陳雪琴

摘要：運(yùn)用LOCA范式，觀察《相似三角形的判定》第三課時(shí)的教學(xué)。首先，觀察學(xué)習(xí)歷程，抽取關(guān)鍵事件：解決問題時(shí)，孤軍奮戰(zhàn)，缺乏溝通;公共分享時(shí)，聽而不記，記而不思;知識(shí)應(yīng)用中，簡(jiǎn)單模仿，缺乏深究。其次，分析關(guān)鍵事件，診斷學(xué)習(xí)問題：淺表學(xué)習(xí)無法實(shí)現(xiàn)知識(shí)的遷移;習(xí)慣性的淺表學(xué)習(xí)阻礙協(xié)同學(xué)習(xí)的開展;不善于反思就難以應(yīng)對(duì)高挑戰(zhàn)性問題。最后，針對(duì)學(xué)習(xí)問題，做出教學(xué)改進(jìn)：營造學(xué)習(xí)環(huán)境，促進(jìn)協(xié)同學(xué)習(xí);轉(zhuǎn)變教學(xué)理念，為學(xué)習(xí)而設(shè)計(jì);搭建學(xué)習(xí)支架，發(fā)展高階思維;調(diào)整教學(xué)節(jié)奏，留足反思時(shí)間。

關(guān)鍵詞：學(xué)習(xí)歷程;關(guān)鍵事件;課堂觀察;教學(xué)改進(jìn);《相似三角形的判定》

焦點(diǎn)學(xué)生完整學(xué)習(xí)歷程觀察及關(guān)鍵事件分析法（Learningprocess Observation and Criticalincidents Analysis Approach，簡(jiǎn)稱“LOCA范式”）作為一種課堂觀察范式，實(shí)現(xiàn)了課堂研究方法的突破。它要求教師（觀察員）在聽課時(shí)，選擇一位或幾位學(xué)生作為焦點(diǎn)學(xué)生進(jìn)行觀察與分析，觀察收集焦點(diǎn)學(xué)生學(xué)習(xí)過程的完整證據(jù)并分析學(xué)習(xí)過程中的關(guān)鍵事件，在此基礎(chǔ)上做出教學(xué)改進(jìn)。本文以浙教版初中數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)《相似三角形的判定》第三課時(shí)的教學(xué)為例，探討LOCA范式的運(yùn)用。

一、觀察學(xué)習(xí)歷程，抽取關(guān)鍵事件

《相似三角形的判定》第三課時(shí)這節(jié)公開課設(shè)在學(xué)校錄播教室，時(shí)長(zhǎng)45分鐘，學(xué)生四人一組面對(duì)面圍坐在一起。在征得學(xué)生同意的前提下，我選擇了夢(mèng)瑤及其同組的俊芬、學(xué)樂、靜文三位學(xué)生作為自己的觀察對(duì)象。我（觀察員）與四位學(xué)生的座位如圖1所示。

課前，我與夢(mèng)瑤簡(jiǎn)短交流。課上，我認(rèn)真觀察夢(mèng)瑤和三位伙伴的學(xué)習(xí)歷程，從中抽取記錄關(guān)鍵事件。

（一）解決問題：孤軍奮戰(zhàn)，缺乏溝通

課始，教師先讓學(xué)生回顧已經(jīng)學(xué)過的相似三角形的判定方法：定義法;預(yù)備定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交所構(gòu)成的三角形與原三角形相似;判定定理1：兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似;判定定理2：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似。然后引導(dǎo)學(xué)生類比全等三角形的判定方法猜想本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，即相似三角形其他可能的判定方法：三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似;一條直角邊和斜邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)直角三角形相似。

在這三分多鐘里，夢(mèng)瑤有些緊張，沒有回答教師的問題，也沒有在學(xué)習(xí)單上寫下回顧的內(nèi)容?？》液蛯W(xué)樂也存在類似的情況。靜文則快速地在學(xué)習(xí)單上填好相似三角形的判定定理。其間，四位學(xué)生基本保持沉默狀態(tài)，沒有任何口頭上的交流。

