錢巍 章飛

摘要：“八省聯(lián)考”數(shù)學(xué)卷中有一道開放題和一道新知閱讀題。這兩種比較新的題型具有較強的導(dǎo)向性。開放題符合學(xué)生未來發(fā)展的要求，滿足面向全體的現(xiàn)實需求，有利于發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造性，為差異化評價提供了可能。相應(yīng)的教學(xué)建議是，注重開放場景的設(shè)計、發(fā)散聯(lián)想的引導(dǎo)、形式多樣的開放題訓(xùn)練，從而加強教學(xué)的開放性。新知閱讀題指向未來成人學(xué)習(xí)的兩個重要能力，即閱讀理解能力和遷移運用能力，因此貼合考試的選拔功能。相應(yīng)的教學(xué)建議是，通過充分提供閱讀理解的機會，適度介紹閱讀理解的方法，逐步提高閱讀理解的要求，提升學(xué)生的閱讀力。

關(guān)鍵詞：八省聯(lián)考;數(shù)學(xué)卷;開放題;新知閱讀題;數(shù)學(xué)教學(xué)

“八省聯(lián)考”數(shù)學(xué)卷中有一道開放題（第15題）和一道新知閱讀題（第20題）。這兩種比較新的題型具有較強的導(dǎo)向性。本文重點分析它們的教學(xué)價值，并提出相應(yīng)的教學(xué)建議。

一、加強開放性：對開放題的教學(xué)思考

（一）開放題的類型

一道數(shù)學(xué)題從形式上看，包括條件和結(jié)論兩個部分。因此，開放題也可根據(jù)條件與結(jié)論是否開放粗略地分為三類：條件開放題、結(jié)論開放題和條件結(jié)論均開放的題。

所謂條件開放題，就是題目的條件沒有完全給定，要求學(xué)生確定條件后再解答的問題。條件的不確定，自然會造成結(jié)論的不確定;而一旦條件確定了，結(jié)論也就隨著確定了。例如：

又可分為兩類。一類是題目的條件明確，但不足以唯一確定研究對象，因而結(jié)論可能會多樣。例如“八省聯(lián)考”數(shù)學(xué)卷的第15題：寫出一個最小正周期為2的奇函數(shù)f（x）=。另一類是題目的研究對象（背景）明確，但是研究指向不明，造成研究內(nèi)容的開放。比如，給定一個數(shù)列，要求觀察它的特征，概括出關(guān)于它的某個規(guī)律。對此，不同的學(xué)生從不同的角度出發(fā)，可能會得出不同的規(guī)律。再如，給定一個情境，要求尋找其中有關(guān)的變量，研究它們之間的關(guān)系。對此，學(xué)生的關(guān)注點有差異，最后的結(jié)論自然就開放了。又如，只給一個背景（如一個操場），要求尋找其中蘊含的問題，然后選擇一個加以研究（當(dāng)然，還可以結(jié)合具體的知識點提出與這個知識點有關(guān)的問題），這當(dāng)然也是開放的。

如果條件開放的問題中，即使條件選定后，結(jié)論仍是開放的，就是條件結(jié)論均開放的題了。

（二）開放題的教學(xué)價值

1.開放題符合學(xué)生未來發(fā)展的要求。

學(xué)生未來面對真實世界研究的問題本身不是封閉的，而是開放的，需要結(jié)合自己的知識、能力以及對現(xiàn)實的判斷做出自己的選擇。比如，一個學(xué)生未來擬研究新能源問題，就需要思考具體研究哪一類新能源，這類新能源能否成為未來發(fā)展的趨勢，這類新能源的研究現(xiàn)狀如何，研究的難點和熱點何在，近期可以解決的核心問題是什么，自己的知識準(zhǔn)備和能力狀況如何，等等。在綜合各方面信息后，評估自身研究的可行性，選定課題。而且，即使研究的問題確定了，研究的過程（包括方式方法）也是開放的。一個具體問題的研究，難免受很多因素的影響，這自然就增加了研究的難度，需要對各個影響因素做出綜合評判，發(fā)現(xiàn)其中相對占主導(dǎo)地位的因素，暫時排除一些相對次要的因素，進行重點突破。既然未來工作具有開放性，數(shù)學(xué)教學(xué)就應(yīng)該給學(xué)生更多的開放體驗，從而提升學(xué)生的選擇能力，適應(yīng)學(xué)生的未來發(fā)展。而形形色色的開放題正可以提供這樣的學(xué)習(xí)體驗，特別是研究指向不明造成的結(jié)論開放題。

