胡方圓，劉清華，曹軍義，張穎

(西安交通大學(xué)現(xiàn)代設(shè)計(jì)及轉(zhuǎn)子軸承系統(tǒng)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，710049，西安)

近幾年,負(fù)剛度結(jié)構(gòu)成為了振動(dòng)控制和能量俘獲領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)[1]。隨著高精密領(lǐng)域?qū)φ駝?dòng)控制技術(shù)的要求逐漸提高,許多學(xué)者把負(fù)剛度裝置運(yùn)用到隔振和能量俘獲領(lǐng)域中,并取得了顯著效果。其中,系統(tǒng)非線性回復(fù)力最直接反映系統(tǒng)的非線性特性,對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性的研究有很大價(jià)值。目前,國內(nèi)外學(xué)者獲取負(fù)剛度隔振器或俘能器等強(qiáng)非線性系統(tǒng)的非線性回復(fù)力,通常基于解析計(jì)算[2-3]、磁場(chǎng)仿真[4-5]或測(cè)量[6-7],再利用哈密頓原理進(jìn)行系統(tǒng)的力學(xué)方程正向建模。此方法計(jì)算繁瑣、精度不高且僅適用于理想的裝配環(huán)境,尤其是會(huì)受到實(shí)驗(yàn)平臺(tái)搭建后裝配條件影響,導(dǎo)致了非線性回復(fù)力很難精確表征。

因此,基于實(shí)驗(yàn)測(cè)量的輸入、輸出數(shù)據(jù)進(jìn)行非線性回復(fù)力(NRF)的逆向建模十分必要。Malatkar等利用頻譜分析辨識(shí)含立方剛度與平方剛度的非線性懸臂板系統(tǒng)[8];Vakakis等通過波特圖及奈奎斯特圖區(qū)分剛度非線性和阻尼非線性[9];Chatterjee等利用Volterra級(jí)數(shù)實(shí)現(xiàn)多項(xiàng)式非線性類別辨識(shí)[10];Bendat等用回復(fù)力曲面(RFS)直觀地判斷機(jī)械系統(tǒng)中常見的幾種單自由度非線性特征[11];Gondhalekar等建立了非線性頻域回復(fù)力曲線庫,實(shí)現(xiàn)了單自由度和多自由系統(tǒng)非線性類別辨識(shí)[12];Marchesiello等提出了一種子空間辨識(shí)算法來辨識(shí)三次剛度和間隙性非線性振子的回復(fù)力[13]。

非參數(shù)辨識(shí)法無需預(yù)先確定NRF的形式,在系統(tǒng)辨識(shí)的過程中得到廣泛的應(yīng)用。Anastasio等利用實(shí)驗(yàn)RFS來描述雙穩(wěn)態(tài)振子的剛度和阻尼力[14]。Feldman和Cohen等提出一種基于非平穩(wěn)信號(hào)振動(dòng)分解的希爾伯特變換識(shí)別方法,用于識(shí)別雙穩(wěn)態(tài)電磁能量俘獲裝置的NRF[15-16]。但是,這些方法在只能從實(shí)驗(yàn)中得到位移數(shù)據(jù)的情況下對(duì)噪聲很敏感,難以獲得非穩(wěn)態(tài)點(diǎn)附近的剛度力和保證辨識(shí)精度。

RFS法是直接利用實(shí)驗(yàn)手段獲得系統(tǒng)模型中的參數(shù),無需事先確定NRF形式的純粹時(shí)域非參數(shù)辨識(shí)方法。通過濾波或數(shù)據(jù)前處理可以減少噪聲干擾,構(gòu)造出真實(shí)的三維力-速度-位移曲面,可直觀地分析出系統(tǒng)的非線性特性。該方法最初由Masri和Caughey[17-18]提出,并經(jīng)Crawley等[19]加以發(fā)展和利用。其中,Kerschen等用RFS法實(shí)現(xiàn)了VTT Benchmark系統(tǒng)剛度曲線和阻尼曲線的識(shí)別研究[20]。Sun等利用RFS法識(shí)別螺栓組合梁結(jié)合部的剛度及阻尼特性參數(shù)[21]。Anastasio等基于RFS法成功解決了負(fù)剛度隔振器中摩擦的非線性辨識(shí)問題,辨識(shí)出系統(tǒng)的剛度回復(fù)力和阻尼回復(fù)力[22]。Worden等用RFS法識(shí)別在仿真計(jì)算和實(shí)驗(yàn)兩種情況下分段線性的懸臂梁剛度[23],理論和實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合較好。事實(shí)證明,RFS法可以很好地解決沒有確切解析表達(dá)式的非線性系統(tǒng)辨識(shí)問題。