接著，教師讓學(xué)生嘗試證明三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似。夢(mèng)瑤很快進(jìn)入思考狀態(tài)，畫出△ABC和△A′B′C′后，添好輔助線DE∥BC（如圖2），然后利用預(yù)備定理得出△ADE∽△ABC。這時(shí)，她發(fā)現(xiàn)問題沒有她想的那么容易，因?yàn)樗恢廊绾巫C明△ADE≌△A′B′C′，但是，她仍然堅(jiān)持獨(dú)立思考，沒有尋求同伴的合作?？》彝耆珱]有思路，只畫了兩個(gè)三角形就寫不下去了，但是，她也沒有說出自己的困惑，沒有尋求同伴的幫助。學(xué)樂有了自己的解題思路及解題經(jīng)驗(yàn)，但是沒有跟同伴分享，也沒有主動(dòng)地向同伴伸出援手。靜文因?yàn)槊τ谧约旱慕獯?，也沒有時(shí)間與同伴交流。思考這個(gè)問題的整個(gè)過程中，四位學(xué)生沒有任何交流，都在孤軍奮戰(zhàn)。

（二）公共分享：聽而不記， 記而不思

大約八分鐘后，教師讓學(xué)生分享自己的學(xué)習(xí)成果。有三位學(xué)生主動(dòng)舉手發(fā)言，分享了三種不同的解法。

張同學(xué)的解法如下：

如圖2，在線段AB上截取AD=A′B′，過點(diǎn)D作DE∥BC，交AC于點(diǎn)E，所以∠ADE=∠B，∠AED=∠C，所以△ADE∽△ABC，所以ADAB=AEAC=DEBC。

因?yàn)锳D=A′B′，所以A′B′AB=AEAC=DEBC。又因?yàn)锳′B′AB=A′C′AC=B′C′BC，所以AE=A′C′，DE=B′C′，所以△ADE≌△A′B′C′，所以△A′B′C′∽△ABC。

這里，其實(shí)直接用預(yù)備定理，由DE∥BC，即可證明△ADE∽△ABC，但是張同學(xué)還是繞了一下，通過兩角對(duì)應(yīng)相等來證明。

王同學(xué)的解法如下：

如圖2，在線段AB上截取AD=A′B′，在線段AC上截取AE=A′C′，連接DE。

因?yàn)锳′B′AB=A′C′AC=B′C′BC，所以ADAB=AEAC。又因?yàn)椤螦=∠A，所以△ADE∽△ABC，所以ADAB=AEAC=DEBC，所以DE=B′C′，所以△ADE≌△A′B′C′，所以△A′B′C′∽△ABC。

對(duì)此，教師發(fā)現(xiàn)不少學(xué)生不能快速理解，就讓王同學(xué)復(fù)述了一遍。

方同學(xué)首先作圖：

如圖3，延長(zhǎng)BA、CA，作DE∥BC。

如此，顯然無法準(zhǔn)確作出平行線，于是，教師提醒方同學(xué)：DE的位置在哪兒？方同學(xué)更改作法：

延長(zhǎng)BA至E，使AE=A′B′，延長(zhǎng)CA至D，使AD=A′C′，作DE∥BC。

教師再次提醒作法不規(guī)范：點(diǎn)D、E確定后，直線DE已經(jīng)確定了。方同學(xué)再次更改作法并繼續(xù)解答：

延長(zhǎng)BA至E，使AE=A′B′，過點(diǎn)E作DE∥BC，交CA的延長(zhǎng)于點(diǎn)D，所以∠ADE=∠C，∠AED=∠B，所以△ADE∽△ABC。

此時(shí)，方同學(xué)的思路卡住了。教師簡(jiǎn)單地總結(jié)道：此解法與張同學(xué)的解法其實(shí)是類似的，只是所作的三角形位置不同，因?yàn)闀r(shí)間關(guān)系，課后再交流。

在這三位學(xué)生發(fā)言的過程中，夢(mèng)瑤及小組的三位伙伴都放下筆，端坐傾聽同學(xué)的講解以及同學(xué)與老師的對(duì)話。夢(mèng)瑤和俊芬在聽的過程中，都沒有記錄發(fā)言同學(xué)的解題思路，更沒有深度地思維加工。相比而言，學(xué)樂和靜文在聽的過程中，發(fā)現(xiàn)與自己不同的證明方法，會(huì)簡(jiǎn)單地記錄下來，但也沒有深入地思考總結(jié)。

