賀京九,袁長清,左晨熠

空軍航空大學(xué)，長春 130022

0 引 言

庫侖力編隊(duì)飛行[1](coulomb formation flying,CFF)是近些年來一種新興的衛(wèi)星編隊(duì)技術(shù)，其基本思想是通過某種手段使衛(wèi)星帶電(如電子槍發(fā)射電子使衛(wèi)星帶正電荷)，在編隊(duì)各衛(wèi)星之間形成庫侖力，再設(shè)計(jì)相應(yīng)的控制規(guī)律，進(jìn)而控制編隊(duì)達(dá)到期望狀態(tài).

庫侖編隊(duì)技術(shù)相對傳統(tǒng)編隊(duì)技術(shù)具有明顯優(yōu)勢，主要體現(xiàn)在控制精度高、控制能耗小、能源可再生、不產(chǎn)生羽流污染等方面.在衛(wèi)星編隊(duì)運(yùn)行過程中，構(gòu)型保持是一項(xiàng)關(guān)鍵技術(shù)，是編隊(duì)完成既定任務(wù)的前提和保證.當(dāng)編隊(duì)衛(wèi)星數(shù)量達(dá)到三顆及以上時(shí)，星間耦合問題使得動(dòng)力學(xué)模型的建立難度大大提高，相應(yīng)控制律設(shè)計(jì)也變得十分復(fù)雜.目前國內(nèi)外研究相對多集中于二體編隊(duì)，已有的三體編隊(duì)研究選擇對問題做適當(dāng)簡化，主要是通過預(yù)設(shè)共線或等邊三角形等特殊構(gòu)型降低分析難度，或者將編隊(duì)設(shè)置在深空環(huán)境，排除外部攝動(dòng)干擾.黃靜[2]在其博士論文中考慮輸入有界與狀態(tài)約束，設(shè)計(jì)了不同的反饋控制律，對于深空環(huán)境下的多體間相對距離控制問題有較好的表現(xiàn).王景偉[3]詳細(xì)分析了兩星編隊(duì)的穩(wěn)定性與控制問題，提出基于PD控制的反饋控制律，分別實(shí)現(xiàn)了兩種不同方向上的編隊(duì)在小擾動(dòng)下的構(gòu)型保持.王有亮[4]基于平均化思想，推導(dǎo)了平均相對速度和脈沖速度增量之間的解析表達(dá)式，提出一種只需要星間測距信息的解析控制策略.朱數(shù)一[5]采用最優(yōu)滑?？刂品椒?，對于高精度精密編隊(duì)構(gòu)型維持問題取得了較好的效果.PETER等[6]分析了共線旋轉(zhuǎn)三星庫侖編隊(duì)的面外穩(wěn)定性，設(shè)計(jì)了非線性控制器消除了面外擾動(dòng)的影響.QI等[7]提出了庫侖雙金字塔繩系構(gòu)型，通過拉格朗日方程得到編隊(duì)的運(yùn)動(dòng)方程，在衛(wèi)星個(gè)數(shù)較少的情況下獲得了單個(gè)星電荷解析解.史小平等[8]針對編隊(duì)飛行動(dòng)力學(xué)中的未知部分，提出采用自適應(yīng)神經(jīng)滑?？刂坡蛇M(jìn)行補(bǔ)償.HOGAN等[9]研究了共線三星庫侖編隊(duì)的形狀不變條件，并求出了相應(yīng)的電荷解.林明培等[10]提出了庫侖編隊(duì)的八電荷對稱構(gòu)型，并利用中心流形約化和龐加萊映射研究了它的動(dòng)力學(xué)特性.孫云龍等[11]研究了地球同步軌道處徑向共線四星庫侖編隊(duì)的動(dòng)力學(xué)與控制問題，設(shè)計(jì)了改進(jìn)的LQR控制器，有效維持了編隊(duì)構(gòu)型.翟光等[12]討論了圓軌道自旋繩系編隊(duì)的控制問題，提出了一種非線性干擾觀測器，在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)了控制律，并分析了其與幾個(gè)重要參數(shù)之間的關(guān)系.

受空間攝動(dòng)影響，衛(wèi)星實(shí)際軌道會與參考軌道產(chǎn)生偏差，此時(shí)需要衛(wèi)星機(jī)動(dòng)對偏差進(jìn)行修正.在實(shí)際任務(wù)中，很多機(jī)動(dòng)需要大幅度轉(zhuǎn)向，但由于庫侖力是編隊(duì)內(nèi)部力，并不能改變衛(wèi)星慣性軸的角動(dòng)量.而且?guī)靵鼍庩?duì)的動(dòng)力學(xué)模型是具有高度耦合的非線性模型，使得單純依靠靜電庫侖力無法滿足推進(jìn)需求[13].為克服此缺陷，考慮在庫侖力外加入電推力作為補(bǔ)充，改善庫侖力編隊(duì)的可控性，提高響應(yīng)速率.等離子推進(jìn)器是電推進(jìn)技術(shù)的一種，其主要技術(shù)優(yōu)點(diǎn)有比沖高、總沖量大、壽命長、體積小等.NASA開發(fā)的“漸進(jìn)式氙離子推進(jìn)器”(NASA’s evolutionary xenon thruster，NEXT)比沖大于4000 s，最大推力超過200 mN[14]，總沖量達(dá)107N·s量級[15].以上技術(shù)指標(biāo)非常適合用于庫侖編隊(duì)中的推力補(bǔ)充.

