李元輝 劉明飛 李坤蒙 熊志朋

（深部金屬礦山安全開(kāi)采教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，遼寧 沈陽(yáng) 110819）

地下礦體的開(kāi)采必然打破圍巖原有的應(yīng)力平衡狀態(tài)，導(dǎo)致其應(yīng)力場(chǎng)重新分布［1］。尤其對(duì)于深部采場(chǎng)，高應(yīng)力作用下圍巖穩(wěn)定性較差，極易誘發(fā)頂板冒落、垮塌等地壓災(zāi)害。為了控制采場(chǎng)圍巖的穩(wěn)定性，通常借助留設(shè)原巖礦柱、人工支柱或錨網(wǎng)、錨噴等方式改善圍巖的應(yīng)力狀態(tài)，確?；夭蛇^(guò)程中采場(chǎng)的安全作業(yè)條件。采場(chǎng)回采過(guò)程中，準(zhǔn)確掌握支護(hù)作用下圍巖應(yīng)力狀態(tài)是采場(chǎng)地壓控制和支護(hù)參數(shù)優(yōu)化的理論基礎(chǔ)，具有十分重要的工程指導(dǎo)意義。

針對(duì)圓形孔洞周邊的應(yīng)力和變形問(wèn)題，巖石力學(xué)及彈性力學(xué)已經(jīng)給出了較為完善的解析解，而對(duì)于矩形開(kāi)挖周邊的應(yīng)力變形問(wèn)題仍處于研究階段［2］。上個(gè)世紀(jì)前蘇聯(lián)學(xué)者M(jìn)uskhelishvili［3］首次將復(fù)變函數(shù)應(yīng)用于彈性力學(xué)問(wèn)題之中，為解決非圓形巷道或硐室邊界方面的問(wèn)題提供了新思路。鑒于復(fù)變函數(shù)具有保角變換功能，能夠?qū)⑽锢砥矫嫔蠌?fù)雜形狀的邊界問(wèn)題轉(zhuǎn)換成圓形形狀的簡(jiǎn)單邊界求解，因此彈性力學(xué)中的復(fù)變函數(shù)法對(duì)于解決非圓形孔口問(wèn)題具有其獨(dú)特的優(yōu)越性［4］。朱大勇等［5］提出了對(duì)不同形狀的孔口通過(guò)保角變換得到映射函數(shù)的方法；趙凱等［6］介紹了一種通過(guò)不斷迭代循環(huán)的手段求解矩形硐室映射函數(shù)的新方法，并通過(guò)算例驗(yàn)證了這種方法具有很高的實(shí)用性；Sharma等［7］分析了圓形、橢圓形、三角形和四邊形硐室圍巖的應(yīng)力分布，提出加載角度和拐角半徑是影響應(yīng)力集中的關(guān)鍵因素；陳斌［8］系統(tǒng)地給出并驗(yàn)證了復(fù)變函數(shù)求解雙向均布載荷孔口問(wèn)題的一般步驟；姜學(xué)淼［9］揭示了不同寬高比的矩形巷道圍巖邊界不同角度的應(yīng)力分布規(guī)律；施高萍等［10］計(jì)算得出了原巖垂直和水平應(yīng)力分量單獨(dú)作用的頂板和側(cè)幫中點(diǎn)的應(yīng)力集中系數(shù)；Zhao等［11］采用復(fù)變函數(shù)的保角變換方法研究了方形隧道圍巖的應(yīng)力分布規(guī)律，研究表明在45°角位置附近即方形隧道的拐角處應(yīng)力集中較大，側(cè)壓系數(shù)在0.8～1.2范圍內(nèi)隧道邊界不會(huì)出現(xiàn)拉應(yīng)力；呂情緒等［12］根據(jù)復(fù)變函數(shù)的理論，通過(guò)計(jì)算求出采場(chǎng)在保角變換取三次項(xiàng)的情況下的極限長(zhǎng)高比；Gao等［13］通過(guò)復(fù)變函數(shù)計(jì)算，給出了矩形巷道孔口周邊不同角度處的應(yīng)力和位移的解析解。Wang等［14］討論了各向異性全滑移接觸隧道的解析解，通過(guò)對(duì)邊界條件的檢驗(yàn)和數(shù)值模擬的比較，驗(yàn)證了解析解具有較高的精確性。