由于時(shí)間關(guān)系，教師沒有讓學(xué)生修正、完善自己的解答，就直接布置了第二個(gè)學(xué)習(xí)任務(wù)：證明一條直角邊和斜邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)直角三角形相似。并且只留了較短的時(shí)間給學(xué)生解答。夢(mèng)瑤及小組同伴都只畫了兩個(gè)直角三角形，沒來得及解答，更談不上討論。

在沒有深入思考的情況下聽發(fā)言同學(xué)和老師的分析，夢(mèng)瑤、學(xué)樂、靜文基本上能聽懂，但是不一定能清晰、完整地表達(dá);俊芬基本上處于迷惑狀態(tài)，完全沒有聽懂。

（三）知識(shí)應(yīng)用：簡(jiǎn)單模仿，缺乏深究

完成定理的證明后，教師讓學(xué)生完成“運(yùn)用1”：

如圖4，添加一個(gè)條件，使得△ABC與△ADE相似。

夢(mèng)瑤很輕松地寫出了三個(gè)條件：（1）DE∥BC;（2）∠ADE=∠ABC;（3）ADAB=AEAC=DEBC。寫好后，夢(mèng)瑤看起來就比較自信了，開始跟俊芬輕聲地分享自己的學(xué)習(xí)成果——這是這節(jié)課上她們唯一的一次組內(nèi)交流。其實(shí)，對(duì)于這樣兩個(gè)有公共角的三角形，條件3可以弱化為ADAB=AEAC，但可能是因?yàn)檫@個(gè)條件是這節(jié)課新學(xué)的定理要求的條件，她就沒有深入思考。

在隨后的全班分享環(huán)節(jié)，有學(xué)生提出添加條件為ADAB=AEAC，但夢(mèng)瑤依然沒有反思，沒有修正自己的答案。當(dāng)發(fā)言的學(xué)生分享其他的方法，如∠AED=∠ACB、∠ADE=∠ACB、△ADE與△ABC都是等腰三角形等時(shí)，她還是只聽不記，沒有動(dòng)筆完善自己的解答。

接著，教師讓學(xué)生完成“運(yùn)用2”：

如圖5，O為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，A′、B′、C′分別是OA、OB、OC上的點(diǎn)，且OAOA′=OBOB′=OCOC′，求證：△A′B′C′∽△ABC。

夢(mèng)瑤的解答如下：

因?yàn)镺BOB′=OCOC′，所以△OB′C′∽△OBC。因?yàn)镺AOA′=OCOC′，所以△OA′C′∽△OAC。因?yàn)镺AOA′=OBOB′，所以△OA′B′∽△OAB。所以ABA′B′=BCB′C′=ACA′C′，所以△A′B′C′∽△ABC。

這里，她在證完三對(duì)三角形相似后，不知道如何進(jìn)行下一步的證明，停留片刻后，寫下ABA′B′=BCB′C′=ACA′C′，“完成”證明。

這時(shí)，差不多就到了全班分享的時(shí)間。教師將陳同學(xué)的解答投影到黑板上。他的解答跟夢(mèng)瑤的幾乎一樣。教師提問：“證明△OB′C′∽△OBC運(yùn)用的是相似三角形的哪個(gè)判定定理？”陳同學(xué)回答：“是兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似?！苯處煆?qiáng)調(diào)：“幾何證明的書寫一定要規(guī)范、嚴(yán)謹(jǐn)。另外，證明△OA′C′∽△OAC與△OA′B′∽△OAB時(shí)，因?yàn)榉椒愅?，可以不重?fù)書寫，而寫上‘同理，從而使解答更簡(jiǎn)潔。”接著，教師追問得出ABA′B′=BCB′C′=ACA′C′這一結(jié)論的緣由，陳同學(xué)經(jīng)過努力，仍然無法準(zhǔn)確表達(dá)。最后，由其他學(xué)生補(bǔ)充完成解答，教師再次強(qiáng)調(diào)推理一定要嚴(yán)謹(jǐn)。

