李忠良

[摘? 要] 靈巧的數(shù)學(xué)課堂需要教師靈巧的設(shè)計，從情景引入到知識生成，從師生互動到課堂總結(jié)，無不需要教師精準(zhǔn)地解讀教材，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)匕芽刂R特征以及細(xì)致、靈活地引導(dǎo)和銜接學(xué)生活動. 文章以“任意角的三角函數(shù)”教學(xué)為例，探討教學(xué)設(shè)計應(yīng)如何進(jìn)行，才能潛移默化地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 靈動課堂;靈巧設(shè)計;靈活互動;合作探險;課堂生成;數(shù)學(xué)素養(yǎng)

筆者在2014年江蘇省第9屆高中數(shù)學(xué)高級論壇中開設(shè)了這節(jié)公開課，并得到了全省專家的好評，2018年筆者在教育部高中數(shù)學(xué)新教材（蘇教版）審讀試教工作中試教并匯報了這節(jié)課. 今天筆者以自身的上課經(jīng)歷和二次教學(xué)設(shè)計為依托，結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的培養(yǎng)，再次談一談自己的想法和感悟，力求讓數(shù)學(xué)素養(yǎng)潛移默化地在課堂中落地生根，懇請讀者和專家斧正.

數(shù)學(xué)素養(yǎng)雖基于我們常說的知識技能，但又高于知識技能. 數(shù)學(xué)素養(yǎng)包含廣泛，筆者認(rèn)為其中有一項重要的指標(biāo)是學(xué)生要具備這樣一種敢于探索和勇于思考的“主動性”，具備一種善于解決問題的“傾向性”. 一節(jié)好的課堂不是簡單的復(fù)制教材，教師的智慧應(yīng)體現(xiàn)在對教材的再開發(fā)、再創(chuàng)造，讓學(xué)生真正有效地經(jīng)歷認(rèn)知過程，并在這個過程中獲得愉快的經(jīng)歷、學(xué)習(xí)的動力、求知的欲望，從而逐漸養(yǎng)成著數(shù)學(xué)的素養(yǎng).

[?] 教學(xué)設(shè)計前期思考

1. 宏觀上確定“一條主線、兩個邏輯段、三個學(xué)生活動環(huán)節(jié)”的整體設(shè)計框架

總體來說筆者對本節(jié)課的設(shè)計思路是：一條主線、兩個邏輯段、三個學(xué)生活動環(huán)節(jié).

一條主線便是任意角三角函數(shù)的定義推廣的必要性及其價值，也就是開頭的課堂引入要突出 “必要性”，而課堂后面的小節(jié)，又要回歸到新定義的作用，升華其價值.

兩個邏輯段是指筆者嘗試性地把本節(jié)課分成這樣兩個階段，課堂前半段講的是任意一個已知角的正弦值、余弦值、正切值的定義，而非三角函數(shù)的定義，為了區(qū)分概念，不妨稱之為三角函數(shù)值的定義. 為了證實自己的想法，筆者查閱了資料，發(fā)現(xiàn)在很早以前的一些版本的課本里也稱之為“三角比”，是“數(shù)值”而非“函數(shù)”. 課堂后半段才突出其“函數(shù)”性，當(dāng)α變化時，正弦值也隨之變化，這種對應(yīng)關(guān)系是否符合函數(shù)的定義. 從時間的分配上來看，第一階段對于定義的學(xué)習(xí)和強化應(yīng)是主體部分，占相對多的時間. 另外一點就是，因為學(xué)生活動相對豐富，考慮到時間關(guān)系，筆者把三角函數(shù)值在四個象限的正負(fù)判斷問題安排到了下一節(jié)課，本節(jié)課暫不做討論. 既然是探索，就允許進(jìn)行大膽的創(chuàng)新，給大家展示一節(jié)不拘一格的教學(xué)設(shè)計.