縱觀目前的研究，基于彈性力學(xué)理論，國(guó)內(nèi)外學(xué)者研究了不同形狀斷面巷道或硐室圍巖周邊的應(yīng)力分布復(fù)變函數(shù)解，揭示了未支護(hù)條件下采場(chǎng)圍巖周邊的應(yīng)力分布規(guī)律。然而，在實(shí)際采場(chǎng)回采過(guò)程中，必須采取一定的支護(hù)措施來(lái)控制圍巖的穩(wěn)定性，目前運(yùn)用復(fù)變函數(shù)理論求解支護(hù)作用下矩形采場(chǎng)圍巖周邊應(yīng)力狀態(tài)問(wèn)題鮮有研究，無(wú)法為現(xiàn)場(chǎng)工程支護(hù)設(shè)計(jì)提供理論依據(jù)。鑒于此，本項(xiàng)目旨在建立矩形采場(chǎng)圍巖應(yīng)力分布的復(fù)變函數(shù)計(jì)算模型，研究在不同支護(hù)阻力作用下采場(chǎng)圍巖周邊應(yīng)力的理論計(jì)算公式。同時(shí)，借助數(shù)值模擬方法對(duì)理論解析解進(jìn)行驗(yàn)證，最終揭示支護(hù)作用下采動(dòng)圍巖周邊的應(yīng)力狀態(tài)，為采場(chǎng)穩(wěn)定性控制和支護(hù)參數(shù)確定提供理論基礎(chǔ)。

1 矩形采場(chǎng)支護(hù)作用下圍巖應(yīng)力解析力學(xué)模型

1.1 力學(xué)模型

為了對(duì)支護(hù)作用下的矩形采場(chǎng)圍巖應(yīng)力分布狀態(tài)進(jìn)行計(jì)算，首先需建立求解的理論力學(xué)模型，如圖1所示。

具體假設(shè)條件：

（1）采場(chǎng)形狀位于模型中央，整體為規(guī)則的矩形，其斷面寬為2a，高為2b，且斷面尺寸遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于模型整體尺寸，可將應(yīng)力場(chǎng)的求解簡(jiǎn)化成無(wú)限域的孔口問(wèn)題［15］。

（2）只考慮自重產(chǎn)生的初始應(yīng)力場(chǎng)，且假設(shè)采場(chǎng)埋深較大，可忽略采場(chǎng)附近由于重力引起的梯度效應(yīng)，故認(rèn)為模型受到豎直方向均勻的遠(yuǎn)場(chǎng)應(yīng)力σv和水平方向均勻的遠(yuǎn)場(chǎng)應(yīng)力σh=λσv，式中λ為側(cè)壓力系數(shù)。

（3）圍巖為均質(zhì)、各向同性的連續(xù)介質(zhì)，只發(fā)生彈性變形。

（4）采場(chǎng)內(nèi)壁受到均勻的垂直和水平支護(hù)阻力，且大小均為f。

1.2 解析原理

如圖2所示，矩形采場(chǎng)支護(hù)作用下圍巖周邊應(yīng)力計(jì)算可以簡(jiǎn)化成彈性力學(xué)中的平面孔口問(wèn)題，采場(chǎng)同時(shí)受到豎直方向均勻的遠(yuǎn)場(chǎng)應(yīng)力σv和水平方向均勻的遠(yuǎn)場(chǎng)應(yīng)力σh=λσv。此外，孔口內(nèi)壁由大小相等的垂直和水平均布支護(hù)阻力f控制。計(jì)算支護(hù)作用下矩形采場(chǎng)圍巖周邊應(yīng)力大小可拆分成兩部分討論，對(duì)于僅存在遠(yuǎn)場(chǎng)應(yīng)力且孔口內(nèi)壁不支護(hù)條件下的圍巖應(yīng)力解析，研究者已進(jìn)行了比較深入研究［5-14］。本項(xiàng)目基于已有的研究進(jìn)行拓展和延伸，計(jì)算孔口內(nèi)壁支護(hù)作用下的圍巖周邊應(yīng)力，利用復(fù)變函數(shù)的保角變換功能，將物理平面上復(fù)雜矩形形狀轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的單位圓形狀進(jìn)行分析，推導(dǎo)計(jì)算出相應(yīng)復(fù)勢(shì)函數(shù)和復(fù)變解析量，同時(shí)，分別求出兩種不同情況圍巖應(yīng)力的解析特解，再將其合成疊加，進(jìn)而求得圍巖應(yīng)力分量的解析解。最后，借助數(shù)值模擬的手段，求出矩形采場(chǎng)在支護(hù)條件下圍巖周邊應(yīng)力數(shù)值模擬解，進(jìn)一步驗(yàn)證解析法的正確性。