此后，還有兩位學(xué)生分享另外的兩種證法。但是，直到下課，夢(mèng)瑤都沒有對(duì)自己的解答做任何修正。

二、分析關(guān)鍵事件，診斷學(xué)習(xí)問題

（一）淺表學(xué)習(xí)無法實(shí)現(xiàn)知識(shí)的遷移

證明三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似時(shí)，夢(mèng)瑤很快添好輔助線DE∥BC， 利用預(yù)備定理證出△ADE∽△ABC，說明她對(duì)預(yù)備定理比較熟悉。但是，她不知道如何證明△ADE≌△A′B′C′，說明她對(duì)這道題的整體思路沒有規(guī)劃，思考問題只是抓住局部，不能全面考慮。她沒有意識(shí)到，如果只是添加輔助線DE∥BC，雖然可以利用預(yù)備定理證明△ADE∽△ABC，但是這條平行線是不確定的，當(dāng)然也就無法證明△ADE≌△A′B′C′。

盡管上課之前已經(jīng)經(jīng)歷過兩次整體思路和添加輔助線方法類似的證明，即兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似的證明和兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似的證明，但是夢(mèng)瑤在“第三次”證明時(shí)依然存在兩個(gè)迷思：（1）添加平行線的目的有哪些？（2）如何利用已知的比例式A′B′AB=A′C′AC=B′C′BC和添加平行線后得到的比例式ADAB=AEAC=DEBC獲得AD=A′B′、AE=A′C′、DE=B′C′？還需要什么條件？

從課堂反饋情況看，大部分學(xué)生在證明這個(gè)命題時(shí)都遭遇了類似的困境。這表明他們長(zhǎng)期處于以機(jī)械記憶和模仿操練為主的淺表學(xué)習(xí)中，缺少深度思維加工，沒有深入理解知識(shí)，難以在知識(shí)之間建立充分的聯(lián)系，一旦問題情境稍加變化，就難以實(shí)現(xiàn)知識(shí)的遷移。即沒有“融會(huì)貫通”，不能“活學(xué)活用”。

（二）習(xí)慣性的淺表學(xué)習(xí)阻礙協(xié)同學(xué)習(xí)的開展

淺表學(xué)習(xí)是一種以完成外在任務(wù)、避免懲罰為取向的學(xué)習(xí)行為。淺表學(xué)習(xí)的學(xué)生通常完全按照教師的指令行事，會(huì)端坐聽課，但對(duì)自己不理解的地方不會(huì)深究;會(huì)認(rèn)真記錄教師要求記錄的東西，但對(duì)其他個(gè)性化的、有價(jià)值的東西不會(huì)主動(dòng)記錄;會(huì)嘗試完成教師布置的任務(wù)，但遇到具有挑戰(zhàn)性的問題時(shí)，很少想盡辦法解決，更多的是被動(dòng)等待同學(xué)的分享及老師的講解。

本節(jié)課中，筆者所觀察的夢(mèng)瑤和俊芬就有此特質(zhì)：她們?cè)趯W(xué)習(xí)陷入困境時(shí)，沒有嘗試不同的方法，也沒有想到看教材、問同伴;在同學(xué)分享及老師講解時(shí)，沒有主動(dòng)記錄，更沒有主動(dòng)反思和修正。這樣習(xí)慣性的淺表學(xué)習(xí)阻礙了同伴之間協(xié)同學(xué)習(xí)的開展。

學(xué)習(xí)共同體理念倡導(dǎo)的課堂變革以協(xié)同學(xué)習(xí)為核心。在與同伴相互探討協(xié)作的過程中，學(xué)生會(huì)形成全身心投入、持續(xù)性探索的狀態(tài)，主動(dòng)思考、深化思維、克服困難、解決問題，不斷反思和修正，最終從淺表學(xué)習(xí)走向深度學(xué)習(xí)。

