高金霞，武繼江

(山東理工大學(xué) 物理與光電工程學(xué)院,山東 淄博 255049)

超導(dǎo)材料具有一定的不同于傳統(tǒng)電介質(zhì)材料的電磁特性，對含超導(dǎo)材料的各種分層結(jié)構(gòu)光學(xué)特性的研究吸引了科研人員的廣泛關(guān)注[1-3]。Goos-H?nchen(GH)位移是一種特殊的物理光學(xué)現(xiàn)象[4]。它泛指光束在一定的界面發(fā)生反射時，反射光束相對于幾何光學(xué)預(yù)言的位置在橫向上發(fā)生了一定位移，這一位移被稱為GH位移。一般結(jié)構(gòu)的GH位移在量值非常小，通常為光波長量級，對光學(xué)器件的工作過程基本沒有影響。近年來隨著納米加工技術(shù)的發(fā)展，一些光學(xué)器件的有效作用尺寸已和光波長相接近，光波在介質(zhì)界面產(chǎn)生的GH位移，就變成一個非常值得研究的問題。對含超導(dǎo)材料的分層結(jié)構(gòu)，Dadoenkov等人就一維超導(dǎo)光子晶體和含超導(dǎo)材料的三層復(fù)合結(jié)構(gòu)的GH位移進行了研究[5-6]，得到了一些有意義的結(jié)果。

零折射率材料通常是指折射率等于零或近似為零的人工電磁超材料[7]。由于其介電參量具有近零特性，研究人員發(fā)現(xiàn)了許多不尋常的光學(xué)現(xiàn)象，提出了許多應(yīng)用。研究表明，超導(dǎo)材料在一定的波段范圍內(nèi)也表現(xiàn)為零折射率材料。在近零折射率區(qū)，研究人員對含超導(dǎo)材料的分層結(jié)構(gòu)的光學(xué)特性已進行了一定研究，發(fā)現(xiàn)了一些奇異的光學(xué)特性[8-11]。而對含超導(dǎo)材料的一些光學(xué)結(jié)構(gòu)在近零折射率區(qū)GH位移的研究近來也開展起來，但所研究的光學(xué)結(jié)構(gòu)較為簡單[12-13]。對由零折射率材料構(gòu)成的一定光學(xué)結(jié)構(gòu)的GH位移，研究人員也開展了相當多的研究[14-15]。但在這些研究中，近零折射率材料的折射率設(shè)定為常數(shù)，這不符合近零折射率材料一般為色散材料這一事實?？紤]到實際應(yīng)用，并對上述研究作一定的補充，本文將就由超導(dǎo)材料和傳統(tǒng)的電介質(zhì)材料構(gòu)成的雙層結(jié)構(gòu)的GH位移進行研究。相對于Dadoenkov等[6]所研究的含超導(dǎo)材料的三層復(fù)合結(jié)構(gòu)，雙層結(jié)構(gòu)在結(jié)構(gòu)上更簡單，且在研究中考慮到在Dadoenkov等人的研究中所沒有考慮的超導(dǎo)材料的零折射率特性。超導(dǎo)材料的電磁特性可通過外加磁場、溫度或壓力等物理作用進行調(diào)節(jié)[3]，反之對某一光學(xué)結(jié)構(gòu)的光學(xué)特性進行測量，可實現(xiàn)對相應(yīng)物理量的傳感測量?；贕H位移效應(yīng)所實現(xiàn)的傳感器件具有較高的傳感精確度和探測靈敏度4]，因此開展含超導(dǎo)材料的一定光學(xué)結(jié)構(gòu)GH位移的研究，對實現(xiàn)低溫情況下溫度和磁場等物理量的傳感測量具有一定的參考價值。隨著探測技術(shù)的發(fā)展，當前完全可以在超低溫情況下實現(xiàn)納米光學(xué)尺寸的精密測量[16-17]。