2.開放題滿足面向全體的現(xiàn)實需求。

學(xué)生的差異是客觀存在的。整齊劃一的教學(xué)對所有的學(xué)生提出同樣的要求，顯然是不合理的，也難以激發(fā)全體學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，教學(xué)效果可想而知。為此，教學(xué)需要關(guān)注不同學(xué)生的個體需求，而開放題正好較好地滿足了這一現(xiàn)實需求。比如，條件開放題要求學(xué)生自主選擇條件研究問題，既發(fā)揮了學(xué)生的主體性，增進了學(xué)生的參與度，又兼顧了學(xué)生自身的認知特征。前文給出的條件開放題中，選擇不同的條件，解題難度還比較相近。有時，還可以提供不同難度的條件（當(dāng)然選擇不同難度的條件，最終解答的得分也可以不同），要求學(xué)生結(jié)合自身的能力來選擇：水平較高的學(xué)生可能會選擇難度較大的條件，以獲取更高的得分;水平較低的學(xué)生則可以選擇相對簡單的條件，以獲取理想的得分。這樣更易于調(diào)動全體學(xué)生的積極性，實現(xiàn)不同學(xué)力水平學(xué)生的差異化發(fā)展。

3.開放題有利于發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造力。

開放題不似常規(guī)題有套路可循，因而打破了學(xué)生解題的一些常規(guī)思路，更為注重結(jié)合學(xué)習(xí)經(jīng)驗主動探究與建構(gòu)，有利于發(fā)展學(xué)生的探究能力，更易于引發(fā)學(xué)生創(chuàng)造性的火花（如提出一些新穎獨特的方法），有助于培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性、獨創(chuàng)性。此外，在自主探究的基礎(chǔ)上，學(xué)生可以展示分享各自的想法與結(jié)論，從而發(fā)展思維的廣闊性、發(fā)散性;而面對多樣的想法與結(jié)論，學(xué)生群體自然會評議與優(yōu)化，從而發(fā)展思維的深刻性、嚴謹性等?？傊_放題有利于全面發(fā)展學(xué)生的思維品質(zhì)，促進學(xué)生創(chuàng)造力的提升。

4.開放題為差異化評價提供了可能。

開放題的答案不唯一，為不同層次的學(xué)生提供了不同解答的可能。加強開放題解答的研究，基于不同的解答，可以較好地評估學(xué)生思維的差異，推進差異化評價。因而，在中、高考等選拔性考試中命制開放題，可以較好地實現(xiàn)人才選拔。

（三）開放題的教學(xué)建議

正由于開放題具有上述教學(xué)價值，國家倡導(dǎo)在大規(guī)模選拔性考試中命制開放題。近年來，各地中考卷中有很多開放題的案例。雖然高考卷中的開放題還不多，但“八省聯(lián)考”還是透露出未來高考卷擬加大開放題考查力度的信息。因此，一線教師要高度關(guān)注開放題的教學(xué)，加強教學(xué)的開放性。具體可以采取如下策略：

1.注重開放場景的設(shè)計。

新知學(xué)習(xí)中，可以提供現(xiàn)實情境，引導(dǎo)學(xué)生在觀察的基礎(chǔ)上思考可能的數(shù)學(xué)問題;在學(xué)生暢所欲言的基礎(chǔ)上，歸納整理有關(guān)的研究問題，分析評價問題之間的關(guān)系，從而形成一個相對長期的學(xué)習(xí)任務(wù)鏈，使得學(xué)生對學(xué)習(xí)任務(wù)有一個全貌的把握，滲透結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)的理念。當(dāng)然，在問題（任務(wù)）之間關(guān)系的分析評價中，要使全體學(xué)生明晰研究的起點，指向本課時的新知學(xué)習(xí)。同時，部分問題（任務(wù)）難免超出部分學(xué)生的學(xué)力水平，不能作為對全體學(xué)生的要求，可以引導(dǎo)學(xué)有余力的學(xué)生自主研究，從而更好地發(fā)揮學(xué)生的主體性，實施差異化教學(xué)。此外，還可以在作業(yè)中布置一些問題提出、規(guī)律發(fā)現(xiàn)的開放性任務(wù)。