（三）不善于反思就難以應(yīng)對(duì)高挑戰(zhàn)性問題

通過觀察可以發(fā)現(xiàn)，夢(mèng)瑤基本上能獨(dú)立完成“運(yùn)用1”，但是對(duì)綜合性較強(qiáng)、挑戰(zhàn)性更高的“運(yùn)用2”就有點(diǎn)力不從心了。 完成“運(yùn)用2”需要綜合運(yùn)用相似三角形的判定定理2、性質(zhì)定理和判定定理3。從夢(mèng)瑤的解答來看，首先，證明三對(duì)三角形相似時(shí)，她沒有很好地理解判定定理2的條件，只呈現(xiàn)了兩邊對(duì)應(yīng)成比例這個(gè)條件，沒有呈現(xiàn)夾角相等這個(gè)條件;其次，證明三對(duì)三角形相似后，她沒有想到性質(zhì)定理，因而無法正確得到證明最終的三角形相似所需要的條件;最后，證明最終的三角形相似時(shí)，她只是聯(lián)想到這節(jié)課所學(xué)的判定定理3，直接寫出了所需要的條件ABA′B′=BCB′C′=ACA′C′，而沒有深究這一條件為什么成立。此外，她也沒有思考其他解法，更沒有吸收他人的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行自我反思與修正。在解題過程中不善于反思已有思路，做出思路調(diào)整，就難以應(yīng)對(duì)高挑戰(zhàn)性問題。

三、針對(duì)學(xué)習(xí)問題，做出教學(xué)改進(jìn)

（一）營造學(xué)習(xí)環(huán)境，促進(jìn)協(xié)同學(xué)習(xí)

學(xué)習(xí)不是知識(shí)的被動(dòng)接受，而是知識(shí)的主動(dòng)建構(gòu);學(xué)習(xí)不能停留在自己的想法上，而是要通過交流獲得提升。要讓學(xué)生的學(xué)習(xí)真實(shí)地發(fā)生，就要讓課堂處于安全、潤澤的氛圍中，讓學(xué)生遠(yuǎn)離緊張、焦慮的心態(tài)。安全、潤澤的學(xué)習(xí)環(huán)境，不僅能讓學(xué)生坦然、自由地與同伴、教師分享自己的學(xué)習(xí)成果，而且能讓學(xué)生開放、愉悅地接受同伴、教師的想法，從而通過合作提升學(xué)習(xí)品質(zhì)。

為此，教師首先要做好“傾聽”的示范，呈現(xiàn)“傾聽”的身心狀態(tài)，不僅用耳朵聽，而且用心體會(huì)，誠心接納學(xué)生的每一種觀點(diǎn)，進(jìn)而理解其背后的學(xué)習(xí)心理;其次要平等地對(duì)待每一位學(xué)生，尊重他們的個(gè)性差異，讓樂于表達(dá)和羞于表達(dá)的學(xué)生都有表達(dá)的機(jī)會(huì)，讓“懂”的學(xué)生充分地表達(dá)自己的見解，“不懂”的學(xué)生自如地說出自己的困惑;最后要組建和諧的學(xué)習(xí)小組，結(jié)合學(xué)生之間的人際關(guān)系，讓學(xué)生自由地選擇小組伙伴。

（二）轉(zhuǎn)變教學(xué)理念，為學(xué)習(xí)而設(shè)計(jì)

設(shè)計(jì)教學(xué)時(shí)，教師通常從自己如何教的角度來考慮，而較少關(guān)注學(xué)生如何學(xué)。這導(dǎo)致教學(xué)設(shè)計(jì)往往脫離學(xué)生的學(xué)習(xí)需求。就本節(jié)課來說，因?yàn)樘砑虞o助線的問題在前兩節(jié)課中已經(jīng)認(rèn)真探討過了，所以教師認(rèn)為學(xué)生能夠較好地完成添加輔助線的任務(wù)。但是實(shí)際上，在第一個(gè)定理證明的任務(wù)中，大多數(shù)學(xué)生不知道如何添加輔助線，導(dǎo)致完成任務(wù)出現(xiàn)困難。

美國著名教育心理學(xué)家奧蘇伯爾有句名言：“影響學(xué)習(xí)的唯一重要的因素，就是學(xué)習(xí)者已經(jīng)知道了什么。要探明這一點(diǎn)，并應(yīng)據(jù)此進(jìn)行教學(xué)?！币虼耍處熞淖兘虒W(xué)觀念，多關(guān)注學(xué)生的學(xué)，充分了解學(xué)情，了解學(xué)生的學(xué)習(xí)困難、“迷思概念”和“認(rèn)知沖突”，了解學(xué)生學(xué)習(xí)的思維特點(diǎn)及認(rèn)知邏輯，并以此為起點(diǎn)，為學(xué)生的進(jìn)一步深度學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)教學(xué)。