RFS法的關(guān)鍵是需要通過實(shí)驗(yàn)測(cè)量同時(shí)得到加速度、速度和位移。然而,由于實(shí)驗(yàn)噪聲或者對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的積分和微分處理不恰當(dāng)會(huì)導(dǎo)致相位失真,從而導(dǎo)致回復(fù)力面雜亂,擬合出的系統(tǒng)參數(shù)出現(xiàn)較大的辨識(shí)誤差。為解決這個(gè)問題,需要選擇有效的數(shù)據(jù)處理方法,Worden等針對(duì)地震數(shù)據(jù),對(duì)RFS法中積分和微分兩種數(shù)據(jù)處理方法進(jìn)行評(píng)估及優(yōu)缺點(diǎn)的對(duì)比[24]。Jiang等將RFS法應(yīng)用于顆粒阻尼器的研究,選擇數(shù)值積分作為數(shù)據(jù)前處理的方法[25]。但是,以上研究都對(duì)測(cè)得的加速度信號(hào)進(jìn)行數(shù)值積分,會(huì)出現(xiàn)干擾趨勢(shì)項(xiàng)使信號(hào)偏移,而數(shù)值微分可以有效避免這種情況出現(xiàn)。目前,基于對(duì)測(cè)量位移進(jìn)行微分處理且用于多穩(wěn)態(tài)負(fù)剛度振子回復(fù)力辨識(shí)的RFS法還未做過系統(tǒng)研究。

本文基于RFS法,提出一種負(fù)剛度系統(tǒng)非線性回復(fù)力的辨識(shí)方法。首先提出4種不同磁力耦合多穩(wěn)態(tài)負(fù)剛度振子回復(fù)力的構(gòu)造方法,基于RFS法的辨識(shí)原理,對(duì)比研究位移微分和加速度積分的RFS數(shù)據(jù)處理方法,對(duì)4種類型多穩(wěn)態(tài)振子進(jìn)行仿真研究,分析剛度力和阻尼力的辨識(shí)精度。搭建實(shí)驗(yàn)臺(tái),對(duì)不同加速度水平下的多穩(wěn)態(tài)振子進(jìn)行掃頻實(shí)驗(yàn),建立多穩(wěn)態(tài)振子的回復(fù)力模型的表面,驗(yàn)證RFS法對(duì)辨識(shí)負(fù)剛度非線性振子的有效性和準(zhǔn)確性。

1 多穩(wěn)態(tài)懸臂梁非線性回復(fù)力建模

為實(shí)現(xiàn)對(duì)稱和非對(duì)稱多穩(wěn)態(tài)懸臂梁結(jié)構(gòu),通常采用外部磁鐵耦合的方法[4-5],且靠近懸臂梁末端對(duì)稱布置兩塊可旋轉(zhuǎn)磁鐵。由于磁力的相互作用會(huì)改變懸臂梁的穩(wěn)態(tài)特性,當(dāng)兩塊磁鐵旋轉(zhuǎn)角度不一樣時(shí)會(huì)形成圖1所示的不對(duì)稱多穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)。本文采用多穩(wěn)態(tài)磁耦合懸臂梁進(jìn)行研究分析。

(a)對(duì)稱雙穩(wěn)態(tài) (b)不對(duì)稱雙穩(wěn)態(tài) (c)對(duì)稱三穩(wěn)態(tài) (d)不對(duì)稱三穩(wěn)態(tài)

實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)表明,非線性回復(fù)力是磁場(chǎng)力和線性回復(fù)力共同作用產(chǎn)生的,則非線性回復(fù)力Fr表示為

(1)

式中:K為懸臂梁線的等效剛度;p為非線性項(xiàng)個(gè)數(shù);L表示0、1或-1;k為各非線性項(xiàng)系數(shù);u為懸臂梁末端位移。

