史小丁，孫冬野，周 瑾，尤 勇，闞英哲

(重慶大學(xué) 機械傳動國家重點實驗室，重慶 400044)

對于發(fā)動機驅(qū)動的傳動系統(tǒng)的研究已經(jīng)較為成熟，發(fā)動機轉(zhuǎn)矩波動劇烈對系統(tǒng)影響較大，一般采用扭轉(zhuǎn)減振裝置或雙質(zhì)量飛輪，通過調(diào)整系統(tǒng)動力學(xué)參數(shù)來改善系統(tǒng)動態(tài)特性[5-7]。文獻[6]分析了雙質(zhì)量飛輪參數(shù)對傳動系統(tǒng)扭振控制的影響，并在一定約束條件下進行雙質(zhì)量飛輪多級扭轉(zhuǎn)剛度的匹配設(shè)計。對于電機驅(qū)動的傳動系統(tǒng)，文獻[8-9]建立了不同的電機模型，并分析了不同情況下電機、齒輪系統(tǒng)耦合的動態(tài)特性，包括狀態(tài)監(jiān)測、故障診斷等。文獻[10-11]通過對電機的控制實現(xiàn)了傳動系統(tǒng)的主動降振，減小系統(tǒng)沖擊載荷作用下的動載荷。

1 電機-TVD-PG系統(tǒng)動力學(xué)模型

TVD-PG傳動系統(tǒng)采用扭轉(zhuǎn)減振裝置取代了傳統(tǒng)的行星齒輪中某一構(gòu)件與箱體固連的方式，另外兩個中心構(gòu)件分別作為輸入和輸出端，可組成3種不同的結(jié)構(gòu)形式。以扭轉(zhuǎn)減振裝置耦合內(nèi)齒圈為例，扭轉(zhuǎn)減振裝置主動端與內(nèi)齒圈相連，從動端與箱體剛性固連。采用集中參數(shù)法建立了可適用于變速工況下的TVD-PG傳動系統(tǒng)動力學(xué)模型，其中各齒輪構(gòu)件簡化為集中質(zhì)量或慣量，傳動軸簡化為集中剛度和阻尼連接，忽略齒輪系統(tǒng)的誤差激勵、輪齒間摩擦力、齒側(cè)間隙，且單齒嚙合剛度恒定。

由于機電傳動系統(tǒng)經(jīng)常受到來自外界和內(nèi)部不斷變化的激勵作用，因此系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)必須被考慮。與上述提到的行星齒輪動力學(xué)模型所不同，選用各構(gòu)件角位移為系統(tǒng)廣義坐標(biāo)，太陽輪和內(nèi)齒圈的角位移在靜坐標(biāo)系中獲得，可以與電機直接相連。所建立的適用于變速情況下的TVD-PG系統(tǒng)動力學(xué)模型如圖1所示。其中建立了3種坐標(biāo)系：OXY為固定坐標(biāo)系；Oxy為與行星架固連并隨行星架旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動坐標(biāo)系，x軸通過第一個行星輪中心；Onxnyn(n=1, 2, …,N，N代表行星輪個數(shù))為與行星架固聯(lián)并隨行星架旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動坐標(biāo)系，On為行星輪中心，兩坐標(biāo)軸分別與Oxy坐標(biāo)系的兩坐標(biāo)軸平行。下標(biāo)c，r，s，n分別代表行星架、內(nèi)齒圈、太陽輪和第n個行星輪。θi(i=c, s, r)表示構(gòu)件在OXY坐標(biāo)系下的角位移，θn表示行星輪在Onxnyn坐標(biāo)系下的角位移；Jj(j=c, s, r,n)為構(gòu)件轉(zhuǎn)動慣量；rk(k=s, r,n)為構(gòu)件基圓半徑，rc為行星架有效半徑；ksn，csn，krn，crn分別為太陽輪與第n個行星輪、第n個行星輪與內(nèi)齒圈間的嚙合剛度和嚙合阻尼；kr，cr分別為扭轉(zhuǎn)減振裝置扭轉(zhuǎn)剛度和阻尼；Ts，Tc分別為作用在太陽輪和行星架端的轉(zhuǎn)矩。利用牛頓定律獲得TVD-PG傳動系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，如式(1)所示。