（三）搭建學(xué)習(xí)支架，發(fā)展高階思維

所謂“深度學(xué)習(xí)”，主要是指學(xué)習(xí)者能夠自覺地運(yùn)用高階思維完成具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)任務(wù)。為了幫助學(xué)生完成具有挑戰(zhàn)性的任務(wù)，教師需要搭建適宜的學(xué)習(xí)支架。就本節(jié)課來說，在第一個(gè)定理證明的任務(wù)中，學(xué)生最大的困難是不知道如何添加輔助線，沒有意識(shí)到解決這個(gè)問題的核心是構(gòu)造△ADE，使它既和△ABC相似，又和△A′B′C′全等，從而通過相似、全等的傳遞性來完成證明。因此，教師可以針對(duì)學(xué)生的這一學(xué)習(xí)困難，搭建如下學(xué)習(xí)支架：如何將△A′B′C′放大2倍、3倍等？在放大后的三角形上切一刀，你能切出與原三角形一樣的三角形嗎？切掉的三角形與放大后的三角形又有什么關(guān)系？寫下你想到的所有方法及依據(jù)，然后與同組的伙伴分享，并記錄同伴與你不同的想法。這樣，在聚焦核心問題的基礎(chǔ)上，把證明轉(zhuǎn)化為操作，可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)力，同時(shí)提示添加輔助線的方法。

（四）調(diào)整教學(xué)節(jié)奏，留足反思時(shí)間

“數(shù)學(xué)課程的內(nèi)容不僅包括數(shù)學(xué)的一些現(xiàn)成結(jié)果，還要包括這些結(jié)果的形成過程?！币七M(jìn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí)，就要讓教學(xué)節(jié)奏慢下來，留足反思、討論的時(shí)間，讓學(xué)生充分經(jīng)歷數(shù)學(xué)結(jié)果的形成過程。如果教師只顧完成教學(xué)進(jìn)度，壓縮學(xué)生反思、討論的時(shí)間，那么，學(xué)生的學(xué)習(xí)就無法深入，更難以遷移。

就本節(jié)課來說，證明相似三角形的判定定理3時(shí)添加輔助線的方法與證明判定定理1和判定定理2時(shí)的方法基本相同。因此，教師應(yīng)該在《相似三角形的判定》第一課時(shí)的教學(xué)中，給學(xué)生留足反思、討論的時(shí)間，讓學(xué)生修正、完善得到如下所有可能的添加輔助線方法：

1.如圖2，在線段AB上截取AD=A′B′，過點(diǎn)D作DE∥BC，交AC于點(diǎn);

2.如圖2，在線段AB上截取AD=A′B′，作∠ADE=∠A′B′C′，交AC于點(diǎn)E;

3.如圖2，在線段AB上截取AD=A′B′，作∠ADE=∠ABC，交AC于點(diǎn)E;

4.如圖2，在線段AB上截取AD=A′B′，在線段AC上截取AE=A′C′，連接DE;

5.如圖3，延長(zhǎng)線段BA，使AD=A′B′，過點(diǎn)D作DE∥BC，交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E;

6.如圖3，延長(zhǎng)線段BA，使AD=A′B′，作∠ADE=∠A′B′C′，交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E;

7.如圖3，延長(zhǎng)線段BA，使AD=A′B′，作∠ADE=∠ABC，交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E;

8.如圖3，分別延長(zhǎng)線段BA、CA，使AD=A′B′，AE=A′C′，連接DE;

9.如圖6，延長(zhǎng)線段A′B′，使A′D=AB，過點(diǎn)D點(diǎn)作DE∥B′C′，交A′C′的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E;

10.如圖6，延長(zhǎng)線段A′B′，使A′D=AB，作∠A′DE=∠A′B′C′，交A′C′的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E;

11.如圖6，延長(zhǎng)線段A′B′，使A′D=AB，作∠A′DE=∠ABC，交A′C′的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E;

12.如圖6，分別延長(zhǎng)線段A′B′、A′C′，使A′D=AB，A′E=AC，連接DE。

由此，在第二課時(shí)、第三課時(shí)的教學(xué)中，再碰到類似的添線情況，學(xué)生就不會(huì)手足無措，而是可以從容應(yīng)對(duì)了。

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