為了探究4種典型多穩(wěn)態(tài)懸臂梁的回復(fù)力方程,需要這4種結(jié)構(gòu)最簡(jiǎn)單的回復(fù)力表征形式。當(dāng)回復(fù)力方程中p=3時(shí),便可以構(gòu)造出雙穩(wěn)態(tài)懸臂梁,此時(shí)非線性回復(fù)力為

Fbi=(K+L1k1)u+L2k2u2+L3k3u3

(2)

非線性勢(shì)能函數(shù)包括兩個(gè)穩(wěn)定平衡點(diǎn)(勢(shì)阱)和一個(gè)不穩(wěn)定平衡點(diǎn)(勢(shì)壘),其中偶次項(xiàng)系數(shù)決定了系統(tǒng)是否不對(duì)稱,若為零則完全對(duì)稱,該函數(shù)為回復(fù)力在位移上的積分如下

(3)

當(dāng)回復(fù)力方程中p=5時(shí),非線性回復(fù)力方程為

Ftri=(K+L1k1)u+L2k2u2+L3k3u3+

L4k4u4+L5k5u5

(4)

非線性勢(shì)能函數(shù)有3個(gè)穩(wěn)定平衡點(diǎn)(勢(shì)阱)和兩個(gè)不穩(wěn)定平衡點(diǎn)(勢(shì)壘),回復(fù)力中偶數(shù)項(xiàng)次數(shù)決定了系統(tǒng)不對(duì)稱,表示如下

(5)

實(shí)踐中,不會(huì)先確定非線性回復(fù)力各項(xiàng)系數(shù)后再設(shè)計(jì)一個(gè)多穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu),這也是需要辨識(shí)的內(nèi)容。但是,可以先確定穩(wěn)態(tài)點(diǎn)位置和不穩(wěn)定點(diǎn)位置,再選取合理的K+L1k1范圍設(shè)計(jì)多穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu),這里定義K+L1k1為主剛度項(xiàng)系數(shù)。

對(duì)于雙穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu),通常設(shè)不穩(wěn)定平衡點(diǎn)u2為零作為一個(gè)基準(zhǔn),其余兩項(xiàng)非線性系數(shù)為

L4k3=(K+L1k1)/u1u3;L2k2=-L3k3(u1+u3)

(6)

對(duì)于三穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu),若將3個(gè)穩(wěn)定平衡點(diǎn)位置u1、u3、u5和兩個(gè)不穩(wěn)定平衡點(diǎn)位置u2、u4(u3通常設(shè)為0)作為基準(zhǔn),其余4項(xiàng)非線性系數(shù)可表達(dá)為

(7)

2 非參數(shù)辨識(shí)原理

2.1 RFS法辨識(shí)原理

RFS法是一個(gè)僅在少量系統(tǒng)結(jié)構(gòu)信息下,利用時(shí)域信號(hào)進(jìn)行系統(tǒng)辨識(shí)的方法。其原理是從懸臂梁的時(shí)域響應(yīng)軌跡中構(gòu)造出力、速度和位移的三維數(shù)據(jù)。從力-位移截面得到剛度力曲線,從力-速度截面得到阻尼力曲線,NRF的系數(shù)可以通過最小二乘擬合得到。RFS能夠通過三維曲面直觀地看出系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性,真實(shí)地表征NRF。

對(duì)于一非線性單自由度系統(tǒng),根據(jù)牛頓第二定理有

(8)

根據(jù)哈密頓原理,具有磁耦合的多穩(wěn)態(tài)懸臂梁的集中參數(shù)模型如下

(9)

式中:C為懸臂梁等效黏性阻尼。實(shí)驗(yàn)中,磁力耦合非線性懸臂梁系統(tǒng)的M和激勵(lì)f(t)為已知量,加速度和速度可通過數(shù)值微分計(jì)算得到,那么將式(7)(8)進(jìn)行變換,依據(jù)采樣定理,以Δt為時(shí)間間隔,采樣的ti=(i-1)Δt表示第i個(gè)采樣時(shí)間點(diǎn),那么在時(shí)間點(diǎn)i上有

(10)

(11)

(12)

(13)

式中:c=(c0,…,cn)T。

同樣地,利用阻尼曲線可以得到回復(fù)力曲面在x=0處的剖面曲線。對(duì)這條曲線進(jìn)行多項(xiàng)式擬合,可以得到阻尼力曲線的表達(dá)式如下

(14)

(15)

