［15］和雷敦財(cái)?shù)龋?6］利用有限元法中的準(zhǔn)靜態(tài)計(jì)算方法，針對(duì)齒根裂紋、齒廓修形等對(duì)嚙合剛度的影響進(jìn)行了計(jì)算分析。陸鳳霞等［17］針對(duì)時(shí)變嚙合剛度的計(jì)算，在有限元法基礎(chǔ)上提出了一種新的基于齒輪嚙合特性的有限元網(wǎng)格劃分方法。馮正玖等［18］針對(duì)齒輪副的嚙合剛度，運(yùn)用三維有限元法獲得了直齒輪齒面的柔度矩陣，建立了直齒輪嚙合副的線(xiàn)接觸和面接觸2種輪齒承載接觸分析模型。

在齒輪嚙合剛度計(jì)算中，材料力學(xué)方法計(jì)算耗時(shí)短，但計(jì)算準(zhǔn)確度較低，以有限元方法為代表的數(shù)值計(jì)算方法計(jì)算準(zhǔn)確度高，但計(jì)算耗時(shí)較長(zhǎng)。因此，本文力圖探尋一種在精度損失較小情況下，直齒圓柱齒輪嚙合剛度的快速計(jì)算方法。本文從能量等效思想出發(fā)，提出單齒嚙合剛度快速計(jì)算模型，并結(jié)合位移相容原理，形成直齒圓柱齒輪時(shí)變嚙合剛度計(jì)算方法。最終對(duì)比本文中計(jì)算方法與有限元分析方法的結(jié)果表明，本文中提出的方法能夠在不顯著降低計(jì)算準(zhǔn)確度的情況下，實(shí)現(xiàn)直齒圓柱齒輪時(shí)變嚙合剛度的快速計(jì)算。

1 漸開(kāi)線(xiàn)直齒圓柱齒輪單齒嚙合剛度計(jì)算模型

由于齒輪在嚙合過(guò)程中情況比較復(fù)雜，作為對(duì)實(shí)際嚙合狀況的一個(gè)合理簡(jiǎn)化，在分析齒輪變形時(shí)進(jìn)行以下設(shè)定：載荷沿接觸線(xiàn)的均勻分布；無(wú)安裝制造誤差及動(dòng)載荷；漸開(kāi)線(xiàn)直齒圓柱齒輪齒廓為二維平面曲線(xiàn)。

將漸開(kāi)線(xiàn)直齒圓柱齒輪輪齒視為如圖1所示的變截面懸臂梁模型。如圖1所示，F(xiàn)是沿嚙合線(xiàn)方向上的嚙合作用力，α1是嚙合力與齒厚方向的夾角，h是嚙合作用點(diǎn)的齒厚的一半，hx是變截面處齒厚的一半，x是截面到嚙合作用點(diǎn)的距離，dx則是截面微段長(zhǎng)度，Rint是齒輪內(nèi)孔半徑。

圖1 漸開(kāi)線(xiàn)直齒圓柱齒輪輪齒截面懸臂梁模型示意圖

將輪齒的變形等效成嚙合力F引起的沿嚙合線(xiàn)方向的彈簧變形，彈簧做工的彈性勢(shì)能表達(dá)式為：

剛度K乘上彈簧變形量μ等于這個(gè)彈簧的彈簧反力：

結(jié)合式（1）～（2），在嚙合力F作用下，輪齒發(fā)生的彎曲、剪切與沿齒高方向的軸向壓縮變形而存儲(chǔ)的等效彈性勢(shì)能為：

式中：Kb、Ks、Ka分別是沿嚙合線(xiàn)方向與輪齒彎曲、剪切、軸向壓縮變形相對(duì)應(yīng)的等效彈簧剛度；Eb、Es、Ea分別是嚙合力沿嚙合線(xiàn)方向做的功分別等效為輪齒彎曲變形、剪切變形以及軸向壓縮變形引起的等效彈簧彈性勢(shì)能。

結(jié)合式（2）～（5）聯(lián)立求得彎曲、剪切、軸向壓縮變形的等效彈性勢(shì)能：

根據(jù)懸臂梁理論，將嚙合力F處的應(yīng)變能分為彎曲、剪切、軸向壓縮應(yīng)變能：

式中：K是量綱為1的量，與橫截面形狀和尺寸有關(guān)，漸開(kāi)線(xiàn)直齒輪齒截面為矩形截面，故K取值1 2。E和G是材料的彈性模量和剪切模量，其中：