例如，在函數(shù)教學(xué)初始階段，可以呈現(xiàn)如下例題：

例1超速行駛是交通事故最主要的因素，你知道其中的原因嗎？基于某公司的剎車實驗數(shù)據(jù)得到圖1，觀察圖1，你可以發(fā)現(xiàn)哪些函數(shù)關(guān)系？你能猜測這些函數(shù)具有什么特征嗎？你準(zhǔn)備如何研究這些函數(shù)關(guān)系？……

在交流的基礎(chǔ)上，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)，反應(yīng)距離、制動距離、停車距離、停車時間都是速度的函數(shù)。并且，從具體的數(shù)據(jù)上，學(xué)生可以感受到這些變量都隨著速度的增長而增長，這實際上就是函數(shù)的增減性;可能有學(xué)生感覺到增長速率的變化，如停車時間、反應(yīng)距離的增長是均勻的，而制動距離、停車距離的增長不均勻，是加速的，這些實際上就是導(dǎo)數(shù)的增減性;還可能有學(xué)生根據(jù)增長率感受到其中部分函數(shù)是一次的，部分函數(shù)不是一次的，可能是二次的;甚至還可能有學(xué)生提出為什么會呈現(xiàn)這樣的特征，其內(nèi)在的物理規(guī)律是什么等問題，這就涉及特定函數(shù)形式對應(yīng)的現(xiàn)實依據(jù)，既是一個跨學(xué)科的思考，也可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)模型思想。而對于如何研究，學(xué)生可能會提出從表格數(shù)據(jù)、圖形直覺、代數(shù)表達形式等角度，這實際上正是研究函數(shù)的三個視角;而且會在研究中感受到三個視角之間的轉(zhuǎn)換和一致性。

總之，在開放性場景中，學(xué)生自主地發(fā)現(xiàn)研究問題，自主地猜想研究結(jié)論，自主地感受研究視角，自主地形成研究框架，后續(xù)學(xué)習(xí)可依次展開。

2.注重發(fā)散聯(lián)想的引導(dǎo)。

解決具體問題后，要注意引導(dǎo)學(xué)生及時反思，從而積累解題經(jīng)驗，發(fā)展問題解決能力。除了反思解決問題的過程，還應(yīng)注意對問題本身的發(fā)散聯(lián)想。比如，可以引導(dǎo)學(xué)生思考：基于本題的條件，還可以得到哪些結(jié)論？還可以求解哪些問題？這既有助于發(fā)展學(xué)生的發(fā)散思維能力，又實現(xiàn)了一題多變，更充分地發(fā)揮了題目的教學(xué)價值。而且，尋求更多結(jié)論的過程，就是完成很多結(jié)論開放題的過程。

3.注重形式多樣的開放題訓(xùn)練。

對學(xué)生而言，開放題畢竟是比較新的題型。學(xué)生如果缺乏解開放題的經(jīng)驗，那么在考試中遇到這類題型，難免手足無措，影響水平發(fā)揮。因此，要進行必要的開放題訓(xùn)練。正如前文所說，開放題有不同的形式，因此，教學(xué)中應(yīng)注意提供不同類型的開放題，使得學(xué)生對開放題有一個相對全面的認識。

二、提升閱讀力：對新知閱讀題的教學(xué)思考

（一）新知閱讀題的含義

新知閱讀題，顧名思義，就是提供關(guān)于新知識的閱讀材料，要求學(xué)生在閱讀理解的基礎(chǔ)上運用新知識解決問題。這里，要求學(xué)生閱讀的新知識可以是新定義，也可以是新結(jié)論，還可以是新方法等?！鞍耸÷?lián)考”數(shù)學(xué)卷的第20題以北京大興機場的曲面設(shè)計為引子，給出多面體曲率的定義，要求學(xué)生據(jù)此定義從特殊到一般計算簡單多面體的曲率，就是典型的新知閱讀題。