2.2 數(shù)據(jù)處理

RFS的關(guān)鍵問題是必須同時(shí)得到每個(gè)采樣點(diǎn)的位移、速度和加速度,然而要通過實(shí)驗(yàn)同時(shí)測(cè)量這3個(gè)量又是不現(xiàn)實(shí)的,目前有多種方法來解決這個(gè)問題,其中最直接的兩種方法為時(shí)域上的數(shù)值積分和數(shù)值微分。根據(jù)采樣定理,做微分或者是積分運(yùn)算要求時(shí)間域數(shù)據(jù)要足夠多,采樣的頻率要足夠高,所以采樣頻率應(yīng)至少為最高頻率的10倍以上。

2.2.1 時(shí)域上的數(shù)值積分 數(shù)值積分的方法有Trapezium公式、Simpson公式、Tick公式等。Trapezium公式的具體形式如下

(16)

(17)

式中:A、B都為常數(shù)。

Simpson公式如下

(18)

Tick公式如下

(19)

因?yàn)樵谟?jì)算積分達(dá)到相同精度的情況下,Trapezium公式計(jì)算量少,計(jì)算過程簡(jiǎn)單,計(jì)算速度更快。所以本文用Trapezium公式對(duì)一個(gè)微分方程的實(shí)例進(jìn)行驗(yàn)證

(20)

(a)速度

圖3 時(shí)域數(shù)值積分下得到的回復(fù)力曲面

仍用上文中的例子,再次利用Trapezium公式進(jìn)行兩次積分運(yùn)算,得到速度和位移的真實(shí)值與估計(jì)值,如圖4所示。這時(shí),速度真實(shí)值和估計(jì)值之間的均方根誤差為0.278 9%,而位移的真實(shí)值和估計(jì)值之間的均方根誤差為6.322 4%。從圖5可以看出系統(tǒng)是線性的,尤其是位移的真實(shí)值和積分值的比較,移除趨勢(shì)項(xiàng)后的估計(jì)值準(zhǔn)確性提高了很多。

(a)速度

圖5 去趨勢(shì)項(xiàng)后時(shí)域數(shù)值積分下得到的回復(fù)力曲面

2.2.2 時(shí)域上的數(shù)值微分 實(shí)驗(yàn)中,如果得到的是位移信號(hào)或者是速度信號(hào),那么就要對(duì)其做數(shù)值微分計(jì)算。數(shù)值微分計(jì)算有多種公式,這里介紹3、5、7數(shù)值點(diǎn)微分公式。3數(shù)值點(diǎn)微分公式

(21)

5數(shù)值點(diǎn)微分公式

(22)

7數(shù)值點(diǎn)微分公式

50(yi+1-yi-1)]/60Δt

(23)

(a)速度

圖7 時(shí)域數(shù)值微分下得到的回復(fù)力曲面

因?yàn)闀r(shí)域積分對(duì)測(cè)得的加速度信號(hào)直接進(jìn)行積分會(huì)出現(xiàn)干擾趨勢(shì)項(xiàng),需要擬合趨勢(shì)項(xiàng)以去除信號(hào)偏移,并且因?yàn)榘惭b要求無法準(zhǔn)確測(cè)量懸臂梁的加速度,所以通過測(cè)量位移信號(hào),采用7數(shù)值點(diǎn)微分公式進(jìn)行數(shù)值微分,完成回復(fù)力曲面的繪制。因?yàn)楸竟?jié)通過一個(gè)線性微分方程對(duì)傳統(tǒng)的回復(fù)力曲面法進(jìn)行驗(yàn)證,對(duì)回復(fù)力曲面做了處理,將速度和位移線性映射到[-1,1]區(qū)域,能更加直觀對(duì)比。對(duì)于多穩(wěn)態(tài)系統(tǒng),將曲面投影至xoy坐標(biāo)無法直觀地看出系統(tǒng)的非線性特性,所以將直接在三維空間表征RFS。

3 仿真分析

根據(jù)第2節(jié)原理,構(gòu)造出4種不同類型的負(fù)剛度懸臂梁。對(duì)4種類型多穩(wěn)態(tài)振子進(jìn)行仿真研究,分析剛度回復(fù)力和阻尼回復(fù)力的辨識(shí)精度。表1列出了4種不同類型的振子的參數(shù)。