1 計算模型

圖1給出了含超導(dǎo)材料雙層結(jié)構(gòu)的GH位移示意圖。設(shè)該雙層結(jié)構(gòu)處于自由空間(n0= 1)。根據(jù)光波傳輸所經(jīng)過的先后順序，該雙層結(jié)構(gòu)如圖1所示有超導(dǎo)(S)/介質(zhì)(D)(定義為SD結(jié)構(gòu))和介質(zhì)/超導(dǎo) (定義為DS結(jié)構(gòu))兩種情況。當光波以入射角θ從自由空間入射到雙層結(jié)構(gòu)上，基于穩(wěn)態(tài)相位法，此時所產(chǎn)生的GH位移可表示為

(1)

式中：k0= 2πn0/λ為入射空間中的波矢量；Ф是反射系數(shù)r的相位角；λ為真空中光波長。圖1中nS(nD)和dS(dD)分別為超導(dǎo)材料(介質(zhì)材料)層的折射率和厚度。對電介質(zhì)材料，在計算中選擇的是Al2O3材料，其折射率nD= 1.767[6]。對超導(dǎo)材料，選擇高溫超導(dǎo)材料釔鋇銅氧超導(dǎo)體 (YBCO)。對分層結(jié)構(gòu)反射系數(shù)r的計算可采用大家熟知的傳輸矩陣法。

(a) SD結(jié)構(gòu)

根據(jù)二流體模型，高溫超導(dǎo)體的折射率可以被表示為[9]

(2)

式中：ω為入射光的角頻率；μ0和ε0分別為自由空間中的磁導(dǎo)率和介電常數(shù)；λL為倫敦穿透深度，其一般可表示為

(3)

式中：T為環(huán)境溫度；Tc為超導(dǎo)材料的臨界溫度；λ0為T= 0 K時的穿透深度。由式(2)中可以看出，超導(dǎo)材料的折射率不僅依賴于入射光波的頻率，還與溫度有關(guān)。根據(jù)式(2)，圖2給出了7.7 K和80 K時高溫超導(dǎo)材料YBCO的折射率的實部nR和虛部nI隨波長的變化曲線。其中虛部nI實際上是大家熟知的消光系數(shù)。對超導(dǎo)材料YBCO[9]，臨界溫度Tc= 90 K，T= 0 K時的倫敦深度λ0= 220 nm。

由圖2易知，在確定的溫度下，在某一波長處nR和nI均為0。定義該波長為閾值波長λth。由圖2可以看出，當波長小于λth時，nR為實數(shù)，且隨著波長的增大，nR逐漸減小。而在大于λth的波段范圍內(nèi)，超導(dǎo)材料表現(xiàn)為零折射率材料。由圖2還可看出，溫度越高，λth就越大。

圖2 超導(dǎo)材料YBCO的折射率隨波長的變化曲線Fig.2 Wavelength-dependent refractive index of YBCO at 7.7 K and 80 K

2 數(shù)值結(jié)果與分析

基于上述計算模型，圖3和圖4分別給出了S波和P波入射時不同波長下的GH位移隨入射角的變化曲線。計算中溫度取為7.7 K，此時閾值波長λth約為1 382.34 nm。計算中超導(dǎo)層和電介質(zhì)層的厚度均取為60 nm，其他參數(shù)同圖2。由圖3和圖4分可以看出，類似于文獻[6]所討論的三層結(jié)構(gòu)，在掠入射時，GH位移在量值上均隨著入射角的增大而急劇增大，所不同的是GH位移的符號存在一定的差異，對S波，GH位移為負值，而對P波，GH位移的正負與結(jié)構(gòu)和入射光波長有關(guān)。由于在以較大入射角入射時，GH位移的變化較為簡單，后續(xù)將主要討論小角度入射時GH位移的變化規(guī)律。

非掠入射時，GH位移隨入射角的變化也與結(jié)構(gòu)和入射光波長有關(guān)。由圖3(a)和(b)可知，在近零折射率區(qū)，對S波，各波長下的GH位移隨入射角的變化較為一致。隨著入射角的增大，對SD結(jié)構(gòu)，由圖3(a)可知，GH位移是先增大，達到正的極值后再減小，在減小的過程中由正值變?yōu)樨撝?。而對DS結(jié)構(gòu)，由圖3(b)可知，各波長下的GH位移保持為負值，且隨著入射角的增大而逐漸減小，在量值上則是隨著入射角的增大而逐漸增大。由圖3(a)和(b)還可看出，此時，GH位移隨波長的變化與結(jié)構(gòu)相關(guān)。對SD結(jié)構(gòu)，隨著波長的增大GH位移逐漸增大，而對DS結(jié)構(gòu)則正好相反。但在量值上二者是一致的，均是隨著波長的增大而逐漸增大。