三個學(xué)生活動環(huán)節(jié)是指本節(jié)課預(yù)設(shè)的學(xué)生活動的發(fā)生點. 誠然，廣義的學(xué)生活動是時時刻刻都在發(fā)生的，只要學(xué)生的思維在跟教師發(fā)生碰撞，都可以稱之為學(xué)生活動，抑或是任意時刻的舉手提問，都會產(chǎn)生即興的課堂活動，但這里筆者說的三次學(xué)生活動是教師預(yù)設(shè)的主動留給學(xué)生分組討論并交流展示的活動過程. 其中，第一次活動是情境引入時，預(yù)設(shè)結(jié)果是通過學(xué)生活動，引出本節(jié)課推廣三角函數(shù)定義的必要性. 第二次活動預(yù)設(shè)是學(xué)生閱讀課本討論教師給出的三個小問題，比較高中的定義與初中的定義的區(qū)別與聯(lián)系，需要指出的是，考慮到三角函數(shù)的定義在數(shù)學(xué)發(fā)展史中本就是一個復(fù)雜而漫長的過程，不是一蹴而就的，很久以前科學(xué)家甚至只能認(rèn)為行星軌道是圓形，經(jīng)過長時間摸索，直到歐拉把三角函數(shù)定義為一種比值，用比值來刻畫三角函數(shù)值，進(jìn)而出現(xiàn)sinα=的模型，所以在“為什么如此定義三角函數(shù)值”的問題上，沒有安排學(xué)生活動，而是改為閱讀課本的描述，討論問題，對比初高中所學(xué)三角函數(shù)定義，欣賞推廣后定義的美感. 第三次活動預(yù)設(shè)是在課堂的后半段，討論當(dāng)α變化時，正弦值也隨之變化，這種對應(yīng)關(guān)系是否符合函數(shù)的定義.

2. 微觀上逐字逐句研讀課本，解構(gòu)教材

課本上的表述非常簡潔精煉，正因如此，有些詞語和字母含義的解讀就需要我們在推敲課本內(nèi)容時做到“咬文嚼字”. 本節(jié)課里筆者認(rèn)為有兩個地方需要教師仔細(xì)推敲，一處是，在課堂的前半段里，雖然α是一個任意角，但卻暫時只看做是一個常量，按照定義分別求出的sinα，cosα，tanα的值，稱之為角α的“正弦值、余弦值、正切值”，此時稱其為角α的“三角函數(shù)值”而非“三角函數(shù)”，學(xué)生是容易接受的. 經(jīng)考證在曾經(jīng)的老課本里也曾叫做“三角比”. 另一處是，當(dāng)α變化時，在考慮α與其正弦值的對應(yīng)關(guān)系是否構(gòu)成函數(shù)關(guān)系時，α充當(dāng)“自變量x”的角色，而來充當(dāng)“因變量y”的角色，兩處的y的含義是不同的， “”中的y只是α終邊上一點的縱坐標(biāo)，而非函數(shù)定義中的因變量y，在實踐中，學(xué)生是容易混淆的. 另外，類比函數(shù)定義中的“y=f（x）”的形式結(jié)構(gòu)，我們可以把正弦函數(shù)寫成“y=sinα”的形式，這樣從結(jié)構(gòu)上，相對于課本上的“sinα是正弦函數(shù)”，學(xué)生是容易接受的，學(xué)生對新概念的接受過程需要教師細(xì)致入微的指點.

精彩發(fā)生在課堂，前提是教師把工夫花在課外，概括能力和邏輯分析能力都是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的內(nèi)涵，教師只有把要傳授給學(xué)生的東西自己先準(zhǔn)備好，課堂教學(xué)才能有事半功倍的效果.

[?] 教學(xué)設(shè)計片段展示

1. 重設(shè)情境引入

首先，正弦、余弦、正切這些概念學(xué)生并不陌生，因為學(xué)生初中就學(xué)習(xí)過銳角三角函數(shù)值的定義，已經(jīng)可以在直角三角形里通過邊長比值求其中一個銳角的正弦值、余弦值以及正切值，而本節(jié)課要學(xué)習(xí)的是任意角的三角函數(shù)，從銳角到任意角，我們不禁思考為什么要推廣呢？是哪些問題促使我們必須學(xué)習(xí)任意角的三角函數(shù)的定義的呢？不解決這個問題，本節(jié)課的引入就會顯得生硬，不自然.