2 矩形采場(chǎng)圍巖周邊應(yīng)力理論解

2.1 復(fù)變函數(shù)保角變換

為了利用復(fù)變函數(shù)理論求解矩形采場(chǎng)圍巖周邊的應(yīng)力，必須采用保角變換的手段將物理平面上的矩形區(qū)域映射到像平面上的圓形區(qū)域。對(duì)于映射函數(shù)的選取，包括諸多解法［16-19］，如 Schwarz-Christoffel公式的混合罰函數(shù)法、三角形插值法、Мeлентьев法、多角形逼近法、Verruijt共形映射函數(shù)、Laurent級(jí)數(shù)展開(kāi)的復(fù)合形法等，本項(xiàng)目選取最后一種進(jìn)行求解，該方法便于理解且計(jì)算簡(jiǎn)便，同時(shí)具有較高的適用性和精確度。

Laurent級(jí)數(shù)展開(kāi)的復(fù)合形法是將矩形彈性體在物理平面（問(wèn)題的實(shí)際區(qū)域，也叫z平面）上所占區(qū)域轉(zhuǎn)化成像平面上的中心單位圓區(qū)域（也叫ζ平面），其中物理平面上矩形采場(chǎng)右邊界中點(diǎn)（a，0）、頂板中點(diǎn)（0，b）和右頂角（a，b）分別與像平面ζ上的點(diǎn)（1，0）、（1，-π/2）以及（1，θ）相對(duì)應(yīng)，具體映射關(guān)系如圖3所示。

映射函數(shù)為

研究表明［20-21］，映射函數(shù)通常取3項(xiàng)既可以保證一定的精度要求又可以使推導(dǎo)過(guò)程相對(duì)簡(jiǎn)潔，因此取

式中，R、c1、c3為實(shí)常數(shù)，且R>0，│c1│+│c3│≤ 1。

在像平面ζ上，令ζ=ρeiφ=ρ（cosφ+isinφ），ρ=1，式（1）與式（2）聯(lián)立，可得：

選取物理平面z上矩形采場(chǎng)3個(gè)特殊點(diǎn)（a，0）、（0，b）和（a，b）分別與像平面ζ上相對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（1，0）、（1，-π/2）和（1，φ）分別聯(lián)立，代入到式（3）中，由前2組對(duì)應(yīng)點(diǎn)易解得：c1=（a?b）/（2R），c3=（a+b）/（2R）?1，聯(lián)立第3組對(duì)應(yīng)點(diǎn)，可得方程：

解出φ值后，R值即可求出。

2.2 復(fù)勢(shì)函數(shù)解析

對(duì)式（2）進(jìn)行如下變換，得出以下相應(yīng)的解析量：

式中，σ=ζ=eiφ為復(fù)變量ζ在巷道邊界處的值；為矩形孔口內(nèi)邊界上在x和y方向上的面力分量，由支護(hù)體提供；為矩形孔口內(nèi)邊界上所有面力在x和y方向上的主矢量；B、B′、C′可由遠(yuǎn)場(chǎng)應(yīng)力σv和σh表示出來(lái)［17］：

分析式（8），f0由2部分組成，前一部分為無(wú)遠(yuǎn)場(chǎng)應(yīng)力，只在孔壁上作用支護(hù)阻力的情況，后一部分為只在遠(yuǎn)場(chǎng)應(yīng)力作用下，而不施加支護(hù)阻力的情況。為了計(jì)算簡(jiǎn)便，可分別求解2種情況圍巖應(yīng)力的復(fù)變解析量，如圖4所示：