(a)SD結(jié)構(gòu)

對P波，由圖4(a)和(b)可知，在近零折射率區(qū)，各波長下的GH位移隨入射角的變化較為復(fù)雜。對SD結(jié)構(gòu)，圖4(a)可知，當以閾值波長λth入射時，GH位移基本保持為某一常數(shù)而不隨入射角變化。當入射光波長小于λth時，GH位移為正值。隨著入射角的增大，GH位移基本是先增大后減小而后又增大。當入射光波長大于λth時，GH位移的情況恰好相反。此時，GH位移為負值，且隨著入射角的增大，是先減小后增大而后又減小。當小角度入射時，在確定的入射角下，GH位移隨波長的變化是一致的，無論入射光波長大于λth還是小于λth，GH位移均是隨著波長的增大而逐漸增大，但GH位移在量值上的變化正好相反。

(a) SD結(jié)構(gòu)

類似于SD結(jié)構(gòu)，對DS結(jié)構(gòu)，當P波入射時，GH位移隨入射角的變化也以λth為分界波長。但此時以λth入射時，GH位移不再保持為某一常數(shù)，而是隨著入射角的增大而逐漸增大。當入射光波長大于λth時，GH位移隨入射角的增大是先增大后減小而后又增大。當入射光波長小于λth時，若入射光波長瀕臨λth，GH位移隨入射角的增大是先減小后增大，達到極值后又先減小后增大。若入射光波長遠離λth，GH位移則隨入射角的增大是先減小后增大。小角度入射時，無論入射光波長大于λth還是小于λth，GH位移均是隨著波長的增大而逐漸減小，但在GH位移在量值上的變化正好相反。

綜合圖4(c)和(d)的結(jié)果可知，對P波，小角度入射時，無論是SD結(jié)構(gòu)還是DS結(jié)構(gòu)，入射光波長越接近λth，對應(yīng)波長的GH位移在量值上就越大。此外，在小角度入射時，瀕臨λth的各入射光波長下GH位移隨入射角變化時有一個或兩個極值。如對DS結(jié)構(gòu)，以波長1 370 nm入射時，在入射角約為5°和18°附近，GH位移曲線有兩個極值。需要說明的是，當入射光波長遠離λth時，GH位移的變化規(guī)律將與上述結(jié)果會有所不同。

上述計算中，超導(dǎo)層和電介質(zhì)層的厚度dS和dD固定為60 nm，而它們的取值對GH位移有很大影響。由上述計算結(jié)果可知，相對而言，P波入射時DS結(jié)構(gòu)的GH位移隨入射角的變化較為復(fù)雜，因此后續(xù)將主要研究P波小角度入射時，DS結(jié)構(gòu)的GH位移隨dS和dD的變化情況。

(a) 入射光波長1 370 nm

對DS結(jié)構(gòu)，圖5給出了P偏振光入射時，入射光波長分別為1 370 nm (小于λth)和1 390 nm (大于λth)的光波的GH位移在小角度入射時隨超導(dǎo)層厚度dS變化情況。圖中GH位移量值的表示以λth為單位，下同。計算中，電介質(zhì)層的厚度dD保持為60 nm不變，其他參數(shù)同圖3。由圖5可知，dS對兩個波長下GH位移的影響存在一定的差異。由于小角度入射時第二個極值的GH位移相對于第一個極值要小很多，后續(xù)將主要討論第一個極值的變化情況。由圖5(b)可知，當入射光波長為1 370 nm時，隨著的dS增大，第一個極值向大角度方向移動，且dS越大，GH位移在量值上就越大，在dS為400 nm時GH位移的大小約為10λth。由圖5(b)可知，當入射光波長為1 390 nm時，兩個極值隨dS的變化基本一致，均隨著dS的增大向小角度方向移動，GH位移的極值均是先增大后減小，因此存在相應(yīng)的最佳dS分別使得兩極值達到最大。