Fb、Fa、M分別是嚙合力F沿輪齒齒厚方向的分力、垂直于齒厚方向的分力以及相對(duì)于寬度為dx的微截面力矩，結(jié)合圖1表示為：

Ix、Ax是距離嚙合點(diǎn)x處的截面慣性矩與截面面積，結(jié)合圖1表示為：

式中的b是輪齒的寬度。其中的h與hx的值可通過(guò)計(jì)算直齒輪任意弦齒厚的方法得到，表達(dá)式為：

結(jié)合式（9）～（17）與圖示1可得彎曲剛度Kb的計(jì)算表達(dá)式為：

剪切剛度Ks的計(jì)算表達(dá)式為：

軸向壓縮剛度Ka的計(jì)算表達(dá)式為：

赫茲接觸剛度Kh計(jì)算表達(dá)式為：

齒輪嚙合剛度不僅受到輪齒變形的影響，也會(huì)受到輪體變形的影響。輪體變形引起的嚙合線(xiàn)上等效剛度Kf為：

式中，δf為齒輪的輪體變形量［11］。

由式（22）～（26）可得漸開(kāi)線(xiàn)齒輪單齒嚙合剛度Ke的表達(dá)式：

式中：腳標(biāo)1、2分別對(duì)應(yīng)主動(dòng)輪、從動(dòng)輪。

2 漸開(kāi)線(xiàn)直齒圓柱齒輪時(shí)變嚙合剛度計(jì)算模型

為保證齒輪正確傳動(dòng)，任何瞬間至少要有一對(duì)輪齒嚙合。如圖2所示，在齒輪正常傳動(dòng)過(guò)程中，一對(duì)輪齒還未完全退出嚙合處于嚙合點(diǎn)B1時(shí)，下一對(duì)輪齒已經(jīng)于嚙合點(diǎn)B2開(kāi)始進(jìn)入嚙合。

圖2 漸開(kāi)線(xiàn)直齒圓柱齒輪連續(xù)嚙合傳動(dòng)示意圖

利用重合度可得出單齒嚙合區(qū)與多齒嚙合區(qū)，重合度計(jì)算式為：

式中：αa1和αa2為齒頂圓的壓力角；α′為分度圓壓力角。

接觸點(diǎn)B1和B2到圓心的距離為：

由于齒輪傳動(dòng)任意嚙合點(diǎn)都處于如圖2所示嚙合線(xiàn)N1N2上，通過(guò)重合度可計(jì)算出當(dāng)?shù)诙?duì)輪齒開(kāi)始進(jìn)入嚙合時(shí)，第一對(duì)輪齒所在嚙合點(diǎn)B1位置。

基于位移相容原理，在從動(dòng)輪變形轉(zhuǎn)角為θ的情況下，參與嚙合的第一對(duì)齒的變形量δ1與同時(shí)參與嚙合的第二對(duì)齒的變形量δ2的表達(dá)式：

式中α1和 α2是嚙合點(diǎn)B1與B2的壓力角，由式（30）～（31）表明變形量是嚙合副狀態(tài)的函數(shù)。通過(guò)變形量與單齒嚙合剛度值可得嚙合齒對(duì)的嚙合力表達(dá)式：

式中的腳標(biāo)i表示參與嚙合的第i對(duì)齒。

當(dāng)全部嚙合力與外力處于平衡時(shí)有：

根據(jù)嚙合剛度定義，每單位齒寬的齒面法向載荷和每個(gè)輪齒齒面法向變形量的總和的比值，稱(chēng)為一對(duì)輪齒的嚙合剛度Ke，表達(dá)式為：

由式（32）～（34）可得多齒嚙合剛度表達(dá)式為：

結(jié)合式（30）～（35）簡(jiǎn)化可得：

式中的單齒嚙合剛度Ki通過(guò)第1節(jié)公式獲得。由該式可見(jiàn)，Ki、Li與αi是齒輪系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變量的函數(shù)，綜合嚙合剛度K具有非線(xiàn)性。

3 算例分析

通過(guò)有限元法的具體實(shí)例來(lái)驗(yàn)證文中所提出算法的準(zhǔn)確性，采用如表1所示的3組齒對(duì)參數(shù)。

表1 3組齒對(duì)參數(shù)