表1 4種不同類型負(fù)剛度懸臂梁的參數(shù)

根據(jù)上文需給出梁的等效剛度K和非線性磁力的一階多項(xiàng)式系數(shù)。選取K為112 N/m,非線性剛度系數(shù)k1為-180～-60 N/m,如圖8所示,k1可以確定雙穩(wěn)態(tài)或三穩(wěn)態(tài)振子的勢(shì)阱深度。仿真中,考慮了對(duì)稱雙穩(wěn)態(tài)和非對(duì)稱雙穩(wěn)態(tài)懸臂梁的k1=-120 N/m,對(duì)稱三穩(wěn)態(tài)和不對(duì)稱三穩(wěn)態(tài)懸臂梁的k1=-100 N/m,懸臂梁的等效質(zhì)量M和黏滯阻尼C分別為0.006 kg和0.01 N·s/m。

(a)對(duì)稱雙穩(wěn)態(tài)

表2為依據(jù)穩(wěn)態(tài)點(diǎn)和主剛度項(xiàng)系數(shù)構(gòu)造的4種類型的NRF方程。

表2 4種類型的NRF方程

值得注意的是,雙穩(wěn)態(tài)和三穩(wěn)態(tài)懸臂梁可以表現(xiàn)為勢(shì)阱間振蕩或勢(shì)阱內(nèi)振蕩,識(shí)別數(shù)據(jù)集的選擇尤為重要。數(shù)值算例表明,選擇的輸出位移信號(hào)必須同時(shí)包含勢(shì)阱間振蕩和勢(shì)阱內(nèi)振蕩。本文選取恒激勵(lì)加速度的掃頻信號(hào),保證輸入激勵(lì)力幅值恒定。得到懸臂梁的位移,通過微分得到速度和加速度,構(gòu)造出力、速度、位移的三維點(diǎn),用Grawley-O’Donnel法將這些點(diǎn)通過插值,繪制成象限上的連續(xù)曲面得到RFS,如圖9所示。從RFS圖中能夠直觀的觀測(cè)系統(tǒng)的非線性特性及穩(wěn)態(tài)點(diǎn)位置,說明數(shù)值微分方法能夠可靠地從測(cè)量位移中估計(jì)到速度和加速度的值,從而完成系統(tǒng)RFS的精準(zhǔn)繪制。通過截面法得到,系統(tǒng)剛度回復(fù)力曲線和阻尼回復(fù)力曲線見圖10。從剛度回復(fù)力曲線可以看出系統(tǒng)的負(fù)剛度穩(wěn)態(tài)特性及其穩(wěn)態(tài)點(diǎn)位置,從阻尼曲線可看出系統(tǒng)的阻尼是線性的。用最小二乘法對(duì)回復(fù)力參數(shù)進(jìn)行辨識(shí),結(jié)果見表3,RFS辨識(shí)得到的剛度回復(fù)力曲線的辨識(shí)精度大于95%,辨識(shí)得到的阻尼回復(fù)力曲線的誤差不超過5%,辨識(shí)結(jié)果和仿真值吻合度高,說明回復(fù)力曲面法對(duì)磁力耦合多穩(wěn)態(tài)非線性懸臂梁系統(tǒng)辨識(shí)的精確性和有效性。

(a)對(duì)稱雙穩(wěn)態(tài)

(a)對(duì)稱雙穩(wěn)態(tài)剛度力曲線

表3 4種典型負(fù)剛度非線性振子回復(fù)力參數(shù)辨識(shí)結(jié)果

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為驗(yàn)證計(jì)算方法和非線性回復(fù)力辨識(shí)精度,搭建了如圖11所示的實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)。系統(tǒng)是由信號(hào)發(fā)生器(VT-9002-1)和功率放大器(YE5874A)控制的激振器(JZK-50)在恒定頻率和掃頻激勵(lì)下建立的。用位移傳感器(HL-G112-A-C5)測(cè)量懸臂梁響應(yīng)的絕對(duì)位移,用示波器(TBS2000)采集實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。由于懸臂梁的內(nèi)部應(yīng)力、兩個(gè)旋轉(zhuǎn)磁鐵的不均勻性以及安裝條件等原因,很難實(shí)現(xiàn)完全對(duì)稱,因此如果懸臂梁兩個(gè)穩(wěn)態(tài)點(diǎn)的位置相對(duì)于中心位置的誤差小于5%,則視為對(duì)稱。