圖1 TVD-PG系統(tǒng)動力學(xué)模型Fig.1 Dynamic model of the TVD-PG

(1)

式中：δsn為太陽輪相對于第n個行星輪沿外嚙合線方向的相對變形量；δsn為內(nèi)齒圈相對于第n個行星輪沿內(nèi)嚙合線方向的相對變形量，表示為

(2)

建立的電機-TVD-PG傳動系統(tǒng)模型中選用鼠籠式異步電機，將轉(zhuǎn)子的角位移和角速度作為電機與TVD-PG傳動系統(tǒng)間耦合的公共變量，實時計算的電機輸出軸上的轉(zhuǎn)矩作為電機的負(fù)載，進而形成電機-TVD-PG耦合仿真模型，如圖2所示。得到電機轉(zhuǎn)子和負(fù)載端動力學(xué)方程如式(3)所示，作用在太陽輪和行星架上的轉(zhuǎn)矩由式(4)給出。

圖2 電機-TVD-PG系統(tǒng)模型Fig.2 Model of the motor-TVD-PG system

(3)

(4)

電機-TVD-PG傳動系統(tǒng)動力學(xué)方程可表示為矩陣方程的形式，即

(5)

式中：q為廣義坐標(biāo)陣列

(6)

M為質(zhì)量矩陣

(7)

T為外力矩陣

T=[Tm0 0 0 0 0 0Td]T；

(8)

Km，Kt，Kb，Cm，Ct，Cb分別為嚙合剛度矩陣、扭轉(zhuǎn)剛度矩陣、支撐剛度矩陣、嚙合阻尼矩陣、支承阻尼矩陣和支撐阻尼矩陣。其中(Km+Kt+Kb)整體可表示為系統(tǒng)剛度矩陣K，其形式如式(9)所示，系統(tǒng)阻尼矩陣(Cm+Ct+Cb)與剛度矩陣形式類似，這里不再列出。仿真所用到的TVD-PG傳動系統(tǒng)主要參數(shù)見表1。

表1 TVD-PG傳動系統(tǒng)參數(shù)Table 1 TVD-PG system parameters

(9)

說明：p代表行星輪，Z為齒數(shù)，m為模數(shù)，M為質(zhì)量，Km為等效嚙合剛度，KTVD為扭轉(zhuǎn)減振裝置剛度。

2 行星齒輪系統(tǒng)時變嚙合剛度模型

由于TVD-PG傳動系統(tǒng)需要適用于變速工況，齒輪系統(tǒng)嚙合頻率將隨轉(zhuǎn)速不斷變化，且系統(tǒng)轉(zhuǎn)速作為未知量，需要實時計算，因此系統(tǒng)的內(nèi)部激勵參數(shù)將不能再表示為關(guān)于時間的函數(shù)，參考文獻[9,20]的方法，將行星齒輪時變嚙合剛度表示為關(guān)于太陽輪實際角位移的函數(shù)，并建立了時變嚙合剛度函數(shù)模型。時變嚙合剛度可表示為嚙合剛度均值和變動量之和的形式：

(10)

(11)

(12)

(13)

式(11)～(13)中，ksn_max，krn_max，ksn_min，krn_min分別為內(nèi)、外嚙合剛度的最大和最小值；εsn，εrn分別為內(nèi)、外嚙合重合度；l為諧波次數(shù)；Zs，Zr分別為太陽輪和內(nèi)齒圈齒數(shù)；θs，θc分別為太陽輪和行星架的實際角位移；ψn為第n個行星輪中心與坐標(biāo)原點O的連線同坐標(biāo)系Oxy中x軸的夾角；γsr為內(nèi)外嚙合相位差。