【設(shè)計一】

剛參加工作時，筆者是這樣引入的，提供大家熟知的摩天輪情境，過程如下：

播放摩天輪圖片.

教師提問：“哪位同學(xué)坐過摩天輪？坐摩天輪有什么感覺？”

學(xué)生的答案里基本上會體現(xiàn)出“圓周運動”“高度在變化”“高度的變化不是勻速的”“高度的變化和角度有關(guān)”等信息.

教師提問：“為什么會有這些感覺呢，既然高度在變化，角度也在變化，那么它們之間有關(guān)系嗎？”“假如某一時刻你停在某一個位置，你可以借助相應(yīng)的角來計算你所處的高度嗎？聯(lián)想到剛才課前閱讀中提到的，數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家們當(dāng)年在研究天文學(xué)的過程中當(dāng)需要確定圓周運動上某一點的位置的時候也遇到了這個問題，他們是怎么解決的呢？我們今天就來探討這個問題. ”

以上的引入方式只能說中規(guī)中矩，細(xì)細(xì)琢磨，這不能讓學(xué)生感受到因發(fā)現(xiàn)而獲得數(shù)學(xué)的興奮. 本來借助初中的定義也可以計算高度和銳角的關(guān)系，為什么一定要推廣呢？不把這個“必要性”引出來，這個情境引入就起不到我們最想要的效果，甚至有“為了引入而引入”之嫌.

【設(shè)計二】

在2014年江蘇省第9屆高中數(shù)學(xué)高級論壇中筆者又再次開設(shè)了這節(jié)公開課，在反復(fù)琢磨和推敲后，做了一個大膽的嘗試，為了引出“必要性”，就要把初中所學(xué)的方法的“短板”引出來，于是筆者決定在情境引入這個環(huán)節(jié)增加3～5分鐘的學(xué)生活動.

在把摩天輪問題抽象成平面幾何圖形并建立如圖所示的直角坐標(biāo)系之后，給出如圖1和圖2的兩種位置情況，已知摩天輪中心O離地面高度為50 m，摩天輪半徑為40 m，即OP=40，讓學(xué)生討論并展示如何求P點位置離地面的高度.

學(xué)生經(jīng)過簡單討論基本上可以找到這樣的方法：圖1中，構(gòu)造出Rt△OMP，則∠MOP=30°，于是MP=OPsin30°=20，P點位置離地面的高度為MP+50=70（m）;圖2中，構(gòu)造出Rt△OMP，則∠MOP=30°，于是MP=OPsin30°=20，P點位置離地面的高度為50-MP=30（m）.

此時教師應(yīng)適時地提出這樣一個問題：“如果P位于第一象限或第四象限，是否也可以構(gòu)造出相應(yīng)的直角三角形，然后利用初中的銳角三角函數(shù)定義求出相應(yīng)的長度，再用50加上或減去這個長度來解決呢？”“那么四個象限再加上坐標(biāo)軸，我們只要分類討論，最后總是可以建立高度和角之間的關(guān)系的，只不過，這個方法實在太過煩瑣. 能否避開分類討論，用一個關(guān)系式來直接描述高度和角之間的關(guān)系呢？下面就讓我們打開課本，看看數(shù)學(xué)家們是怎么做的. ”此時就引出了初中定義的短板，和學(xué)習(xí)新定義的必要性，這個情境引入便較之前更有效地讓學(xué)生從已知問題過渡到了探索新知識的情境中來，實現(xiàn)了情境引入最核心的價值.