圖11 實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)組成

4種不同類型的多穩(wěn)態(tài)振子的穩(wěn)態(tài)點(diǎn)位置如表4所示,它們是通過旋轉(zhuǎn)磁體或改變磁體的相對(duì)位移來實(shí)現(xiàn)的,此外其他實(shí)驗(yàn)參數(shù)也列于表4。

表4 4種不同類型的多穩(wěn)態(tài)懸臂梁的實(shí)驗(yàn)參數(shù)

根據(jù)第2節(jié),RFS方法可用于系統(tǒng)回復(fù)力的辨識(shí),包括剛度回復(fù)力和阻尼回復(fù)力。因此,對(duì)多穩(wěn)態(tài)梁的位移響應(yīng)進(jìn)行了測(cè)量和處理,包括對(duì)采集位移信號(hào)的平滑處理和數(shù)值微分,以構(gòu)建RFS。圖12顯示了對(duì)稱雙穩(wěn)態(tài)懸臂梁系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果,不對(duì)稱雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)、對(duì)稱三穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)及不對(duì)稱三穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖13～15所示。從中可以看出,回復(fù)力曲面法能直觀地展示實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的非線性特性,其中剛度回復(fù)力的擬合精度為97%以上,阻尼回復(fù)力的擬合精度為94%以上,所以通過剛度和阻尼函數(shù)的精確辨識(shí),能夠更加準(zhǔn)確地顯示系統(tǒng)的非線性特性。通過大量的仿真數(shù)據(jù)和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)集辨識(shí)結(jié)果可知,RFS的辨識(shí)精度很大程度上取決于數(shù)據(jù)的前處理?？傊?辨識(shí)出的NRF與測(cè)量的RFS有很好的一致性,驗(yàn)證了RFS法對(duì)辨識(shí)負(fù)剛度非線性振子的有效性和準(zhǔn)確性。

(a)測(cè)量位移數(shù)值微分結(jié)果

(a)測(cè)量位移數(shù)值微分結(jié)果

(a)測(cè)量位移數(shù)值微分結(jié)果

5 結(jié) 論

(a)測(cè)量位移數(shù)值微分結(jié)果

(1)對(duì)比分析了位移微分和加速度積分的數(shù)值處理方法,數(shù)值模擬結(jié)果表明,對(duì)時(shí)域數(shù)值積分進(jìn)行趨勢(shì)項(xiàng)去除后的精度能達(dá)到93%以上,對(duì)時(shí)域數(shù)值微分的精度能達(dá)到99%以上。所以,微分處理辦法比積分處理辦法更好,對(duì)位移數(shù)據(jù)的微分處理精度可達(dá)99%。

(2)基于RFS法的非參數(shù)辨識(shí)方法,辨識(shí)得磁耦合多穩(wěn)態(tài)懸臂梁系統(tǒng),數(shù)值模擬結(jié)果表明,通過對(duì)數(shù)據(jù)集中加入40、20和10 dB的高斯白噪聲,在不同勢(shì)阱下,剛度回復(fù)力和阻尼回復(fù)力的辨識(shí)精度都能保證95%以上。

(3)實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,識(shí)別結(jié)果與實(shí)測(cè)回復(fù)力面吻合很好,依據(jù)最小二乘法,在不同勢(shì)阱下的剛度回復(fù)力擬合精度能保證在97%以上,阻尼回復(fù)力辨識(shí)精度能保證在94%以上,證明了回復(fù)力曲面法對(duì)辨識(shí)負(fù)剛度非線性振子的有效性和準(zhǔn)確性。

(4)通過RFS法對(duì)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行繪制得到的三維回復(fù)力曲面,能夠直觀地看到系統(tǒng)的非線性特性及穩(wěn)態(tài)位置。本文是RFS法在負(fù)剛度及多穩(wěn)態(tài)非線性系統(tǒng)中的首次應(yīng)用。

(5)負(fù)剛度結(jié)構(gòu)的發(fā)展提高了能量俘獲或振動(dòng)控制能力,回復(fù)力曲面法可以將非線性回復(fù)力精準(zhǔn)的表征出來,此研究結(jié)果為能量俘獲及振動(dòng)控制領(lǐng)域的非線性研究提供了一種可行的方法。