3．1 齒輪有限元前處理模型

將齒對(duì)的三維實(shí)體幾何模型導(dǎo)入到有限元前處理軟件中，得到其有限元網(wǎng)格模型。由接觸力學(xué)可知，接觸應(yīng)力在接觸區(qū)附近高度集中，應(yīng)力梯度較大，因此接觸部分網(wǎng)格進(jìn)行密化。根據(jù)彈性力學(xué)圣維南原理，在遠(yuǎn)離接觸區(qū)部分，其受力分布情況對(duì)接觸區(qū)應(yīng)力分布影響較小，誤差小于1%。因此，考慮到實(shí)例中的齒輪副參數(shù)重合度大于1小于2，故任何瞬間最多2對(duì)輪齒最少1對(duì)輪齒參與嚙合，為合理分配計(jì)算量，則采用3對(duì)輪齒進(jìn)行分析。對(duì)于單元類(lèi)型，由于六面體在接觸問(wèn)題中的計(jì)算代價(jià)遠(yuǎn)小于四面體網(wǎng)格，同時(shí)在單元積分形式的選擇上，由于網(wǎng)格的扭曲變形對(duì)分析精度會(huì)有影響，故可選擇產(chǎn)生影響相對(duì)較小的減縮積分單元，因此，在本文中，綜合考慮計(jì)算效率和計(jì)算精度后，采用六面體一次縮減積分單元（C3D8R）建立齒輪有限元模型。三齒漸開(kāi)線(xiàn)直齒圓柱齒輪有限元模型如圖3所示，并采用文獻(xiàn)［19］的有限元方法對(duì)其進(jìn)行靜力學(xué)分析。

圖3 模數(shù)1．5齒對(duì)有限元模型示意圖

3．2 計(jì)算結(jié)果處理與分析

齒輪單齒嚙合剛度的一般表達(dá)式為

式中：Fn是作用于齒廓曲面的法向接觸力；un是單對(duì)輪齒的綜合彈性變形。通過(guò)有限元后處理得到法向接觸力Fn以及綜合彈性變形量un之后，由式（37）計(jì)算出單齒一個(gè)嚙合周期在不同嚙合位置的嚙合剛度，再通過(guò)多項(xiàng)式插值得到單齒嚙合剛度曲線(xiàn)。將單齒嚙合剛度曲線(xiàn)左右移動(dòng)nΔα角度可得到多齒對(duì)的嚙合剛度，并通過(guò)式（39）對(duì)其進(jìn)行疊加得到綜合嚙合剛度曲線(xiàn)。

根據(jù)表1中第1組齒對(duì)參數(shù)，利用本文的計(jì)算方法完成主動(dòng)輪和從動(dòng)輪的輪齒剛度計(jì)算，結(jié)果如圖4所示。從圖4中可以看出，根據(jù)本文提出的計(jì)算方法所得結(jié)果與有限元法計(jì)算結(jié)果基本相符，誤差低于6%。

圖5為本文方法、有限元法獲得的單齒嚙合剛度曲線(xiàn)。由圖5可知，在整個(gè)輪齒嚙合過(guò)程中，嚙入嚙出區(qū)域單齒剛度較小，而中間部分對(duì)應(yīng)的嚙合剛度較強(qiáng)。圖6為綜合嚙合剛度曲線(xiàn)。由圖6可知，綜合嚙合剛度是在一定范圍內(nèi)呈周期性交替變化的。具體嚙合剛度計(jì)算誤差如表2所示。通過(guò)3組實(shí)例的對(duì)比分析，可以認(rèn)為本文所提出的直齒圓柱齒輪嚙合剛度計(jì)算方法計(jì)算結(jié)果較為準(zhǔn)確。

圖4 輪齒剛度曲線(xiàn)

圖5 單齒嚙合剛度曲線(xiàn)

圖6 綜合嚙合剛度曲線(xiàn)

表2 嚙合剛度計(jì)算誤差

4 結(jié)論

1）基于能量等效原理，可以有效構(gòu)建漸開(kāi)線(xiàn)直齒圓柱齒輪單齒嚙合剛度計(jì)算模型。

2）基于位移相容的條件，從齒輪單齒嚙合剛度中可以導(dǎo)出綜合嚙合剛度計(jì)算模型。

3）提出的直齒圓柱齒輪嚙合剛度計(jì)算方法計(jì)算結(jié)果較為準(zhǔn)確。由于采用的是簡(jiǎn)單積分計(jì)算式，可以實(shí)現(xiàn)直齒圓柱齒輪嚙合剛度快速計(jì)算。