把生活中的問題抽象為數(shù)學(xué)問題，進(jìn)而分析問題、解決問題，恰恰是數(shù)學(xué)建模能力的養(yǎng)成過程. 學(xué)生在做中學(xué)，在做中發(fā)現(xiàn)問題，獲得數(shù)學(xué)體驗，此時學(xué)生激發(fā)了求知欲，愿意去學(xué)，這不就是我們一直要培養(yǎng)的數(shù)學(xué)素養(yǎng)嗎？

2. 重設(shè)“問題串”引導(dǎo)學(xué)生活動

第一次學(xué)生活動前文中已探討，接下來筆者把課堂內(nèi)容分成了兩個邏輯段，第一個邏輯段是任意一個已知角的正弦值、余弦值、正切值的定義;第二個邏輯段是當(dāng)α變化時，正弦值也隨之變化，這種對應(yīng)關(guān)系的“函數(shù)”性的確立. 流程大致為“閱讀課本—分組討論教師拋出的問題—交流展示—教師點評和總結(jié)”，于是兩次問題串的設(shè)計，便是達(dá)成本節(jié)課堂內(nèi)容最重要的環(huán)節(jié)之一.

連續(xù)遞進(jìn)的問題以保持學(xué)生們處于連續(xù)“忙碌”的動腦狀態(tài)，并能很好地點燃他們的好奇心和想象力，可以不停地培養(yǎng)學(xué)生的求知欲，燃起對數(shù)學(xué)的熱情.

第一階段以強化定義為主，問題串設(shè)計及教學(xué)過程如下.

教師過渡語言：“現(xiàn)在把時間交給你，請大家閱讀課本第11頁（蘇教版必修4），從開頭至本頁倒數(shù)第二行，并結(jié)合課本上的三個圖形，小組討論下面三個問題. ”

問題1：初中課本上是怎么定義銳角的正弦、余弦、正切的？

問題2：在直角坐標(biāo)系中，是如何定義銳角的正弦、余弦、正切的？

問題3：在直角坐標(biāo)系中，是如何定義任意角的正弦、余弦、正切的？

問題4：課本上的定義和初中時定義的相同點和不同點是什么？

學(xué)生展示的過程中，不可忽視教師的主導(dǎo)地位，教師要一邊傾聽學(xué)生的觀點，隨機應(yīng)變，一邊結(jié)合學(xué)生所說，強化定義.

第二階段突出“函數(shù)”性，問題串設(shè)計及教學(xué)過程如下.

教師過渡語言：“有了前面的基礎(chǔ)，我想對大家提出更高的要求，下面，請同學(xué)們閱讀課本（蘇教版必修4）從第11頁最后一行至第12頁第5行，并思考下面兩個問題. ”

問題5：函數(shù)的定義是什么，你還記得嗎？你能提取出哪些關(guān)鍵詞？

問題6：當(dāng)α確定時，正弦值sinα=的大小與P點的位置有關(guān)系嗎？

問題7：當(dāng)α變化時，正弦值、余弦值、正切值隨之變化，這種對應(yīng)關(guān)系符合函數(shù)定義中對“對應(yīng)”的刻畫嗎？如果是，誰來充當(dāng)“自變量”的角色，誰來充當(dāng)“因變量”的角色，“法則”是指的什么？

問題一環(huán)扣一環(huán)，每一個問題都在為下面的問題“鋪設(shè)臺階”，而教師就是“幕后推手”. 這樣的問題解答，學(xué)生們有空間和時間去思考，想辦法解決，給了學(xué)生發(fā)展感知的空間，讓學(xué)生在每個問題中找到自己的“驚訝”和“頓悟”，從而更迫切地想解決下一個問題，在一個個問題中培養(yǎng)認(rèn)知能力.

3. 靈活發(fā)揮教師主導(dǎo)和銜接作用

第一階段中，在和學(xué)生的交流過程中，教師應(yīng)有意識地強化定義，筆者的敘述設(shè)計如下：“這里面半徑是OP的長度，如果知道橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，可以用勾股定理來計算r=（r>0）（注意這里r>0），P點不能與原點重合，定義中一共有幾個量？四個，隱含著一個r=（r>0），那么，是不是知道一些量，就可以去求另一些量呢？比如在sinα=中，如果知道y=2，r=3，我們就可以求出sinα=;反之，如果知道sinα=，r=10，就可以求出y=8. 而例1不正是在告訴我們這個道理嗎！”接下來便是筆者對例1的板書、一組口答題的互動，以及學(xué)生對練習(xí)的展示，在這個過程中，進(jìn)一步強化定義的核心價值和使用規(guī)范.