(a) 入射光波長1 370 nm

類似于圖5、圖6給出了小角度入射時兩不同入射波長下的GH位移隨電介質(zhì)層厚度dD的變化情況。由圖6(a)可以看出，在所計算的dD的變化范圍內(nèi)，波長1 370 nm的GH位移的第一個極值隨著dD的增加向小角度方向偏移，且隨著dD的增大而逐漸減小。可以看出，在近零折射率區(qū)，要得到較大的GH位移，dD的取值應(yīng)為零，也即不加載電介質(zhì)層。計算表明，當dD取值為零時GH位移可達280λth。為清晰顯示GH的變化趨勢，圖6(a)中GH位移取值較大的區(qū)域和色柱的范圍做了一定的處理。進一步的計算表明，當入射光波長遠離λth時，要得到較大的GH位移，dD不能為零。入射光波長為1 390 nm時，GH位移隨的變化與上述情況不同。由圖6(b)可以看出，隨著dD的增大，第一極值首先向大角度方向移動而后偏向小角度方向。第一極值隨著dD的增大是先增大后減小，存在一個最佳的dD使得GH位移最大。

在小角度入射時，對比圖5和圖6所給出的GH位移曲線第一個極值隨dS和dD變化情況可以看出，當入射光波長小于λth時，要使第一個極值的量值盡可能大，需要dS盡可能大，而dD要盡可能小。而當入射光波長大于λth時，dS和dD則存在最佳的取值使得GH位移在某一入射角下達到最大。

圖7 溫度對GH位移的影響Fig.7 The effect of temperature on the GH shift

超導(dǎo)材料的折射率是溫度的函數(shù)，對圖1所示結(jié)構(gòu)也可進一步討論溫度對GH位移的影響。圖7給出了波長為1 380 nm的P波在小角度入射時，DS結(jié)構(gòu)的GH位移隨溫度的變化情況。計算中，dS和dD的取值分別為100 nm和35 nm。由圖可以看出，隨著溫度的增加，GH位移的極值均逐漸減小，且向大角度方向移動。由圖2可知，溫度變，λth也隨之變化，近零折射率區(qū)也隨之變化，因此圖7的計算結(jié)果已超出本文計劃討論的范圍。但由圖7可知在合理選擇相關(guān)參數(shù)的情況下，圖1所示的含超導(dǎo)材料的雙層結(jié)構(gòu)可以有較大的可以實現(xiàn)實際檢測的GH位移，如圖7所示計算結(jié)果中最大可達12λth，這對實際中基于GH位移實現(xiàn)超低溫情況下溫度的傳感測量具有一定的參考作用。

3 結(jié)論

在近零折射率區(qū)，理論研究了由超導(dǎo)材料和電介質(zhì)材料構(gòu)成的雙層結(jié)構(gòu)的GH位移。結(jié)果表明，當入射光掠入射時，該雙層結(jié)構(gòu)GH位移隨著入射角的增大而急劇增大，而非掠入射時，GH位移與入射光的偏振狀態(tài)密切相關(guān)。S波入射時，GH位移隨相關(guān)參數(shù)的變化較為簡單。對SD結(jié)構(gòu)，GH位移隨著入射角的增大是先增大后減小。對DS結(jié)構(gòu)，GH位移隨著入射角的增大而逐漸減小。P波入射時，GH位移以閾值波長λth為分界波長表現(xiàn)出不同的變化規(guī)律。但無論是DS結(jié)構(gòu)還是SD結(jié)構(gòu)，當小角度入射時，入射光波長越接近λth，GH位移的極值在量值上就越大。研究還表明，小角度入射時，對DS結(jié)構(gòu)，P波的GH位移隨兩介質(zhì)層厚度dS和dD的變化與入射光波長相關(guān)。當入射光波長小于λth時，要使GH位移盡可能大，dS要盡可能大，而dD要盡可能小。當入射光波長大于λth時，dS和dD則存在最佳的取值使得GH位移達到最大。超導(dǎo)材料在光子學(xué)領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用，計算結(jié)果為基于超導(dǎo)材料的新型光子學(xué)器件研究開發(fā)提供了參考。