需要規(guī)定2個(gè)復(fù)勢(shì)函數(shù)：

在中心單位圓之內(nèi)是ζ的解析函數(shù)，并且在圓內(nèi)和圓周上是連續(xù)的，可由式（13）并結(jié)合柯西積分公式［4］，將等號(hào)兩邊ζ的同次項(xiàng)的系數(shù)分離后對(duì)比求出。

（1）不考慮支護(hù)阻力的圍巖應(yīng)力解析量計(jì)算（存在遠(yuǎn)場(chǎng)應(yīng)力）。無(wú)支護(hù)作用下的矩形采場(chǎng)受到遠(yuǎn)場(chǎng)應(yīng)力σv和σh，孔邊界所受面力為0，則，推導(dǎo)出應(yīng)力解析量為

（2）只考慮支護(hù)阻力的圍巖應(yīng)力解析量計(jì)算（不存在遠(yuǎn)場(chǎng)應(yīng)力）。只有支護(hù)作用下的矩形采場(chǎng)只受到孔邊界x和y方向上的支護(hù)阻力f，而不存在遠(yuǎn)場(chǎng)應(yīng)力σv和σh，則，推導(dǎo)出應(yīng)力解析量為

2.3 矩形采場(chǎng)周邊圍巖應(yīng)力分量

將2種不同情況下的應(yīng)力解析分量式（14）、式（15）進(jìn)行疊加，即可求出支護(hù)作用下矩形采場(chǎng)圍巖周邊應(yīng)力解析量：φ(ζ)=φ1(ζ)+φ2(ζ)、ψ(ζ)=ψ1(ζ)+ψ2(ζ)，代入式（16）中即可求出同時(shí)考慮采場(chǎng)支護(hù)和遠(yuǎn)場(chǎng)應(yīng)力的矩形采場(chǎng)圍巖周邊應(yīng)力分量：

式中，Re指計(jì)算時(shí)取復(fù)數(shù)的實(shí)部。

3 數(shù)值模擬

為了驗(yàn)證復(fù)變函數(shù)理論求解水平矩形采場(chǎng)圍巖周邊應(yīng)力的精確度，基于有限差分法（FLAC3D）開(kāi)展數(shù)值模擬研究，分析采場(chǎng)周邊不同位置的應(yīng)力以及不同支護(hù)力下的頂板和側(cè)幫應(yīng)力演化規(guī)律。

3.1 不同位置的應(yīng)力量

矩形采場(chǎng)位于模型正中央，采場(chǎng)寬×高為20 m×4 m，即寬高比為5∶1，模型上下施加10 MPa的垂向應(yīng)力，左右施加12 MPa的水平應(yīng)力，開(kāi)挖內(nèi)壁分別施加3～8 MPa的支護(hù)力。由于采場(chǎng)四周?chē)鷰r應(yīng)力變化具有對(duì)稱(chēng)性，因此選取矩形右上角1/4個(gè)區(qū)域進(jìn)行分析，即孔口右?guī)椭悬c(diǎn)到頂板中點(diǎn)90°范圍。采場(chǎng)周?chē)煌恢锰幍拇怪睉?yīng)力和水平應(yīng)力分量解析解和模擬解見(jiàn)表1、表2和圖5、圖6所示。

如圖5與圖6曲線(xiàn)所示，從采場(chǎng)幫壁到頂板，隨著角度的增加，圍巖垂直應(yīng)力和水平應(yīng)力均呈現(xiàn)先增大后減小的趨勢(shì)，垂直應(yīng)力峰值出現(xiàn)在約30°位置處，水平應(yīng)力峰值出現(xiàn)在約35°位置處，即在拐角附近應(yīng)力值均出現(xiàn)陡增現(xiàn)象，即應(yīng)力集中區(qū)，此結(jié)論與李明等［22］的結(jié)論保持一致。通過(guò)對(duì)比解析解和模擬解曲線(xiàn)可知，數(shù)值模擬解與理論解析解之間具有比較高的擬合性，理論計(jì)算結(jié)果具有較好的推廣應(yīng)用價(jià)值。