本文研究了混合推進(jìn)三星編隊(duì)在地球靜止軌道處的隊(duì)形保持控制問題.通過假設(shè)三星始終處于共線分布對問題進(jìn)行簡化.考慮攝動(dòng)影響，建立了混合推進(jìn)三星庫侖編隊(duì)動(dòng)力學(xué)方程，設(shè)計(jì)了投影圓軌道旋轉(zhuǎn)編隊(duì)構(gòu)型，采用滑?？刂品椒ㄔO(shè)計(jì)控制器對環(huán)繞星進(jìn)行隊(duì)形保持控制，并進(jìn)行了數(shù)值仿真驗(yàn)證.

1 動(dòng)力學(xué)模型

設(shè)編隊(duì)位于地球靜止軌道(GEO)處，3顆星在任意時(shí)刻始終呈共線分布，中間位置為參考星，沿GEO繞地球轉(zhuǎn)動(dòng)，其余兩星為環(huán)繞星，在編隊(duì)構(gòu)型平面內(nèi)繞參考星轉(zhuǎn)動(dòng),編隊(duì)構(gòu)型如圖1所示.以參考星質(zhì)心位置為原點(diǎn)建立Hill坐標(biāo)系，編隊(duì)質(zhì)心與參考星質(zhì)心重合.記兩顆環(huán)繞星分別為Sat1和Sat2，參考星為Sat3，ri(i=1,2)為庫侖力編隊(duì)中第i個(gè)衛(wèi)星在地心慣性坐標(biāo)系中的位置矢量，r3表示編隊(duì)質(zhì)心在慣性系中的位置矢量，則第i個(gè)衛(wèi)星相對于編隊(duì)質(zhì)心的位置矢量可以表示為ρi=ri-r3=[xiyizi]T，考慮攝動(dòng)影響，Hill坐標(biāo)系下的混合推進(jìn)衛(wèi)星編隊(duì)動(dòng)力學(xué)方程為

(1)

2 編隊(duì)構(gòu)型設(shè)計(jì)

當(dāng)式(1)等號右端全部為零時(shí)，可以得到相對運(yùn)動(dòng)方程解析解：

(2)

(3)

(4)

其中

(5)

(6)

當(dāng)滿足下列條件時(shí)，相對運(yùn)動(dòng)軌跡在Hill坐標(biāo)系x-y面內(nèi)投影是以原點(diǎn)為圓心的正圓：

(7)

(8)

式(8)即為環(huán)繞星期望相對運(yùn)動(dòng)軌跡，在Hill坐標(biāo)系x-y面內(nèi)有y2(t)+z2(t)=[2|x(0)|]2，圓心(0,0)，半徑R=2|x(0)|.記x(0)>0為環(huán)繞星Sat1軌跡，x(0)<0為環(huán)繞星Sat2軌跡，二者關(guān)于原點(diǎn)對稱并繞其旋轉(zhuǎn).

3 滑?？刂破髟O(shè)計(jì)

控制目標(biāo)為Sat1和Sat2相對Sat3沿式(8)給定的期望軌跡運(yùn)行，初始時(shí)刻存在位置誤差e，考慮未知有界相對攝動(dòng)的影響，設(shè)計(jì)滑模變結(jié)構(gòu)控制器，以電荷積Q和電推力fet作為控制輸入，Sat1和Sat2的相對位置為輸出，通過調(diào)節(jié)輸入使Sat1、Sat2獲得適當(dāng)?shù)目刂萍铀俣?，以期在有限時(shí)間內(nèi)使e→0，實(shí)現(xiàn)編隊(duì)期望隊(duì)形的保持.

將式(1)改寫成如下形式：

(9)

其中x=[x1y1z1x2y2z2]T，fd=[dx1dy1dz1dx2dy2dz2]T，

環(huán)繞星Sat1和Sat2相對參考星Sat3的期望位置在Hill坐標(biāo)系下表示為xd=[x1dy1dz1dx2dy2dz2d]T，誤差e=x-xd，求二階導(dǎo)數(shù)得

(10)

采用線性滑模面

(11)

其中，λ為六階正定對稱矩陣，s為6×1列向量.采用指數(shù)趨近律：

(12)

其中，ε、k為六階正定對角矩陣，sgn(s)=[sgn(s1) sgn(s2) sgn(s3) sgn(s4) sgn(s5) sgn(s6)]T，對式(11)求導(dǎo)，與式(10)、(12)聯(lián)立得

(13)

整理得

(14)

需要指出的是，式(14)中由滑?？刂破髑蟮玫目刂屏縡c為環(huán)繞星應(yīng)產(chǎn)生的總的控制加速度，而該控制加速度由編隊(duì)內(nèi)部庫侖力和環(huán)繞星上電推進(jìn)力矢量和得到，因此得到控制加速度后，須將其轉(zhuǎn)換為直接控制量Q和fet，為此將fc展開成如下形式：

fc=AQ+fet

(15)

其中Q=[Q12Q13Q23]T，A為系數(shù)矩陣

fet=[fx1fy1fz1fx2fy2fz2]T為電推進(jìn)力，電荷積由最小二乘法[11]解得Q=(ATA)-1ATfc，庫侖力大小為Fcou=miAQ，電推進(jìn)力fet=mi[fc-AQ].