第二階段中，筆者在學(xué)生的回答中梳理出函數(shù)概念的幾個關(guān)鍵詞，比如“非空數(shù)集”“每一個x”“唯一確定的y”，函數(shù)定義的核心是“對應(yīng)”.

問題6的解決就是針對“唯一確定”而設(shè)計的，用“比值”來定義三角函數(shù)值的其中一個好處便是，當(dāng)α確定時，正弦值sinα=的大小擺脫了P點的選取位置的影響，實現(xiàn)了“對任意一個確定的α，正弦值sinα=是唯一確定的. 問題7仍然圍繞著函數(shù)的概念在討論，類比函數(shù)y=f（x）和正弦函數(shù)y=sinα的形式結(jié)構(gòu)，α充當(dāng)“自變量x”的角色，而正弦值sinα即來充當(dāng)“因變量y”的角色，“sin（）”充當(dāng)符號 “f（）”的角色，其法則便是剛剛所學(xué)的“找終邊、選點、求坐標(biāo)、算比值”的這樣一個過程. 需要給學(xué)生強調(diào)的是，中的y只是一個縱坐標(biāo)，而不是函數(shù)概念中的因變量y，課本上字母的使用十分簡潔，學(xué)生容易產(chǎn)生誤解，教師需要解釋清楚.

在討論完最后一個問題“既然三角函數(shù)也是函數(shù)，那么它們的定義域分別是什么”后，本節(jié)課的新知探索就基本完成了.

學(xué)貴有疑，學(xué)貴有問，通過問題串逐步引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會利用抽象與概括、歸納與演繹等思想方法，有效地提高學(xué)生的理性思維核心素養(yǎng). 當(dāng)學(xué)生討論問題時出現(xiàn)沖突、概念不清時，教師及時答疑解惑，這是教學(xué)的靈魂，這是機器和軟件所不能代替的. 通過教師的解釋和引導(dǎo)，讓學(xué)生的困惑得以解除，從而提高學(xué)生獲得分析問題能力的素養(yǎng)，讓學(xué)生的“尖叫聲”更加真實，盡顯頓悟之藝術(shù).

[?] 對教學(xué)設(shè)計的反思

1. 大膽解構(gòu)教材，實現(xiàn)高效的“概念過渡”

我們知道，從常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)，其過渡是不容易的. 無論是本文所用的蘇教版還是人教版，課本里從“正弦”的定義到“正弦函數(shù)”的定義，都呈現(xiàn)得比較直接，跨度較大. 雖然上面的教學(xué)設(shè)計已經(jīng)在重點解決這個問題，力爭讓知識銜接得更自然，但心中還是略有一點遺憾，也有一點思考，那就是，如果時間允許，在“正弦”的定義和“正弦函數(shù)”的定義之間，在課本例題的基礎(chǔ)上再加一道例題“利用正弦定義，求角的正弦值，進(jìn)而舉一反三求角，，的正弦值”作為知識的過渡，也許會讓知識的生成更自然，讓學(xué)生感受到樸素的變化關(guān)系，每一次使用定義的過程就是后面正弦函數(shù)“法則”的一次呈現(xiàn). 巧合的是，在最新版的蘇教版數(shù)學(xué)教材中，已經(jīng)加入了這樣一個例題.