3.2 不同支護(hù)圍巖周邊應(yīng)力演化規(guī)律

對(duì)不同支護(hù)力條件下采場(chǎng)幫壁和頂板中點(diǎn)應(yīng)力演化規(guī)律分析，即角度分別為0°和90°位置處的圍巖徑向應(yīng)力和切向應(yīng)力。由于采場(chǎng)圍巖內(nèi)壁均勻施加支護(hù)阻力f，致使幫壁和頂板中點(diǎn)位置的圍巖徑向應(yīng)力等于支護(hù)阻力f，因此僅需對(duì)幫壁和頂板中點(diǎn)處的切向應(yīng)力進(jìn)行分析：在幫壁中點(diǎn)位置處，切向應(yīng)力為垂直應(yīng)力SZZ，在頂板中點(diǎn)位置處，切向應(yīng)力為水平應(yīng)力SXX。繪制出不同支護(hù)力下的幫壁和頂板中點(diǎn)位置的圍巖應(yīng)力演化如圖7所示，采場(chǎng)右?guī)颓邢驊?yīng)力隨支護(hù)阻力的增加而減小，而頂板切向應(yīng)力隨支護(hù)阻力的增加而增大，且頂板和右?guī)臀恢玫慕馕鼋饩源笥谀M解。此外，頂板位置的解析解和數(shù)值模擬結(jié)果偏差大于右?guī)臀恢茫瑢?duì)于解析方法來(lái)說(shuō)，原因在于保角變換的映射函數(shù)僅取了三項(xiàng)，對(duì)于大寬高比采場(chǎng)較長(zhǎng)邊的應(yīng)力求解誤差增大，實(shí)際可通過(guò)增加映射函數(shù)的項(xiàng)數(shù)來(lái)提高擬合性［8-9］；對(duì)于數(shù)值模擬方法來(lái)說(shuō)，由于計(jì)算機(jī)本身的限制，模擬網(wǎng)格的劃分對(duì)精度產(chǎn)生一定的影響，大寬高比情況下，長(zhǎng)邊的網(wǎng)格應(yīng)更加密集。

4 結(jié) 論

基于彈性力學(xué)的孔口問(wèn)題，通過(guò)復(fù)變函數(shù)保角變換等理論，將矩形采場(chǎng)轉(zhuǎn)化為單位圓，求解支護(hù)作用下圍巖周邊的應(yīng)力解析解，并采用數(shù)值模擬對(duì)理論解析方法結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證，得到以下結(jié)論：

（1）復(fù)變函數(shù)理論和數(shù)值模擬方法求解的不同支護(hù)力作用下的圍巖周邊應(yīng)力解析解和數(shù)值解具有比較高的擬合性，理論計(jì)算可進(jìn)行推廣應(yīng)用。

（2）采場(chǎng)周邊圍巖應(yīng)力從幫壁到頂板分布先增大后減小，呈現(xiàn)“拋物線(xiàn)”趨勢(shì)，拐角附近處應(yīng)力值出現(xiàn)陡增現(xiàn)象，即應(yīng)力集中現(xiàn)象。

（3）隨著矩形采場(chǎng)周?chē)鷰r體支護(hù)阻力的逐漸增加，幫壁切向應(yīng)力逐漸減小，頂板切向應(yīng)力逐漸增大，且兩個(gè)位置的解析解均略大于模擬解。

（4）頂板位置的解析解和數(shù)值模擬結(jié)果偏差大于兩幫位置，對(duì)于解析方法來(lái)說(shuō)，原因在于保角變換的映射函數(shù)僅取了三項(xiàng)，對(duì)大寬高比采場(chǎng)較長(zhǎng)邊的應(yīng)力求解誤差增大，實(shí)際可通過(guò)增加映射函數(shù)的項(xiàng)數(shù)來(lái)提高擬合性；對(duì)于數(shù)值模擬方法來(lái)說(shuō)，由于計(jì)算機(jī)本身的限制，模擬網(wǎng)格的劃分對(duì)精度產(chǎn)生一定的影響，大寬高比情況下，可加密長(zhǎng)邊的網(wǎng)格。