（二）新知閱讀題的教學(xué)價值

1.閱讀理解是成人學(xué)習(xí)的重要方式。

未來社會是一個信息化社會、終身學(xué)習(xí)的社會。未來公民需要不斷面對瞬息萬變的知識增長，因而，只能通過不斷學(xué)習(xí)來適應(yīng)。而成人的學(xué)習(xí)很難像學(xué)生那樣，立足課堂并在教師的直接指導(dǎo)下進行，更多是借助網(wǎng)絡(luò)等各種媒體獲取信息，通過自身的閱讀理解獲取知識。因此，閱讀理解成為成人學(xué)習(xí)的重要方式，閱讀理解能力成為成人學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)能力。

2.遷移運用是成人學(xué)習(xí)的目標(biāo)指向。

學(xué)習(xí)的目的在于學(xué)以致用解決問題，特別對成人學(xué)習(xí)者而言。未來的學(xué)習(xí)多是選擇性的、面向工作情境的，即基于工作的需要主動學(xué)習(xí)相關(guān)的知識，進而通過有關(guān)知識的學(xué)習(xí)反過來解決實際的問題——正是在這樣的交互作用下實現(xiàn)知識和能力的螺旋式上升。

3.新知閱讀題有利于發(fā)展學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。

新知閱讀題需要學(xué)生閱讀相關(guān)的新知材料，從而理解新知，進而在理解新知的基礎(chǔ)上，遷移運用新知解決具體問題。因此，新知閱讀題直接指向?qū)W生閱讀理解能力和遷移運用能力的發(fā)展。而這兩個能力正是未來成人所必需的重要能力。因此可以說，新知閱讀題有利于發(fā)展學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。

4.新知閱讀題有利于發(fā)揮考試的選拔功能。

選拔性考試的目的與水平性考試（如學(xué)業(yè)監(jiān)測、畢業(yè)考試等）不同。水平性考試的目的是了解學(xué)生的學(xué)習(xí)現(xiàn)狀，了解學(xué)生現(xiàn)有的知識基礎(chǔ)，即“現(xiàn)在知道什么”。選拔性考試更注重考查學(xué)生繼續(xù)深造的潛力，考查學(xué)生未來發(fā)展的余地，即“未來能做什么”。因此，學(xué)習(xí)能力成為選拔性考試中需要考查的重要能力。而新知閱讀題既有利于發(fā)展學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，也是評估學(xué)生學(xué)習(xí)能力的一個絕佳載體，十分貼合考試的選拔功能。

（三）新知閱讀題的教學(xué)建議

正由于新知閱讀題具有上述教學(xué)價值，國家倡導(dǎo)在大規(guī)模選拔性考試中命制新知閱讀題。近年來，新知閱讀題在各地中考卷中十分常見。雖然新知閱讀題在高考卷中相對較少，但“八省聯(lián)考”還是提醒我們，要高度關(guān)注新知閱讀題的教學(xué)，提升學(xué)生的閱讀力。具體可以采取如下策略：

1.充分提供閱讀理解的機會。

教學(xué)中，除了利用新知閱讀題開展閱讀教學(xué)，還應(yīng)通過各種途徑，為學(xué)生提供閱讀理解的機會，讓學(xué)生在豐富的閱讀理解體驗中提升閱讀理解的能力。比如，注意引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成閱讀理解教材以及其他課外資料的習(xí)慣，可以要求學(xué)生在閱讀的基礎(chǔ)上完成明確的任務(wù)，從而自主學(xué)習(xí)新知。再如，可以提供一些具有現(xiàn)實背景的應(yīng)用題讓學(xué)生解決。解決這類問題，固然需要將實際問題抽象成數(shù)學(xué)問題，可以發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力，但首要環(huán)節(jié)是，理解題意和對應(yīng)的現(xiàn)實背景，學(xué)生勢必要通過閱讀文字、符號、圖表等信息，獲取問題現(xiàn)實背景的意義。因而，應(yīng)用題也是發(fā)展學(xué)生閱讀理解能力的一個適切的載體。