2. 靈動的課堂有助于激發(fā)更多的課堂的生成

有一個小插曲使筆者深感教師不可太“強勢”，學(xué)生展示的過程中，教師不能強行引導(dǎo)學(xué)生朝著自己設(shè)計的方向走，這種強行“扶著走”的場面看似熱鬧，其實卻掩蓋了學(xué)生自己主動思考問題的能力和積極性. 在一次開設(shè)這節(jié)公開課的過程中，筆者遇到過這樣的問題，當(dāng)問到“那你覺得高中的定義和初中的定義哪個有優(yōu)勢”的時候，一個學(xué)生說“初中的有優(yōu)勢”，其他學(xué)生感到詫異，因為這明顯不是教師“想要”的答案，教師想要的答案應(yīng)該是“初中只能求銳角，現(xiàn)在能求任意角;初中用的是長度，高中用的是坐標(biāo)，長度是個正值，坐標(biāo)是有正負(fù)的”等等. 但是筆者抓住機會肯定了他：“那當(dāng)然了，我也覺得初中的定義好，因為我用著熟練啊，而且，如果它不好，那為什么要先學(xué)它呢？高中的定義你覺得麻煩，原因是我們今天第一次學(xué)習(xí)，尚不熟悉，當(dāng)有一天你可以熟練使用之后，你也會喜歡上它. 事實上，高中的定義包含著初中的定義，這也是推廣一個概念或結(jié)論必須遵循的原則. ”

對于教師來講，這一段師生交流反倒是一個意外的“驚喜”，當(dāng)學(xué)生創(chuàng)造性地表達(dá)自己的思想和觀點時，我們要給學(xué)生展示自身思維的機會. 這有利于學(xué)生思維的迸發(fā)，在思維的碰撞中，數(shù)學(xué)素養(yǎng)已悄然落地.

3. 重設(shè)知識拓展，助力數(shù)學(xué)素養(yǎng)落實

在本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計里，如果條件允許，筆者愿意加上一段基于數(shù)學(xué)發(fā)展史角度的總結(jié)陳述，對學(xué)生的知識體系建構(gòu)是有益的. 在數(shù)學(xué)發(fā)展史中，三角函數(shù)形成的過程是漫長的，先有生活中的需求，然后人們經(jīng)過思索產(chǎn)生一個靈感，嘗試建立它們之間的等量關(guān)系. 在笛卡爾發(fā)明坐標(biāo)系之后，和其他很多學(xué)科一樣，三角函數(shù)也得以發(fā)展和完善. 當(dāng)然，要實現(xiàn)所建立函數(shù)的合理性，也是經(jīng)過漫長的探索，比如“唯一確定”如何實現(xiàn)等，其出現(xiàn)過好多個版本的定義. 直到1748年，歐拉把三角函數(shù)定義為一種比值，用比值來刻畫就完美地擺脫了選取點的距離的影響，后來才出現(xiàn)了sinα=的模型. 在很多科學(xué)家眼中，三角函數(shù)的出現(xiàn)為函數(shù)大家庭提供了一種周期性的數(shù)學(xué)模型，很好地豐富了函數(shù)這個“大家庭”. 這個過程中每一步的前進(jìn)都耗費了數(shù)學(xué)家們無數(shù)的心血，我們今天可以看得更清楚，是因為我們站在了巨人的肩膀上.

如果學(xué)生了解相應(yīng)的數(shù)學(xué)文化背景，會對其理解新知提供巨大的幫助，同時，當(dāng)數(shù)學(xué)文化真正到達(dá)課堂，融入教學(xué)之時，學(xué)生也必然會進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)，熱愛數(shù)學(xué).

[?] 結(jié)束語

在數(shù)學(xué)課堂上，教師應(yīng)讓學(xué)生真正有效地經(jīng)歷認(rèn)知過程，讓他們感受到數(shù)學(xué)是有活力的，充滿著有趣的問題和新的思考方式，以激發(fā)他們學(xué)習(xí)更多東西的欲望，更好地培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，從而使他們慢慢養(yǎng)成一種積極的學(xué)習(xí)狀態(tài). 一旦學(xué)生具備了這種主動性，他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)就切實地提高了.

每個學(xué)生都有獲得數(shù)學(xué)素養(yǎng)的需求和能力，開始時的表達(dá)效果可能還不是最終的素養(yǎng)體現(xiàn)，但筆者相信，講授數(shù)學(xué)的主要目的是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考能力，并幫其轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 從教師靈巧的教學(xué)設(shè)計開始，讓數(shù)學(xué)素養(yǎng)落地生根.

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