建立了關(guān)于太陽輪實際角位移的時變剛度模型，得到系統(tǒng)轉(zhuǎn)速變化時行星齒輪系統(tǒng)中太陽輪和第1個行星輪間的時變嚙合剛度ks1如圖3(a)所示，可以看出嚙合頻率隨轉(zhuǎn)速變化而不斷改變。為了顯示該嚙合剛度模型的嚙合頻率，圖3(b)給出了恒速時嚙合剛度的頻域信號，其中fm，2fm，3fm，4fm分別表示行星齒輪前4階嚙合頻率。

圖3 時變嚙合剛度Fig.3 Time-varying meshing stiffness

3 電機-TVD-PG系統(tǒng)動態(tài)特性

在建立的電機-TVD-PG傳動系統(tǒng)機電耦合模型基礎(chǔ)上，探究了考慮齒輪系統(tǒng)內(nèi)部時變嚙合剛度激勵作用時，在啟動和穩(wěn)定過程中系統(tǒng)的動力學(xué)特性，并與傳統(tǒng)的行星齒輪傳動系統(tǒng)仿真結(jié)果進行對比，以表明其所具備的優(yōu)勢。

3.1 啟動過程中電機-TVD-PG系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)

圖4 系統(tǒng)響應(yīng)曲線Fig.4 Response curves of systems

圖5 行星齒輪內(nèi)、外嚙合力曲線Fig.5 Internal and external meshing force curves

3.2 穩(wěn)定時電機-TVD-PG系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)

圖6 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)曲線Fig.6 Steady state response curves

振動、噪聲是齒輪系統(tǒng)重要的動力學(xué)特性，由于電機和齒輪系統(tǒng)的耦合作用，齒輪系統(tǒng)的振動必將對電機部分造成一定的影響，這也是產(chǎn)生圖6(a)現(xiàn)象的原因。為了分析這種激勵特性，圖7給出了電機-TVD-PG系統(tǒng)穩(wěn)定時電機電磁轉(zhuǎn)矩Te和電機轉(zhuǎn)速ωm的頻譜圖，兩圖中均可以清晰觀察到行星齒輪時變嚙合剛度的激勵頻率成分fm，2fm，3fm，4fm，…，且為各頻譜圖中的主要頻率成分。因此機電系統(tǒng)間的耦合作用在實際情況中應(yīng)予以充分考慮，同時可利用這一特性，通過電機中便于檢測的電信號來識別齒輪系統(tǒng)的工作狀態(tài)或進行故障檢測等。

圖7 電機響應(yīng)頻譜圖Fig.7 Motor response spectrums

4 結(jié) 論

1)在啟動過程中，TVD-PG傳動系統(tǒng)大幅降低電機電磁轉(zhuǎn)矩的波動，使電機和輸出端轉(zhuǎn)速較平穩(wěn)地增長，電機和齒輪系統(tǒng)可以更快達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。同時大幅度減小啟動過程中行星齒輪內(nèi)、外嚙合力的波動幅值，并減少系統(tǒng)升速過程中的共振區(qū)域，有助于降低齒輪系統(tǒng)動載荷。

2)在達(dá)到穩(wěn)定時，系統(tǒng)依舊受到內(nèi)部激勵的作用，進而表現(xiàn)出一種動態(tài)穩(wěn)定的狀態(tài)。由于機電耦合作用的影響，在電機響應(yīng)曲線中可以清晰觀察到行星齒輪時變剛度激勵的頻率成分。TVD-PG對電機電磁轉(zhuǎn)矩的影響不明顯，但可以有效降低機電傳動系統(tǒng)穩(wěn)定時齒輪系統(tǒng)嚙合力的波動幅值，改善齒輪嚙合狀況。