這樣的題目，可以是教材中的例題、習(xí)題（如例2），更需要自主開發(fā)和廣泛尋求（如例3）。

例3紅鈴蟲是棉花的主要害蟲之一，能對農(nóng)作物造成嚴重傷害，每只紅鈴蟲的平均產(chǎn)卵數(shù)y和平均氣溫x有關(guān)，現(xiàn)收集了以往某地的7組數(shù)據(jù)，得到散點圖（如圖2）及一些統(tǒng)計量的值（如圖3）。

（1）根據(jù)散點圖判斷，y=a+bx與y=cedx哪一個更適宜作為平均產(chǎn)卵數(shù)y關(guān)于平均溫度x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）并由判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的回歸方程。（計算結(jié)果精確到小數(shù)點后第三位）

（2）根據(jù)以往統(tǒng)計，該地每年平均氣溫達到28 ℃以上時，紅鈴蟲會造成嚴重傷害，需要人工防治，其他情況均不需要人工防治。記該地每年平均氣溫達到28 ℃以上的概率為p（0

（i）記該地今后5年中，恰好需要3次人工防治的概率為f（p），求f（p）的最大值，并求出相應(yīng)的概率p。

（ii）當(dāng)f（p）取最大值時，記該地今后5年中，需要人工防治的次數(shù)為X，求X的數(shù)學(xué)期望和方差。

2.適度介紹閱讀理解的方法。

新知閱讀題的信息量比較大，因此，如何從大量的信息中找出關(guān)鍵的信息，并建立關(guān)鍵信息之間的聯(lián)系，就成為影響學(xué)生閱讀理解的重要因素。教學(xué)中，要注意通過具體案例，介紹題目信息提取的方法。比如，要求學(xué)生養(yǎng)成一邊閱讀，一邊畫批題目中信息的習(xí)慣。注重引導(dǎo)學(xué)生采用不同的方式表示題目中的信息：利用圖形語言或符號語言表示題目中的文字信息;采用直觀的圖表語言表示抽象的符號語言，也可通過舉特例等方式理解抽象的符號語言。總之，注重語言的轉(zhuǎn)化，養(yǎng)成多種方式表征信息的能力。這樣的方法固然可以在講解新知閱讀題以及應(yīng)用題時強調(diào)，但更需要滲透在日常的新知學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)中，使得語言轉(zhuǎn)化和信息表征成為學(xué)生閱讀理解時的習(xí)慣。

3.逐步提高閱讀理解的要求。

新知閱讀題的教學(xué)還要注意循序漸進地提高，從而避免部分學(xué)生的信心受挫。在新知學(xué)習(xí)階段，注意控制題目的信息量，讓更多的學(xué)生獲得成功的閱讀體驗;等學(xué)生閱讀理解能力有所提升，再逐步增加題目的信息量;面對個別閱讀量較大的題目，可以采取分段閱讀的方式，幫助學(xué)生正確獲取信息、理解信息;在復(fù)習(xí)階段，可以給予學(xué)生閱讀理解的專項指導(dǎo)和訓(xùn)練。此外，還要充分發(fā)揮學(xué)生的主體性，促使他們相互交流、相互幫助，逐步提高閱讀理解能力。

總之，面對高考的新變化，教師自然應(yīng)該加強研究。當(dāng)然，更需要從學(xué)生未來發(fā)展的高度，思考學(xué)生未來發(fā)展需要哪些關(guān)鍵能力和學(xué)科素養(yǎng)，如何在教學(xué)中發(fā)展這些關(guān)鍵能力和學(xué)科素養(yǎng)。相信只要我們關(guān)注了學(xué)生關(guān)鍵能力和學(xué)科素養(yǎng)的發(fā)展，學(xué)生的能力和素養(yǎng)提升了，不管怎樣的新高考都能應(yīng)對。