定義Lyapunov函數(shù)

(16)

求導(dǎo)，代入式(14)得

sT(-εsgn(s)-ks)≤-sTks≤0

(17)

故根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論，系統(tǒng)全局漸近穩(wěn)定，但實(shí)現(xiàn)過程中存在抖振.為了消除抖振影響，將符號函數(shù)替換成飽和函數(shù)，替換后的控制器如下：

(18)

其中，sat(s,Δ)=[sat(s1,Δ)sat(s2,Δ)sat(s3,Δ)sat(s4,Δ)sat(s5,Δ)sat(s6,Δ)]T[17]，飽和函數(shù)sat(si,Δ)具體構(gòu)造為：

(19)

式(19)中Δ為消抖界寬.

4 仿真算例

本文選取地球靜止軌道處衛(wèi)星編隊(duì)作為仿真驗(yàn)證對象，此處空間攝動(dòng)影響主要有地球非球形攝動(dòng)和日月引力攝動(dòng)，用余弦函數(shù)表示為[18]

fd=diag{0.5 -0.5 0.5 0.5 -0.5 0.5}×

cosnt×10-5m/s2

參考星軌道為R=42164 km的圓軌道，角速度n=7.272×10-5rad/s.取|x(0)|=100 m，則環(huán)繞星Sat1和Sat2的期望相對運(yùn)動(dòng)軌跡為：

(20)

(21)

設(shè)環(huán)繞星質(zhì)量為m1=m2=200 kg，在機(jī)動(dòng)過程中同時(shí)使用庫侖力和電推力構(gòu)成混合推力進(jìn)行軌道控制.控制參數(shù)選取如下：

λ=diag{3 3 3 3 3 3}×10-3，

k=diag{6 6 6 6 6 6}×10-3，

ε=diag{1 1 1 1 1 1}×10-4，

圖1 編隊(duì)示意圖Fig.1 Formation demonstration

圖2 星1位置跟蹤曲線Fig.2 Position track of Sat1

圖3 星2位置跟蹤曲線Fig.3 Position track of Sat2

圖4 環(huán)繞星位置誤差曲線Fig.4 Position errors of follower satellite

圖5 電荷積曲線Fig.5 Charges product

圖2、圖3分別為環(huán)繞星Sat1、Sat2的三軸位置跟蹤情況，由圖可知跟蹤過程平滑，無超調(diào)無抖動(dòng)，有較好的動(dòng)態(tài)性能.由圖4可得，相對位置誤差在2000 s內(nèi)就已收斂到較高精度，隨后穩(wěn)定在±1×10-3m量級，相對軌道為250 m左右量級，可以認(rèn)為取得了較好的控制效果.圖5為編隊(duì)內(nèi)衛(wèi)星兩兩之間的電荷積曲線，由圖可知，兩顆環(huán)繞星電荷積始終為正值，任意一環(huán)繞星與參考星電荷積都為負(fù)值且相等，這表明在充電過程中，環(huán)繞星始終帶同種等量電荷，而參考星與環(huán)繞星為異種電荷，在機(jī)動(dòng)過程中電荷積量級較大，接近期望軌道后維持在較低水平.圖6為環(huán)繞星電推力大小，在機(jī)動(dòng)過程中由于需要轉(zhuǎn)向，此時(shí)電推力數(shù)值較大，隨后環(huán)繞星逐漸向期望軌道靠近，電推力逐漸減小，最終維持在1 mN左右.

圖6 電推力曲線Fig.6 Electronic thrust

5 結(jié) 論

本文基于相對運(yùn)動(dòng)解析解，設(shè)計(jì)了一種投影圓軌道旋轉(zhuǎn)編隊(duì)構(gòu)型.考慮靜止軌道處攝動(dòng)影響，將其簡化為有界量，采用指數(shù)趨近律設(shè)計(jì)了一種滑?？刂破?，用Lyapunov方法證明了其穩(wěn)定性，通過控制電推力和庫侖編隊(duì)內(nèi)部靜電力實(shí)現(xiàn)對預(yù)設(shè)軌道的跟蹤.仿真結(jié)果表明混合推力方案響應(yīng)速度快，調(diào)節(jié)過程平滑，控制精度高，改善了僅依靠庫侖力控制的缺陷，具有一定實(shí)用價(jià)值.